吴赣昌编 概率论与数理统计 第3章(new)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章内容提要,一、离散型随机变量及其概率分布,离散型随机变量定义,分布律,P,(,X,=,x,k,)=,p,k, (,k,=1, 2, ),分布函数,F,(,x,),P,X,x,，,x,(-，+),分布函数的性质,1、,单调不减性,：若,x,1,0,（泊松定理）当随机变量,X,B,(,n,p,),，,且,n,很大，,p,很小时，,X,近似服从,P(,np,),，,记,=,np,，,即,3,、,均匀分布,X,U,a,b,，密度函数和分布函数如下,4,、,正态分布,X,N,(,2,),，密度函数为,（其中,，,为实数，,0,）,标准正态分布,X,N,(0, 1),，,密度函数和分布函数如下,重要结论,：若,X,N,(,2,)，,则,N,(0,1),，即,一般有,5,、,指数分布,X,E(,),，,0,密度函数和分布函数如下,四、随机变量函数的概率分布,1,、离散型随机变量,Y,=,g(,X,),的概率分布,若,X,P,(,X,x,k,),p,k,k,1, 2, ,2,、连续型随机变量,Y,=,g(,X,),的概率分布,1),、分布函数法：,X,f,X,(,x,),，,(,-,x+),则,Y,的分布函数,为,F,Y,(,y,),P,(,Y,y,),P,(g(,X,) ,y,),从而,Y,的概率密度函数,f,Y,(,y,),为,2,),、公式法：,若,Xf,X,(,x,),y,=,g,(,x,),是,严格单调可导,函数，则,其中,x,=,h,(,y,),为,y,g,(,x,),的反函数,，且,第三章 多维随机变量及其分布,二维随机变量,边缘分布,随机变量的独立性,二维随机变量的函数的分布,3.1,二维随机变量及其分布,设,S,=,e,是随机试验,E,的样本空间，,X,=,X,(,e,),，,Y,=,Y,(,e,),是定义在,S,上的随机变量，则由它们构成的一个二维向量,(,X,Y,),称为,二维随机变量,或,二维随机向量,。,例,1.,抽查某地区儿童的身高体重，设,X=,身高，,Y=,体重，则,(X,Y),是一个二维随机变量。,二维随机变量,(,X,Y,),的性质不仅与,X,及,Y,有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，单独讨论,X,和,Y,的性质是不够的，需要把,(,X,Y,),作为一个整体来讨论。随机变量,X,常称为一维随机变量。,一、二维随机变量,一维随机变量,X,R,1,上的随机点坐标；,二维随机变量,(,X,Y,),R,2,上的随机点坐标；,n,维随机变量,(,X,1,X,2,X,n,),R,n,上的随机点坐标。,多维随机变量的研究方法也与一维类似，用,分布函数,、,概率密度,、或,分布律,来描述其统计规律。,定义,2,设,(,X,Y,),是二维随机变量，对任意实数,x,，,y,，,二元实值函数,F,(,x,y,)=,P,(,X,x,Y,y,),P,(,X,x,Y,y,),x,(,-,+),y,(,-,+),称为二维随机变量,(,X,Y,),的,分布函数,，或称,X,与,Y,的联合分布函数。,F,(,x,y,),即,为事件,X,x,与,Y,y,同时发生的概率,。,二、二维随机变量的联合分布函数,几何意义：,若把二维随机变量,(,X,Y,),看成平面上随机点的坐标，则分布函数,F,(,x,y,),在,(,x,0,y,0,),处的函数值,F,(,x,0,y,0,),就表示随机点,(,X,Y,),落在区域,-,X,x,0,，,-,Y,y,0,中的概率。