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,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,MATLAB,程式設計入門篇,矩陣的處理與運算,張智星,(Roger Jang),台大資工系 多媒體檢索實驗室,1,9-1,矩陣的索引或下標,矩陣,A,中,，,位於第,i,橫列,、,第,j,直行的元素可表示為,A(i, j),i,與,j,即是此元素的下標,（,Subscript,）,或索引,（,Index,）,MATLAB,中，所有矩陣的內部表示法都是以直行為主的一維向量,A(i, j),和,A(i+(j-1)*m),是完全一樣的，其中,m,為矩陣,A,的列數,我們可以使用一維或二維下標來存取矩陣,2,Quiz,Suppose that A is a 2-dimensional array of size mn.,Given A(i, j), how to find the linear index y such that A(y) = A(i, j)?,Given A(y), how to find i and j such that A(i, j)=A(y)?,3,矩陣的索引或下標,4,矩陣的索引或下標,可以使用矩陣下標來進行矩陣的索引,（,Indexing,）,A(4:5,2:3) -,取出矩陣,A,的 第四、五 橫列與 二、三 直行所形成的部份矩陣,A(9 14; 10 15) -,用一維下標的方式來達到同樣目的,用冒號,（,:,）,取出一整列或一整行,A(:, 5) -,取出矩陣,A,的第五個直行,用,end,這個保留字來代表某一維度的最大值,A(:, end) -,矩陣,A,的最後一個直行,可以直接刪除矩陣的某一整個橫列或直行,A(2, :) = ,刪除,A,矩陣的第二列,A(:, 2 4 5) = -,刪除,A,矩陣的第二、四、五直行,5,矩陣的索引或下標,可把矩陣,A,和其倒數並排起來，得到新矩陣,B,B = A 1./A % 1./A,是矩陣,A,每個元素的倒數,用,diag,指令取出矩陣的對角線各元素,D = diag(B)%,取出矩陣,B,的對角線元素,D = diag(v)%,產生以向量,v,為主對角線的方陣,E = A*diag(v)%,將矩陣,A,的每個行向量乘上向量,v,的元素,E = diag(v)*A%,將矩陣,A,的每個列向量乘上向量,v,的元素,用,reshape,指令來改變一個矩陣的維度,B = B(1:4, 1:4);,C = reshape(B, 2, 8)%,將矩陣,B,排成,28,的新矩陣,C,MATLAB,會先將矩陣,B,排成一個行向量（即,MATLAB,內部的矩陣表示法），再將此行向量塞成,28,的新矩陣,6,9-2,特殊用途矩陣,產生各種特殊用途矩陣的好用指令,:,指令,說明,zeros(m, n),產生維度為,mn,，構成元素全為,0,的矩陣,ones(m, n),產生維度為,mn,，構成元素全為,1,的矩陣,eye(n),產生維度為,nn,，對角線的各元素全為,1,，其他各元素全為,0,的單位矩陣,pascal(m, n),產生維度為,mn,的,Pascal,矩陣,vander(v),產生,Vandermonde,矩陣，其中每一個行向量都是向量,v,的冪次,hilb(n),產生維度為,nn,的,Hilbert,矩陣,rand(m, n),產生均勻分佈於,0, 1,的亂數矩陣，其維度為,mn,randn(m, n),產生, = 0, = 1,的正規分佈亂數矩陣，其維度為,mn,magic(n),產生維度為,nn,的魔方陣，其各個直行、橫列及兩對角線的元素和都相等,7,Hilbert,矩陣,&,魔方陣,hilb(n),指令可以產生,nn,的,Hilbert,矩陣,Hilbert,矩陣的特性,:,當矩陣變大時，其反矩陣會接近,Singular,（,即矩陣的行列式會接近於,0,）,Hilbert,矩陣常被用來評估各種反矩陣計算方法的穩定性,magic(n),可以產生一個,nn,的魔方陣,（,Magic Matrix,），,其各個直行、橫列及兩對角線的元素值總和都相等,8,均勻和高斯分布,rand,指令及,randn,指令則常用於產生亂數矩陣,範例,9-11: matrix11.m,x1 = rand(10000, 1);,x2 = randn(10000, 1);,subplot(2,1,1); hist(x1, 40); title(,均勻分佈,);,subplot(2,1,2); hist(x2, 