资源描述
单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*三、向量的混合积,第二节,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数量积 向量积,*,混合积,第,七,章,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1. 定义,设向量,的夹角为, ,称,记作,数量积,(,点积) .,引例.,设一物体在常力,F,作用下,位移为,s,则力,F,所做的功为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记作,故,2. 性质,为两个非零向量,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 运算律,(,1) 交换律,(,2) 结合律,(,3) 分配律,事实上, 当,时, 显然成立 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,证明三角形余弦定理,证:,则,如图 . 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,已知三点,AMB,.,解:,则,求,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为,) .,求单位时间内流过该平面域的流体的质量,P,(,流体密度,例,3.,设均匀流速为,的流体流过一个面积为,A,的平,面域,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的体积,的,夹角为,且,为单位向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、两向量的向量积,引例.,设,O,为杠杆,L,的支点 ,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,矩是一个向量,M,:,的力,F,作用在杠杆的,P,点上 ,则力,F,作用在杠杆上的力,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 定义,定义,向量,方向 :,(,叉积),记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,称,引例中的力矩,思考:,右图三角形面积,S,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 性质,为非零向量, 则,3. 运算律,(,2) 分配律,(3) 结合律,(证明略),证明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 向量积的坐标表示式,设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量积的行列式计算法,( 行列式计算见,P339P342 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,已知三点,角形,ABC,的面积,解:,如图所示,求三,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一点,M,的线速度,例5.,设刚体以等角速度,绕,l,轴旋转,导出刚体上,的表示式 .,解:,在轴,l,上引进一个角速度向量,使,其,在,l,上任取一点,O,作,它与,则,点,M,离开转轴的距离,且,符合右手法则,的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则 ,向径,机动 目录 上页 下页 返回 结束,*三、,向量的混合积,1. 定义,已知三向量,称数量,混合积,.,记作,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 混合积的坐标表示,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 性质,(,1) 三个非零向量,共面的充要条件是,(,2) 轮换对称性 :,(,可用三阶行列式推出),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,已知一四面体的顶点,4 ) , 求该四面体体积 .,解:,已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,证明四点,共面 .,解:,因,故,A,B,C,D,四点共面 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,设,1. 向量运算,加减:,数,乘:,点积:,叉积:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,混合积:,2. 向量关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设,计算,并求,夹角,的正弦与余弦 .,答案:,2. 用向量方法证明正弦定理:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,由三角形面积公式,所以,因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P310 3 , 4 , 6 , 7 ,9,(1) ; (2), 10 , 12,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.,已知向量,的夹角,且,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,顶点为,三角形中,求,AC,边上的高,BD,.,解：,三角形,ABC,的面积为,2.,而,故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
展开阅读全文