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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,October, 2004,2.2 函数的求导法则,Differentiation Rules,一、导数的四则运算,设函数,u,(,x,),和,v,(,x,),在,点,x,处可导，则,也,在点,x,处可导，且有以下求导公式：,证,设,证,设,先证,推广,导数运算的线性性,线性组合的导数导数的线性组合,例 4,例 5,课内练习,with(plots):,plot(,signum,(x),x=-5.5,y=-1.5.1.5,color=red,thickness=2,style=line);,二、反函数的求导法则,设单调函数,y,=,f,(,x,),在点,x,=,a,处可导，则曲线,y,=,f,(,x,),在点,P,(,a,b,),处有切线,PT,，,且切线的斜率为,由于反函数,x,=,(,y,),的图形与函数,y,=,f,(,x,),的图形重合，因此曲线,x,=,(,y,),在点,P,(,a,b,),处有切线,PT,，,且切线的斜率为,因此反函数,x,=,(,y,),在点,y,=,b,处,可导，且导数为：,定理 2 （反函数的求导法则）,设单调函数,y,=,f,(,x,),在点,x,=,a,处可导，且,f ,(,x,),0,则其反函数反函数,x,=,(,y,),在点,y,=,b,(,b,=,f,(,a,),处可导，且导数为：,证明,由,单调性,由,连续性,或简记为,交换了字母而已！,with(plots):,A:=plot(,ln,(x),x=0.01.3,y=-2.3,color=red,thickness=3):,B:=plot(exp(x),x=-2.3,y=0.01.3,color=blue,thickness=3):,C:=plot(x,x=-1.2.5,y=-1.2.5,color=black,thickness=2,linestyle,=2):,display(A,B,C,scaling=constrained,tickmarks,=0,0);,例 6,with(plots):f:=x-,arcsin,(x):,A:=plot(f(x),x=-1.1,color=red,thickness=3):,B:=plot(D(f)(x),x=-0.9.0.9,color=blue,thickness=3):,display(A,B,scaling=constrained,tickmarks,=4,6);,with(plots):f:=x-,arccos,(x):,A:=plot(f(x),x=-1.1,color=red,thickness=3):,B:=plot(D(f)(x),x=-0.9.0.9,color=blue,thickness=3):,display(A,B,scaling=constrained,tickmarks,=4,6);,用类似的方法可证：,例 7,with(plots):f:=x-,arctan,(x):,A:=plot(f(x),x=-5.5,color=red,thickness=3):,B:=plot(D(f)(x),x=-5.5,color=blue,thickness=3):,display(A,B,scaling=constrained,tickmarks,=4,6);,with(plots):f:=x-,arccot,(x):,A:=plot(f(x),x=-5.5,color=red,thickness=3):,B:=plot(D(f)(x),x=-5.5,color=blue,thickness=3):,display(A,B,scaling=constrained,tickmarks,=4,6);,用类似的方法可证：,另外可证：,不要求！,例 8,对数函数的导数也可以由对函数的导数求得。,自学,例,设,求,解,当,x,= 0,时，,y,=,f,(0) = 1。,所以,From Steward (4,th, p.349),with(plots):f:=x-2*x+,cos,(x):,A:=plot(f(x),x=-2.3,color=red,thickness=3):,display(A,scaling=constrained,tickmarks,=4,6);,with(plots):f:=x-2*x+,cos,(x):,A:=plot(x,f(x),x=-5.5,color=red,thickness=3):,B:=plot(f(x),x,x=-5.5,color=blue,thickness=3):,display(A,B,scaling=constrained,tickmarks,=12,6);,Maple,可以轻易作出反函数的图形。,三、复合函数的求导法则,先看一个例子：,求,法一,法一,哪一个正确？,错在哪里？,令,则,定理,3,（复合函数的求导法则）,设,函数,u,=,g,(,x,),在点,x,可导，而函数,y,=,f,(,u,),在点,u,=,g,(,x,),可导，则复合函数,y,=,f,(,g,(,x,),在点,x,可导，且有导数：,或,链式法则,The Chain Rule,链式法则,直观解释：,证明,令,严格证明，自学！,The Chain Rule,The theorem can be extended to compositions of three or more functions.,For example, if,Then the chain rule becomes,例,解,分解：,例,解,分解：,熟练以后，一般不引入中间变量。,再解,复合函数求导的方法：,（1）弄清函数的复合结构、复合顺序；,（2）从外层向内层逐层求导，每一次只求一个导数；,（3）不漏掉任何一层，一直求到对自变量,x,的导数为止。,例 13,解,复合结构：,分解不一定要写出，但一定要把它们默默地记在心里。,例 13,解,复合结构：,例 14,解,复合结构：,解,课内练习,6（2）,课内练习,7（2）,解,课内练习,7（9）,解,课内练习,8（4）,解,例 15,解,例,解,例,解,分解：,由链式法则,例,或,注意：,一般地，,不是复合函数求导!,学习指导,p.49,问2.2,课内练习,解,
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