40); title(,高斯分佈,);,set(findobj(gcf, type, patch),EdgeColor, w);%,改邊線為白色,9,9-3,矩陣的數學運算,矩陣的加減與一般純量（,Scalar,）的加減類似,相加或相減的矩陣必需具有相同的維度,範例,9-12: matrix12.m,C =,13 37 58 24,矩陣與純量可以直接進行加減，,MATLAB,會直接將加減應用到每一個元素,A = 1 2 3 2 1 + 5,A =,6 7 8 7 6,A = 12 34 56 20;,B = 1 3 2 4;,C = A + B,10,矩陣的乘法與除法,純量對矩陣的乘或除，可比照一般寫法,A = 123 , 442;,C = A/3,B = 2*A,C =,B = 41.0000 147.3333,246 884,欲進行矩陣相乘，必需確認第一個矩陣的直行數目,（,Column Dimension,）,必需等於第二個矩陣的橫列數目,（,Row Dimension,）,範例,9-13: matrix12.m,C =,3 4 5,6 8 10,矩陣的除法，常藉由反矩陣或解線性方程式來達成,A = 1; 2;,B = 3, 4, 5;,C = A*B,11,矩陣的次方運算,矩陣的次方運算，可由,來達成，但矩陣必需是方陣，其次方運算才有意義,範例,9-14: matrix14.m,B =,91 67 67,67 91 67,67 67 91,在,*,，,/,及,之前加上一個句點，,MATLAB,將會執行矩陣內元素對元素,（,Element-by-element,）,的運算,A = magic(3);,B = A2,A = 12; 45;,B = 2; 3;,C = A.*B%,注意,*,前面的句點,D = A./B%,注意,/,前面的句點,E = A.2%,注意,前面的句點,12,轉置和共軛轉置矩陣,複數矩陣,z,，其共軛轉置矩陣（,Conjugate Transpose,） 可表示成矩陣,z,範例,9-16: conjTranspose01.m,w =,1.0000-1.0000i 3.0000,2.0000 1.0000-2.0000i,想得到任何矩陣,z,的轉置（,Transpose,），則可表示成矩陣,z. ,範例,9-17: transpose01.m,w =,1.0000+1.0000i 3.0000,2.0000 1.0000+2.0000i,若,z,為實數,，,則,z,和,z.,的結果是一樣的,i = sqrt(-1);%,單位虛數,z = 1+i, 2; 3, 1+2i;,w = z%,共軛轉置（注意,z,後面的單引號）,i = sqrt(-1);%,單位虛數,z = 1+i, 2; 3, 1+2i;,w = z.%,單純轉置（注意,z,後面的句點及單引號）,13,向量的,L,p,-norm,一個向量,a,的,L,p,-norm,可以定義為,p=1, taxicab distance, or Manhattan distance,p=2 Euclidean Length,(length of a),P=inf, max. distance,欲求一向量的,p-norm,，,可使用,norm,指令,norm(x,p),範例,9-18: normVector01.m,a = 3 4;,x = norm(a, 1) % x = 7,y = norm(a, 2) % y = 5,z = norm(a, inf) % z = 4,Quiz!,14,Quiz for L,p,-norm,Prove,On a 2D space, plot the trajectory of,15,矩陣的,L,p,-norm,一個矩陣,A,的,L,p,-norm,可以定義如下,：,norm,指令亦可用於計算矩陣的,L,p,-norm,範例,9-19: normMatrix01.m,MATLAB,有相當完整的數學函數,三角函數還有計算向量元素統計量的函數,(,課本,9-159-17,),A = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9;,norm(A, 2) % ans = 16.8481,16,Sort,指令,sort,指令可對向量元素進行排序,（,Sorting,）,範例,9-20: sort01.m,sorted =,1 3 4 5 8,index =,4 1 5 2 3,sorted,是排序後的向量,，,index,則是每個排序後的元素在原向量,x,的位置，因此,x(index),即等於,sorted,向量。,如何使用,sort,指令加上前例中的,sorted,及,index,來求得原先的向量,x,？