正交试验设计

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,正交试验设计,一、试验设计的基本概念与正交表,多因素试验遇到的最大困难是试验次数太多，若十个因素对产品质量有影响，每个因素取两个不同状态进行比较，有2,10,=1024、 如果每个因素取三个不同状态3,10,=59049个不同的试验条件,在多因素试验中，有人采用“单因素轮换法”，但是这种方法不一定能找到好的条件,譬如：考察两个因子，先固定,A,在,A,1,，,发现,B,3,好，再固定,B,3,，,发现,A,1,好，但是实际上好的条件是,A,2,B,2,。,B,1,B,2,B,3,A,1,50 56 62,A,2,56 70 60,A,3,54 60 58,因子与水平,试验中要加以考察而改变状态的因素称为因子，常用大写英文字母,A、B、C,等表示。因子在试验中所取的状态称为水平。因子,A,的水平用代表因子的字母加下标表示，记为,A,1,，A,2,，,A,k,.,。,在一次试验中每个因子总取一个特定的水平，称各因子水平的一个组合为一个处理或一个试验条件,。,试验指标与试验结果,衡量试验条件好坏的特性（可以是质量特性也可以是产量特性或其它）称为指标，用,y,表示。,由于,y,是一个随机变量，因此可以假定它有如下的结构式：,y=+,其中,是一个依赖于试验条件的常量，随试验条件的变化而改变，,是一个随机变量，常假定它服从正态分布,N（0,2,）。,正交表,选择部分条件进行试验，再通过数据分析来寻找好的条件，这便是试验设计问题。通过少量的试验获得较多的信息，达到试验的目的：发现那些因子对试验结果确有影响，因子的什么水平组合是最好的。,利用正交表进行试验设计的方法就是正交试验设计,。,“,L”,表示正交表，“9”是行数，在试验中表示试验的条件数，“4”是列数，在试验中表示可以安排的因子的最多个数，“3”是表的主体只有三个不同数字，在试验中表示每一因子可以取的水平数。,正交表具有正交性，这是指它有如下两个特点：,（1）每列中不同的数字重复次数相同。,在表,L,9,(3,4,),中，每列有3个不同数字：1,2,3，每一个出现3次。,（2）将任意两列的同行数字看成一个数对，那么一切可能数对重复次数相同。,在表,L,9,(3,4,),中，任意两列有9种可能的数对：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)每一对出现一次。,（1）一类正交表的行数,n，,列数,p，,水平数,qn=q,k, k=2,3,4, p=(n-1)/(q-1),如：,L,4,(2,3,)，L,8,(2,7,)，L,16,(2,15,)，L,32,(2,31,),等这类正交表可以考察因子间交互作用,（2）另一类正交表的行数，列数，水平数之间不满足上述的两个关系,如：,L,12,(2,11,)， L,18,(3,7,)，L,36,(3,13,),等,常用的正交表有两大类,二、无交互作用的正交设计与数据分析,试验设计一般有四个步骤：,1. 试验设计,2. 进行试验获得试验结果,3. 数据分析,4. 验证试验,例1 磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关键部件之一，按质量要求其输出力矩应大于,210g.cm。,某生产厂过去这项指标的合格率较低，从而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓电机的输出力矩。,（一）试验的设计,在安排试验时，一般应考虑如下几步：,（1）明确试验目的；,（2）明确试验指标；,（3）确定因子与水平；,（4）选用合适的正交表，进行表头设计，列出试验计划。,在本例中：,试验目的：提高磁鼓电机的输出力矩,试验指标：输出力矩,确定因子与水平：,选表：首先根据因子的水平数，找出一类正交表，再根据因子的个数确定具体的表，把因子放到表的列上去，称为表头设计。,把放因子的列中的数字改为因子的真实水平，便成为一张试验计划表， 每一行便是一个试验条件。,在正交设计中,n,个试验条件是一起给出的的，称为“整体设计”，并且均匀分布在试验空间中。,9个试验点的分布,C,3,C,2,C,1,A,1,A,2,A,3,B,1,B,2,B,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,（二）做试验，并记录试验结果,在进行试验时，要注意几点：,1. 除了所考察的因子外的其它条件，尽可能保持相同,2. 试验次序最好要随机化,3. 必要时可以设置区组因子,（三）数据分析,1. 数据的直观分析,（1）寻找最好的试验条件,在,A,1,水平下进行了三次试验：#1，#2，#3，而在这三次试验中因子,B,的三个水平各进行了一次试验，因子,C,的三个水平也各进行了一次试验。,在,A,2,水平下进行了三次试验：#4，#5，#6，在这三次试验中因子,B,与,C,的三个水平各进行了一次试验。,在,A,3,水平下进行了三次试验：#7，#8，#9，在这三次试验中因子,B,与,C,的三个水平各进行了一次试验。,将全部试验分成三个组，那么这这三组数据间的差异就反映了因子,A,的三个水平的差异，为此计算各组数据的和与平均：,T,1,=y,1,+y,2,+y,3,=160+215+180=555,T,2,=y,4,+y,5,+y,6,=168+236+190=594,T,3,=y,7,+y,8,+y,9,=157+205+140=502,同理,对因子,B,与,C,将数据分成三组分别比较,所有计算列在下面的计算表中,（2）各因子对指标影响程度大小的分析,极差的大小反映了因子水平改变时对试验结果的影响大小。