如图阴影部分：,(,x,0,y,0,),x,y,O,对于(,x,1,y,1,), (,x,2,y,2,),R,2, (,x,1,x,2,，,y,1,y,2,),，,则随机点,(,X,Y,),落在,矩形区域,x,1,X,x,2,，,y,1,Y,y,2,内的,概率,可用分布函数表示为,P,(,x,1,X,x,2,，,y,1,Y,y,2,),F,(,x,2,y,2,),F,(,x,1,y,2,),F,(,x,2,y,1,),F,(,x,1,y,1,),(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),O,x,1,x,2,x,y,1,y,2,y,分布函数,F,(,x,y,),具有如下性质：,(1),对任意,(,x,y,),R,2, 0,F,(,x,y,),1,。,(2),单调不减：,F,(,x,y,),是变量,x,或,y,的非降函数，即,对任意,y,R,当,x,1,x,2,时，,F,(,x,1,y,),F,(,x,2,y,),；,对任意,x,R,当,y,1,y,2,时，,F,(,x,y,1,),F,(,x,y,2,),。,(3),归一性：,(4),右连续：,函数,F,(,x,y,),关于,x,是右连续的，关于,y,也,是右连续的，即,对任意,x,R,，,y,R,，有,(5),矩阵不等式：,对于任意(,x,1,y,1,),，,(,x,2,y,2,),R,2,，,(,x,1,x,2,，,y,1,y,2,),，,F,(,x,2,y,2,),F,(,x,1,y,2,),F,(,x,2,y,1,),F,(,x,1,y,1,),0,。,反之，任一满足上述五个性质的二元函数,F,(,x,y,),都可以作为某个二维随机变量,(,X,Y,),的分布函数。,例,2.,已知二维随机变量,(X,Y),的分布函数为,(1),求常数,A,，,B,，,C,。,(2),求,P0X2,0Y,G,或记为,或记为,利用,直角坐标系计算二重积分,1,、,2,、,X-,型区域,Y-,型区域,a,b,x,y,o,D,c,d,D,y,x,o,例,3.3,设二维随机变量,(,X,Y,),的联合概率密度函数为,(1),求常数,k,；,(2),求概率,P,(,X+Y,1),。,解,(1),解得,k,=15,O,1,x,1,y,y=x,x,+,y,=1,(2),例,3.4,设二维随机变,(,X,Y,),量具有概率密度,(1),确定常数,C,；,(2),求概率,P,(,X,Y,),。,O,x,y=x,2,y=x,y,解,(1),(2),确定积分区域,(1),求常数,K,；,(2),求联合分布函数,F,(,x,y,),；,(3),求概率,P,(,X,+2,Y,1),。,例,3.5,已知,解,(1),K,=6,O x,y,x+,2,y=,1,(2),(3),4.2,边缘分布,1,、二维随机变量的边缘分布函数,二维随机变量,(,X,Y,),作为一个整体，具有联合分布函数,F,(,x,y,),，而,X,和,Y,都是随机变量，各自也有它们的分布函数，记,X,的分布函数为,F,X,(,x,),，称为随机变量,(,X,Y,),关于,X,的边缘分布函数,；,Y,的分布函数为,F,Y,(,y,),，称为随机变量,(,X,Y,),关于,Y,的边缘分布函数,。,由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分布函数的关系,边缘分布的几何意义,F,X,(,x,),的函数值表示,随机点,(,X,Y,),落入如下左图所示区域内的概率,；,F,Y,(,y,),的函数值表示,随机点,(,X,Y,),落入如下右图所示区域内的概率。,O x x,O x,y,y,y,例,3.6,设二维随机变量,(,X,Y,),的联合分布函数为,其中,A,，,B,，,C,为常数，,x,(,-,+),，,y,(,-,+),(1),试确定,A,，,B,，,C,；,(2),求,X,和,Y,的边缘分布函数；,(3),求,P,(,X,2),解,(1),由联合分布函数性质,2,可知,解得,(2),(3),由,X,的分布函数可得,故,2,、二维离散型随机变量的边缘分布律,由,(,X,Y,),的联合分布律,P,(,X,x,i,Y,y,j,p,ij,，,i,j,1,2,i,1,2,j,1,2,其中,p,i,.,和,p,.,j,分别为表示,的记号。