[原创]等差数列

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,欢迎各位老师莅临指导,1,课题：等差数列,授课教师：曹灿,授课班级：高一（ 1 ）班,2,复 习 回 顾,一、,数列的定义，通项公式，递推公式,按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成,a,1,a,2，,a,3,a,n,如果数列,a,n,的第,n,项,a,n,与,n,的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。,如果已知数列,a,n,的第,1,项(或前几项），且任一项,a,n,与它的前一项,a,n-1,(,或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。,3,两 个 实 例,图中表示堆放的钢管，共堆放了7层，自上而下分别有4，5，6，7，8，9，10根钢管，钢管数排成一个数列：,4,5,6,7,9,8,10,写成数列就是：4，5，6，7，8，9，10。,某剧院前排座位号分别是： 56 ， 54 ， 52 ， 50 ， 48，46，44 ，42，40，38。,请同学们思考，这两个数列有何共同特点,?,从第二项起，后一项与前一项的差是1。,从第二项起，后一项与前一项的差是- 2.,4,等 差 数 列 的 定 义,一般地，如果一个数列,a,n,从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母,d,表示。,定义的符号表示是：,a,n,- a,n-1,=d(n2,nN),这就是数列的递推公式。,5,练 习 一,练习一：判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项,a,1,和公差,d,如果不是，说明理由。,（1）1，3，5，7，,（2）9，6，3，0，-3,（3）-8，-6，-4，-2，0，,（4）3，3，3，3，,（6）15，12，10，8，6，,解：（1），（2），（3），（4）是等差数列，（5）和（6）不是。（1）中,a,1,=1,d=2;（2）,中,a,1,=9,d= - 3;（3）,中,a,1,=-8,d=2;（4）,中,a,1,=3,d=0.,小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断；,思 考,：在数列（1），,a,100,=？,我们该如何求解呢？,6,通 项 公 式 的 推 导,设一个等差数列,a,n,的首项是,a,1,公差是,d,则有：,a,2,-a,1,=d,a,3,-a,2,=d,a,4,-a,3,=d,所以有：,a,2,=a,1,+d,a,3,=a,2,+d = (a,1,+d) + d = a,1,+ 2d,a,4,=a,3,+d=（a,1,+2d）+d=a,1,+3d,a,n,=a,1,+(n-1)d,当,n=1,时，上式也成立。,问,a,n,=?,通过观察：,a,2, a,3, a,4,都可以用,a,1,与,d,表示出来,；a,1,与,d,的系数有什么特点？,所以等差数列的通项公式是：,a,n,=a,1,+(n-1)d,7,例 题 讲 解,例一 （1）求等差数列,8，5，2，,的第,20,项；,（2）判断,-401,是不是等差数列,5,-9 ,-13,的项,?,如果是，是第几项，如果不是，说明理由。,分析,（1）,由给出的等差数列前三项，先找到首项,a,1,求出公差,d,写出通项公式，就可以求出第20项,a,20,.,解：(1)由题意得：,a,1,=8,d=5-8=-3,n=20,这个数列的通项公式是：,a,n,=a,1,+(n-1)d=-3n+11,a,20,=11-320=-49,分析,（2）,要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数,n,使得,a,n,=-401。,(2)由题意得：,a,1,=-5,d=-9-(-5)=-4,这个数列的通项公式是：,a,n,=-5+ (n,- 1) (-5)=-4,n-1,令-401=-4,n-1,得,n=100,-401,是这个数列的第100项。,8,练 习 二,（1）求等差数列3,7,11的第4项与第10项；,（2）判断100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。,解：（1）根据题意得：,a,1,=3,d=7-3=11-7=4,这个数列的通项公式是：,a,n,=a,1,+(n-1)d=4n-1,a,4,=44-1=15,a,10,=410-1=39.,（2）,由题意得：,a,1,=2,d=9-2=16-9=7,这个数列的通项公式是：,a,n,=2+ (n-1) 7=7n-5(n1),令100=7,n-5,得,n=15,-401,是这个数列的第15项。,9,例 二,在等差数列,a,n,中，已知,a,5,=10,a,12,=31,求首项,a,1,与公差,d,.,这是一个以,a,1,和,d,为未知数的二元一次方程组，解之得：,解：由题意得：,a,1,+ 4d = 10,a,1,+11d=31,a,1,= - 2,d=3,这个数列的首项,a,1,是-2，公差,d =3.,小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。,10,练 习 三,已知等差数列,a,n,中，,a,4,=10,a,7,=19,求,a,1,和,d;,解之得：,a,1,= 1,d = 3,这个数列的首项是1，公差是3。,(1)解：依题意得：,a,1,+3d=10,a,1,+6d=19,11,思考题：,已知等差数列,a,n,中，,a,m,d,是常数，试求出,a,n,的值。,分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将,a,m,d,看成是常数.,解：设等差数列,a,n,的首项是,a,1,，,依题意可得：,a,m,=a,1,+(m-1)d ,a,n,=a,1,+(n-1)d,- ,得：,a,n,-a,m,=a,1,+ ( n 1 )d-a,1,+(m-1)d,=(n-m)d,a,n,=a,m,+(n-m)d,12,思考题二,:,已知三个数成等差数列，它们的和是,12,，积是,48,，求这三个数,.,13,思考练习：已知等差数列,a,n,中，,a,3,=9,a,9,=3,求,a,12,a,3n,.,解法一: 依题意得：,a,1,+2d=9,a,1,+8d=3,解之得,a,1,=11,d =-1,这个数列的通项公式是：,a,n,=11- (n-1)=12-n,故,a,12,= 0, a,3n,= 12 3 n.,解法二：,14,课时小结,通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式：,a,n,-a,n-1,=d(n2),;.,其次要会推导等差数列的通项公式,a,n,=a,1,+(n-1)d( n1),.,本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道,a,n,a,1,d,n,中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。最后，还要注意一重要关系式，,a,n,=a,m,+(n-m)d,的理解与应用。,课后作业：,（一）课本,P114，,习题3.2 1，2,（二）预习课本,P112113，,例三，例四；,预习提纲：如何就任等差数列的定义及通项公式解决实际问题；什么是数列的等差中项，它有哪些性质？,15,预备练习,等差数列,a,n,中，,(1)已知,a,1,=2,d=3,n=10,求,a,n,;,(2),已知,a,1,=3,a,n,=21,d=2,求,n;,(3),已知,a,1,=12,a,6,=27,求,d;,(4),已知,d=0.5，a,7,=8,求,a,1,.,解：（1）由通项公式,a,n,=a,1,+(n-1)d,得,a,10,=2+(10-1)3=29.,(2),由通项公式,a,n,=a,1,+(n-1)d,得,21=3+2（n-1),n=10.,(3),）由通项公式,a,n,=a,1,+(n-1)d,得： 27=12+5,d,d=3.,(4),）由通项公式,a,n,=a,1,+(n-1)d,得：,8=,a,1,+(8-1)0.5, a,1,=4.5,16,下课,17,