,x = 3 5 8 1 4;,sorted, index = sort(x)%,對矩陣,x,的元素進行排序,Exerrcise!,17,矩陣的最大元素,找出一矩陣最大元素的位置,範例,9-21: max01.m,colMax =,23 24 25 21 22,colMaxIndex =,2 1 5 4 3,colMax,代表每一直行的最大值,，,colMaxIndex,則是每一直行出現最大值的位置,求得,x,的最大元素的位置,範例,9-22: max02.m,Max value = x(5, 3) = 25,x,的最大元素即是,maxValue,，,發生位置為,colMaxIndex(maxIndex), maxIndex = 5 , 3,若只要找出一矩陣,x,的最大值，可輸入,max(max(x),或是,max(x(,：,),x = magic(5);,colMax, colMaxIndex = max(x),x = magic(5);,colMax, colMaxIndex = max(x);,maxValue, maxIndex = max(colMax);,fprintf(Max value = x(%d, %d) = %dn, colMaxIndex(maxIndex), maxIndex, maxValue);,18,9-4,矩陣的內部資料型態,一般矩陣的內部資料型態都是,double,（雙精準浮點數）,，,但在,MATLAB 5.3,版之後，也支援不同長度的整數與浮點數資料態,指令,說明,uint8,轉換成不帶正負號、,8,位元的整數，其值域為,0,255,uint16,轉換成不帶正負號 、,16,位元的整數，其值域為,0,65535,uint32,轉換成不帶正負號 、,32,位元的整數，其值域為,0,232-1,int8,轉換成帶正負號 、,8,位元的整數，其值域為,-128,127,int16,轉換成帶正負號、,16,位元的整數，其值域為,-32768,32767,int32,轉換成帶正負號、,32,位元的整數，其值域為,-231,231-1,single,轉換成,single,（單精準浮點數），佔用,32,位元,（,4 bytes,）,double,轉換成,double,（雙精準浮點數），佔用,64,位元,（,8 bytes,）,char,轉換成字元或字串，每個字元佔用（,16,位元）（,2 bytes,）,19,不同資料的儲存,我們要節省記憶體空間，可以依矩陣元素值的範圍，選用不同的資料來儲存,範例,9-23: datatype01.m,Name Size Bytes Class,x16 10x10 200 uint16 array,x32 10x10 400 uint32 array,x8 10x10 100 uint8 array,x_double 10x10 800 double array,x_single 10x10 400 single array,Grand total is 500 elements using 1900 bytes,uint8,來儲存變數所佔的空間只有,double,的八分之一,!,clear all%,清除所有工作空間的變數,x_double = magic(10);,x_single = single(x_double);,x32 = uint32(x_double);,x16 = uint16(x_double);,x8 = uint8(x_double);,whos,20,資料儲存的注意事項,整數資料型態的範圍有限，若超過此範圍，則超出部分將會被裁掉,uint8(300)% uint8,的最大值為,255,ans =,255,int8(-500)% int8,的最小值為,-128,ans =,-128,整數資料型態可以比較大小，亦可直接進行數學運算，但必須注意其資料型態的自動轉換：,uint8(20)= 20%,可比較大小,ans =,1,z=uint8(magic(3),z*2.5,(Please try it by yourself to get the conversion rule!),若要進行精準的數學運算，需先用,double,指令將整數型態之變數轉成雙倍精準浮點數,21,Interesting Demos by Cleve,Under “cleve” folder of this chapter,eigshow.m,svdshow.m,vorodrag.m,vshow.m,22,
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