,它们分别是事件,(,X=x,i,),和,(,Y=,y,j,),的概率，且有,p,i,.,0,，,p,.,j,0,，,称,P,(,X,x,i,),p,i,.,，,(,i,1, 2, ),为二维离散型随机变量,(,X,Y,),关于,X,的,边缘分布律,；,称,P,(,Y,y,j,),p,.,j,，,(,j,1, 2, ),为二维离散型随机变量,(,X,Y,),关于,Y,的,边缘分布律,。,以表格形式表示为,Y,X,y,1,y,2,y,j,P,(,X,=,x,i,),x,1,p,11,p,12,p,1,j,x,2,p,21,p,22,p,1,j,x,i,p,i,1,p,i,1,p,ij,P,(,Y,=,y,j,),1,例,3.7,已知,(,X,Y,),的分布律为,故关于,X,和,Y,的边缘分布律分别为：,求,X,、,Y,的边缘分布律。,Y,X,1,0,1,1/10,3/10,0,3/10,3/10,Y,X,1,0,p,i,1,1/10,3/10,2/5,0,3/10,3/10,3/5,p,j,2/5,3/5,X,1,0,P,2/5,3/5,Y,1,0,P,2/5,3/5,解,例,3.8,设随机变量,(X,Y),X,在,1,，,2,，,3,，,4,四个整数中等可能地取值，另一个,Y,在,1,至,X,中等可能地取一整数值，试求,(,X,Y,),的联合分布律和边缘分布律。,解,事件,(,X=,i,Y,=j,),中,i,的取值为,1,、,2,、,3,、,4,，而,j,取不大于,i,的整数，因此,i,=1,2,3,4,，,j,i,i,=1,2,3,4,j,=1,2,3,4,Y,X,1,2,3,4,p,i,1,1/4,0,0,0,1/4,2,1/8,1/8,0,0,1/4,3,1/12,1/12,1/12,0,1/4,4,1/16,1/16,1/16,1/16,1/4,p,j,25/48,13/48,7/48,3/48,X,和,Y,的边缘分布律分别为,X,1,2,3,4,P,1/4,1/4,1/4,1/4,Y,1,2,3,4,P,25/48,13/48,7/48,3/48,3,、二维连续型随机变量的边缘密度函数,设,(,X,Y,),是二维连续型随机变量，联合密度为,f,(,x,y,),，此时,X,、,Y,也是连续型随机变量，,称,X,的密度函数,f,X,(,x,),为,(,X,Y,),关于,X,的边缘密度函数,，且有,称,Y,的密度函数,f,Y,(,y,),为,(,X,Y,),关于,Y,的边缘密度函数,，且有,例,3.9,设二维随机变量,求边缘密度函数,f,X,(,x,),和,f,Y,(,y,),解,当,0,x,1,时,O,1,x,y,1,y=x,2,y=x,3,当,x,0,或,x,1,时，,f,(,x,y,)=0,，所以,当,0,y,1,时,当,y,0,或,y,1,时，,f,(x,y,)=0,，所以,五、二维连续型随机变量的常用分布,1,、均匀分布,设,G,为,xoy,平面上的有界区域，,G,的面积为,A,，若二维随机变量,(,X,Y,),的联合密度函数为,则称二维随机变量,(,X,Y,),在,G,上服从,均匀分布,。,若,G,1,是,G,内面积为,A,1,的子区域，则,即：此概率仅与,G,1,的面积有关,(,成正比,),，而与,G,1,在,G,内的位置无关。,例如：向平面上有界区域,G,内任投一质点，若质点落,在,G,内任意小区域,B,的概率与小区域的面积成正比，而,与,B,的位置无关，则质点的坐标（,X,，,Y,）在,G,上服从均,匀分布。,例：若,(X,，,Y),服从矩形区域,ax,b,c, y d,上的均匀分布，则,(X,，,Y),的两个边缘分布仍为均匀分布，且分别为,例,3.10,设,(,X,Y,),服从如图区域,G,上的均匀分布，,(1),求,(,X,Y,),的概率密度,；,(2),求,P,(,Y,2,X,),；,(3),求,F,(0.5,0.5),。,O,0.5,1,x,G,解,(1),区域,G,的面积为,1,(2),Y,2,X,，,G,1,y=,2,x,y,1,区域,G,1,的面积为,1,P,(,Y,0,、,2,0,、,|,|1,，则称,(,X,Y,),服从参数为,1,，,1,，,2,，,2,，,的,二维正态分布,，记为,2,、正态分布,若二维随机变量,(,X,Y,),的联合密度函数为,二维正态分布的重要性质：,若,(X,Y),服从二维正态分布，,则,联合密度函数,f,(,x,y,),的指数部分,则,即,同理可得,x,(,-,+),由此性质看到，,(,X,Y,),的边缘分布都与,无关,，说明,不同，得到的二维正态分布也不同，但其边缘分布相同。因此,边缘分布是不能唯一确定联合分布的,，即使,X,Y,都是服从正态分布的随机变量，,(,X,Y,),不一定是服从二维正态分布。,二维正态分布的边缘分布,必为一维正态分布，反之不真,。,联合分布律不同，边缘分布律可能相同，,但仅有边缘分布律一般不能得到联合分布律。,即联合分布律可以确定边缘分布律，,而边缘分布律不一定能确定联合分布律。,例,3.12,设二维随机变量,x,(,-,+),，,y,(,-,+),，求,f,X,(,x,),，,f,Y,(,y,),。,解,因此,同理可得,但,(,X,Y,),不服从二维正态分布。,分布函数的概念可推广到,n,维随机变量的情形。,事实上，对,n,维随机变量(,X,1,X,2, ,X,n,),，,F,(,x,1,x,2, ,x,n,),P,(,X,1,x,1,X,2,x,2, ,X,n,x,n,),称为的,n,维随机变量(,X,1,X,2, ,X,n,),的,分布函数，,或,随机变量,X,1,X,2,X,n,的联合,分布函数,。,定义,若,(,X,1,X,2, ,X,n,),的全部可能取值为,R,n,上的有限或可列无限多个点，称,(,X,1,X,2, ,X,n,),为,n,维离散型随机变量，称,P,(,X,1,=,x,1,X,2,=,x,2,.,X,n,=,x,n,),，,为,n,维随机变量,(,X,1,X,2, ,X,n,),的,联合分布律,。,则称,(,X,1,X,2, ,X,n,),为,n,维连续型随机变量,，称,f,(,x,1,x,2,x,n,),为,n,维随机变量,(,X,1,X,2, ,X,n,),的概率密度,。,定义,n,维随机变量,(,X,1,X,2, ,X,n,),，,如果存在非负的,n,元函数,f,(,x,1,x,2,x,n,),使对任意的,n,元立方体,求,(1),P,(,X,0),，,(2),P,(,X,1),，,(3),P,(,Y,y,0,),练习,随机变量,(,X,，,Y,),的概率密度为,y,D,答,:,P,(,X,0)=0,O x,1,y,0,y,0,3.4,随机变量的独立性,一、两个随机变量的独立性,定义,设,F,(,x,y,),是二维随机变量,(,X,Y,),的分布函数，,F,X,(,x,),，,F,Y,(,y,),分别是,X,与,Y,的边缘分布函数，若对,一切,x,y,R,，均有,P,(,X,x,Y,y,)=,P,(,X,x,),P,(,Y,y,),即,F,(,x,y,)=,F,X,(,x,),F,Y,(,y,),则称随机变量,X,与,Y,是,相互独立的,。,随机变量,X,与,Y,是相互独立的,充要条件,是事件,(,X,x,),与事件,(,Y,y,),相互独立。,若,(,X,Y,),是二维离散型随机变量，其分布律为,P,(,X,=,x,i,Y,=,y,j,)=,p,ij,，,i,j,=1,2,则,X,与,Y,相互独立的充分必要条件是对任意,i,，,j,，,P,(,X,=,x,i,Y,=,y,j,)=,P,(,X,=,x,i,),P,(,Y,=,y,j,),，即,p,ij,=,p,i,p,j,。,若,(,X,Y,),是二维连续型随机变量，则由分布函数与概率密度函数的关系可知，,X,与,Y,相互独立，即,F,(,x,y,)=,F,X,(,x,),F,Y,(,y,),成立的充分必要条件是,f,(,x,y,)=,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),在平面上,几乎处处成立,。,由上述结论可知，要判断两个随机变量,X,与,Y,的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对,(,X,Y,),边缘分布的乘积都等于联合分布即可。,若随机变量,X,与,Y,相互独立，则联合分布可由边缘分布,唯一,确定。,定理,1,.,随机变量,X,与,Y,相互独立的充要条件是,X,所生成的任何事情与,Y,生成的任何事情独立。即，对任意实数集,A,B,，有,PX,A,Y B,=PX,APY,B,定理,2,.,若随机变量,X,与,Y,相互独立，则对任意函数,g,1,(x),g,2,(y),均有,g,1,(X),与,g,2,(Y),相互独立。,例,3.13,已知,(,X,Y,),的联合分布律为,Y,X,1,2,1,1/3,1/6,2,a,1/9,3,b,1/18,X,1,2,3,P,1/2,a,+1/9,b,+1/18,Y,1,2,P,a+b+,1/3,1/3,试确定常数,a,b,，使,X,与,Y,相互独立。,解,先求出,(,X,Y,),关于,X,和,Y,的边缘分布律,要使,X,与,Y,相互独立，可用,p,ij,=,p,i,p,j,来确定,a,b,。,P,(,X,=2,Y=,2)=,P,(,X,=2),P,(,Y=,2),，,P,(,X,=3,Y=,2)=,P,(,X,=3),P,(,Y=,2),，即,因此，,(,X,Y,),的联合分布律和边缘分布律为,Y,X,1,2,p,i,1,1/3,1/6,1/2,2,a,1/9,1/3,3,b,1/18,1/6,p,j,2/3,1/3,经检验，此时,X,与,Y,是相互独立的。,例,3.14,设二维随机变量,(,X,Y,),在矩形区域,G,=(,x,y,)|0,x,2,0,y,1,上服从均匀分布，若,试求,(,U,V,),的联合分布律，并判断,U,与,V,是否相互独立。,解,(,X,Y,),在,G,上服从均匀分布，则联合密度函数为,O,1 2,x,y,1,y=x,x=,2,y,G,(,U,V,),的联合分布律和边缘分布律为,V,U,0,1,p,i,0,1/4,0,1/4,1,1/4,1/2,3/4,p,j,1/2,1/2,经检验，,U,和,V,不是相互独立的。其中,p,00,p,0,p,0,例,3.15,若二维随机变量,证明,X,与,Y,相互独立的充分必要条件为,=,0,证,(,X,Y,),的联合密度函数为,边缘密度函数为,f,(,x,y,)=,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),成立的充分必要条件是,=,0,，,而,X,与,Y,相互独立的充分必要条件是,f,(,x,y,)=,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),。,例,3.16,一负责人到达办公室的时间均匀分布在,812,时之间，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在,79,时之间。设他俩到达时间是相互独立的，求他俩到达办公室的时间差不超过,5,分钟的概率。,解,设,X,是负责人到达办公室的时间，,Y,是秘书到达办公室的时间，,则,X,和,Y,的密度函数分别为,O,8 12,x,y,9,7,因,X,与,Y,相互独立，所以,(,X,Y,),的联合密度函数为,所求概率为,P,(|,X,-,Y,|1/12),，即随机点,(,X,Y,),落在区域,G,中的概率，,y=x+,1/12,y=x,-,1/12,矩形区域上的均匀分布,G,G,的面积为,1/6,例,3.17,设二维随机变量,(,X,Y,),具有概率密度函数,(1),求,X,Y,的边缘概率密度；,(2),问,X,与,Y,是否相互独立？,O,1,x,y,1,解,由于,f,(,x,y,),与,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),在平面上不是几乎处处相等，因此,X,与,Y,不相互独立。,练习,.,已知随机变量,(X,Y),的概率密度为,判断,X,Y,是否相互独立。,解：,x,yR,2,f,(,x,y,)=,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),即,X,Y,相互独立。,二、,n,维随机变量的独立性,设,n,维随机变量,(,X,1,X,2,X,n,),，对任意实数,(,x,1,x,2,x,n,),，有,P,(,X,1,x,1,X,2,x,2,X,n,x,n,),=,P,(,X,1,x,1,),P,(,X,2,x,2,),P,(,X,n,x,n,),则称随机变量,X,1,X,2,X,n,是相互独立的。,若,(,X,1,X,2,X,n,),的联合分布函数以及关于,X,i,的边缘分布函数分别记为,F,(,x,1,x,2,x,n,),，,F,X,k,(,x,k,),k,=1,2,n,，,则,X,1,X,2,X,n,相互独立等价表示为,F,(,x,1,x,2,x,n,)=,F,X,1,(,x,1,),F,X,2,(,x,2,) ,F,X,n,(,x,n,),。,对于离散型随机变量,(,X,1,X,2,X,n,),的情形，,X,1,X,2,X,n,相互独立，当且仅当对,X,k,的每个可能取值,k,=1,2,n,有等式,对于连续型随机变量,(,X,1,X,2,X,n,),的联合密度函数为,f,(,x,1,x,2,x,n,),，,X,1,X,2,X,n,相互独立，当且仅当,f,(,x,1,x,2,x,n,)=,f,X,1,(,x,1,),f,X,2,(,x,2,) ,f,X,n,(,x,n,),其中,f,X,k,(,x,k,),，,(,k,=1,2,n,),是关于,X,k,的边缘密度函数。,设,n,维随机变量,(,X,1,X,2,X,n,),，,m,维随机变量,(,Y,1,Y,2,Y,m,),，,如果对于任意的,(,x,1,x,2,x,n,),R,n,，以及任意的,(,y,1,y,2,y,m,),R,m,，均有,P,(,X,1,x,1,X,2,x,2,X,n,x,n,;,Y,1,y,1,Y,2,y,2,Y,m,y,m,),=,P,(,X,1,x,1,X,2,x,2,X,n,x,n,),P,(,Y,1,y,1,Y,2,y,2,Y,m,y,m,),则称,n,维随机变量,(,X,1,X,2,X,n,),与,m,维随机变量,(,Y,1,Y,2,Y,m,),相互独立。,设,(,X,1,X,2,X,n,),与,(,Y,1,Y,2,Y,m,),相互独立，则,X,i,(,i,=1, 2, ,n,),与,Y,i,(,i,=1, 2, ,m,),相互独立；,又若,h,g,是连续函数，则,h,(,X,1,X,2,X,n,),与,g,(,Y,1,Y,2,Y,m,),相互独立。,用分布函数形式表示即为,F,(,x,1,x,2,x,n,y,1,y,2,y,m,)=,F,X,(,x,1,x,2,x,n,),F,Y,(,y,1,y,2,y,m,),3.5,多维随机变量的函数的分布,已知随机变量,(,X,Y,),的分布，求,Z,=,g,(,X,Y,),的概率分布，其中,z,=,g,(,x,y,),是连续函数。,一、两个离散型随机变量的函数的分布举例,例,3.18,已知随机变量,(,X,Y,),的联合分布律为,试求,Z,1,=,X,+,Y,，,Z,2,=,max(,X,Y,),的分布律。,Y,X,1,2,1,1/5,1/5,2,0,1/5,3,1/5,1/5,解,Z,1,的所有可能取值为,2,3,4,5,P,(,Z,1,=2)=,P,(,X,+,Y,=2)=,P,(,X,=1,Y,=1)=1/5,P,(,Z,1,=3)=,P,(,X,+,Y,=3)=,P,(,X,=1,Y,=2)+,P,(,X,=2,Y,=1) =1/5,P,(,Z,1,=4)=,P,(,X,+,Y,=4)=,P,(,X,=2,Y,=2)+,P,(,X,=3,Y,=1) =2/5,P,(,Z,1,=5)=,P,(,X,+,Y,=5)=,P,(,X,=3,Y,=2)=1/5,Z,1,的分布律为,Z,1,2,3,4,5,P,1/5,1/5,2/5,1/5,Y,X,1,2,1,1/5,1/5,2,0,1/5,3,1/5,1/5,Z,2,=,max(,X,Y,),的所有可能取值为,1,2,3,P,(,Z,2,=1)=,P,(,X,=1,Y,=1)=1/5,P,(,Z,2,=2)=,P,(,X,=1,Y,=2)+,P,(,X,=2,Y,=1)+,P,(,X,=2,Y,=2),=1/5+0+1/5=2/5,P,(,Z,2,=3)=,P,(,X,=3,Y,=1)+,P,(,X,=3,Y,=2),=1/5+1/5=2/5,Z,2,的分布律为,Z,2,1,2,3,P,1/5,2/5,2/5,例,3.19,设随机变量,X,与,Y,相互独立，它们分别服从参数为,1,和,2,的泊松分布，证明,Z,=,X,+,Y,服从参数为,1,+,2,的泊松分布。,证,k,1,=0,1,2,k,2,=0,1,2,Z,=,X,+,Y,的所有可能取值为,0,1,2,3,XP,(,1,),YP,(,2,),因此,Z,P,(,1,+,2,),k,=0,1,2,二、两个连续型随机变量的函数的分布,设二维随机变量,(,X,Y,),f,(,x,y,),，,z,=,g,(,x,y,),是连续函数，则随机变量,Z,=,g,(,X,Y,),的分布函数为,即,F,Z,(,z,),可利用,f,(,x,y,),在平面区域：,G,=(,x,y,)|,g,(,x,y,),z,上的二重积分得到。,Z,=,g,(,X,Y,),的密度函数为,三、常用的随机变量的函数的分布,1,、和的分布,设,(,X,Y,),f,(,x,y,),，,(,x,y,),R,2,Z,=,X,+,Y,，则,Z,是连续型随机变量，且,Z,的概率密度为,此两公式称为,卷积公式,。,或,证明,对任意的,z,R,，,Z,=,X,+,Y,的分布函数为,O x,y,z=,x+y,固定,x,交换积分次序,所以,z,R,同理可得,z,R,特别地，当,X,Y,相互独立,时，,或,其中，,f,X,(,x,),，,f,Y,(,y,),为,(,X,Y,),关于,X,和,Y,的边缘密度。,上式也称为,f,X,(,z,),与,f,Y,(,z,),的卷积，记为,f,X,(,z,)*,f,Y,(,z,),即,X,Y,相互独立时，,f,Z,(,z,)=,f,X,(,z,)*,f,Y,(,z,),例,3.20,设,(,X,Y,),N,(0,1;0,1;,0,),，试求,Z,=,X,+,Y,的密度函数,解,由于,=,0,，所以,X,与,Y,相互独立，且,所以,Z,的密度函数为,令,此式说明,Z,N,(0,2),一般地，,(1),且,X,与,Y,相互独立，则,(2),Y,=,aX,+,b,，,(,a,b,为常数，且,a,0),，,则,(3),X,与,Y,相互独立，且,是不全为,0,的常数，则,(4),X,i,相互独立，,i,是不全为,0,的常数，,i,=1,2,3,n,，则,相互独立的正态随机变量的线性组合仍是正态随机变量,。,例,3.21,设,X,Y,相互独立，且两者都在区间,0,1,上服从均匀分布，求,Z=X,+,Y,的概率密度。,解,X,Y,的密度函数分别为,由卷积公式,O,1 2,z,x,1,x=z,x=z,-,1,当,0,x,1,，且,0,z,-,x,1,时，被积函数为,1,，其它区域被积函数为,0,，即,0,x,1,，且,z,-,1,x,0,，,0,，试分别就以上两种联结方式写出,L,的寿命,Z,的分布函数与概率密度函数。,解,(1),串联时，,当,L,1,和,L,2,中有一个损坏时，系统,L,就停止工作，所以,L,的寿命为,Z,=,min(,X,Y,),。,由条件可得,X,Y,的分布函数分别为,Z,的分布函数为,Z,的概率密度函数为,(2),并联时，当且仅当,L,1,和,L,2,都损坏时，系统,L,才停止工作，因此,L,的寿命,Z,=,max(,X,Y,),其分布函数为,密度函数为,例,3.23,设,(,X,Y,),在,G,=(,x,y,)|0,x,2,0,y,1,上服从均匀分布，试求,Z=XY,的密度函数。,解,(,X,Y,),的联合密度函数为,Z,的分布函数为,O,z,1 2,x,y,1,z=,xy,当,z,0,时，,F,Z,(,z,)=0;,当,0,z,2,时，,当,z,2,时，,Z,的密度函数,练习,卡车装运水泥,设每袋水泥的重量,X,(kg,),服从,N,(50,2.5,2,),分布,该卡车的额定载重量为,2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过,0.05.,解,设最多装,n,袋水泥,X,i,为第,i,袋水泥的重量，则,由题意,令,查表得,第三章 内容提要,一、二维随机变量及其分布,1,、二维随机变量联合分布、几何意义、性质,F,(,x,y,)=,P,(,X,x,Y,y,),P,(,X,x,Y,y,),(1),对任意,(,x,y,),R,2, 0,F,(,x,y,),1,。,(2),单调不减：,F,(,x,y,),是变量,x,或,y,的非降函数。,(3),归一性：,(4),右连续性：,F,(,x,y,),关于变量,x,或,y,是右连续的。,(5),矩阵不等式：,对于任意(,x,1,y,1,),，,(,x,2,y,2,),R,2,(,x,1,x,2,，,y,1,y,2,),，,F,(,x,2,y,2,),F,(,x,1,y,2,),F,(,x,2,y,1,),F,(,x,1,y,1,),0,。,2,、二维离散型随机变量及其联合分布律,P,(,X,=,x,i,Y,=,y,j,)=,p,ij,3,、二维连续型随机变量及其密度函数及其性质,(1),非负性,：,f,(,x,y,),0,，,(,x,y,),R,2,;,(2),归一性,：,(3)若,f,(,x,y,),在(,x,y,),处连续，则有,(4),(,X,Y,),落在平面区域,G,内的概率,二、边缘分布定义、几何意义、计算,1,、,二维离散型随机变量的边缘分布律的计算,Y,X,y,1,y,2,y,j,P,(,X,=,x,i,),x,1,p,11,p,12,p,1,j,x,2,p,21,p,22,p,1,j,x,i,p,i,1,p,i,2,p,ij,P,(,Y,=,y,j,),1,联合确定边缘，但仅有边缘未必能确定联合,2,、二维连续型随机变量的边缘密度函数的计算,3,、二维连续型随机变量的常用分布,均匀分布,正态分布,三、随机变量的独立性,定义,P,(,X,x,Y,y,)=,P,(,X,x,),P,(,Y,y,),即,F,(,x,y,)=,F,X,(,x,),F,Y,(,y,),判定,离散情形,对任意,i,，,j,，,P,(,X,=,x,i,Y,=,y,j,)=,P,(,X,=,x,i,),P,(,Y,=,y,j,),，即,p,ij,=,p,i,p,j,连续情形,f,(,x,y,)=,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),在平面上几乎处处成立,若随机变量,X,与,Y,相互独立，则联合分布可由边缘分布,唯一确定。,四、多维随机变量的函数的分布,已知随机变量,(,X,Y,),的分布，求,Z,=,g,(,X,Y,),的概率分布，其中,z,=,g,(,x,y,),是连续函数。,1,、离散情形,:,2,、连续情形,:,先求分布函数，再求密度函数,3,、常用的随机变量的函数的分布,1,）和的分布,Z,=,X,+,Y,设,(,X,Y,),f,(,x,y,),，,(,x,y,),R,2,，则,Z,的概率密度为,或,重要结论：,X,i,相互独立，,i,是不全为,0,的常数，,i,=1,2,3,n,，则,相互独立的正态随机变量的线性组合仍是正态随机变量。,2,）、,M,=,max(,X,Y,),，,N,=,min(,X,Y,),的分布（极值分布）,设随机变量,X,Y,相互独立，且分布函数分别为,F,X,(,x,),，,F,Y,(,y,),，则,M,与,N,的分布函数分别为,