这里因子的极差是指各水平平均值的最大值与最小值之差，譬如对因子,A,来讲：,R,A,=198167.3=30.7,其它的结果也列在上表中,（3）各因子不同水平对指标的影响图,900,1100,1300,10,11,12,70,80,90,160,170,180,190,200,210,220,输出力矩,R,A,R,B,R,C,A:,充磁量,B:,定位角度,C:,定子线圈匝数,因子各水平对输出力矩的影响,由于正交表的特点，使试验条件均匀分布在试验空间中，因此使数据间具有整齐可比性，上述的直观分析可以进行。但是极差大到什么程度可以认为水平的差异确实是有影响的呢？,2. 数据的方差分析,要把引起数据波动的原因进行分解，数据的波动可以用偏差平方和来表示,。,正交表中第,j,列的偏差平方和的计算公式,：,其中,T,ij,为第,j,列第,i,水平的数据和，,T,为数据总和，,n,为正交表的行数，,q,为该列的水平数。该列表头是哪个因子，则该,S,j,即为该因子的偏差平方和，譬如,S,A,=S,1,正交表总的偏差平方和为：,在这里有：,表4.6 例4.1的方差分析表,3.,最佳条件的选择,对显著因子应该取最好的水平,对不显著因子的水平可以任意选取，在实际中通常从降低成本、操作方便等角度加以选择。,上面的例子中对因子,A,与,B,应该选择,A,2,B,2,，,因子,C,可以任选，譬如为节约材料可选择,C,1,（四）验证试验,对,A,2,B,2,C,1,进行三次试验，结果为：,234，240，220，平均值为231.3此结果是满意的。,交互作用,一个因子的水平好坏或好坏的程度受另一因子水平制约的情况，称为因子,A,与,B,的交互作用。,其直观表示如下面的图(,b),与,(,c),所示。,三、有交互作用的正交设计与数据分析,两个因子的不同水平搭配下的得率,60,70,80,90,得率,B,1,A,1,A,2,A,1,A,2,A,1,A,2,B,2,B,1,B,1,B,2,B,2,(,a),(,b),(,c),（1）试验的设计,明确试验目的；,明确试验指标；,确定试验中所考虑的因子与水平，并确定可能存在并要考察的交互作用；,选用合适的正交表，进行表头设计，列出试验计划。,例2 为提高某种农药的收率，需要进行试验。,试验目的：提高农药的收率,试验指标：收率,确定因子与水平以及所要考察的交互作用：,还要考察因子,A,与,B,的交互作用,选表：首先根据因子的水平数，找出一类正交表,再根据因子的个数及交互作用个数确定具体的表。,把因子放到表的列上去，但是要先放有交互作用的两个因子，并利用交互作用表，标出交互作用所在列，以便于今后的数据分析。,把放因子的列中的数字改为因子的真实水平，便成为一张试验计划表,表4.9,L,8,（2,7,）,的交互作用表,表4.10 试验计划,（二）数据分析,1. 数据的方差分析,在二水平正交表中一列的偏差平方和有,一个简单的计算公式：,其中,T,1j,、T,2j,分别是第,j,列一水平与二水平数据的和，,n,是正交表的行数。,表4.11 例4.3的计算表,表4.12 例4.3的方差分析表,表4.13,AB,的搭配表,（三）避免混杂现象表头设计的一个原则,在进行表头设计时一列上只能放一个因子或放一个交互作用。,若在一列上有两个因子或两个交互作用或一个因子一个交互作用称为混杂,混杂应该避免,否则数据分析要产生问题。,在用正交表安排试验时要求：,因子与所在列的自由度相等,交互作用与所占列的自由度的和相等,所以二水平因子应该用二水平正交表，三水平因子应该用三水平正交表。,二水平因子的交互作用的自由度为1，所以在二水平正交表上占一列。,三水平因子的交互作用的自由度为4，所以在三水平正交表上占两列。,选择正交表时必须满足下面一个条件：“所考察的因子与交互作用自由度之和,n1”，,其中,n,是正交表的行数。,不过在存在交互作用的场合，这一条件满足时还不一定能用来安排试验，所以这是一个必要条件。,例3 给出下列试验的表头设计：,（1）,A、B、C、D,为二水平因子，同时考察交互作用,A,B，A,C,（2）A、B、C、D,为二水平因子，同时考察交互作用,A,B，C,D,（3）A、B、C、D、E,为三水平因子，同时考察交互作用,A,B,它们分别要用,L,8,（2,7,），L,16,（2,15,），L,27,（3,13,）,解 （1）由于因子均为二水平的，故选用二水平正交表，又因子与交互作用的自由度之和为：,f,A,+f,B,+f,C,+f,D,+f,AB,+f,AC,=1+1+1+1+1+1=6,故所选正交表的行数应满足：,n6+1=7，,所以选,L,8,(2,7,)，,表头设计如下：,（2）由于因子均为二水平的，故仍选用二水平正交表，又因子与交互作用的自由度之和为6，故所选正交表的行数应满足：,n6+1=7，,但,L,8,(2,7,),无法安排这四个因子与两个交互作用，因为不管四个因子放在哪四列上，两个交互作用或一个因子与一个交互作用总会共用一列，从而产生混杂，譬如：,因此选用,L,16,(2,15,)，,表头设计如下：,（3）由于因子均为三水平的，故选用三水平正交表，又因子与交互作用的自由度之和为：,f,A,+f,B,+f,C,+f,D,+f,E,+f,AB,=2+2+2+2+2+4=14,故所选正交表的行数应满足：,n14+1=15，,所以选,L,27,(3,13,)，,表头设计如下：,四、有重复试验的情况,例4 某厂为提高零件内孔研磨工序质量进行工艺参数的选优试验，考察孔的锥度值，希望其越小越好。,在试验中考察的因子水平如下：,表4.14 因子水平表,采用正交表,L8(2,7,),安排试验，表头设计如下：,各偏差平方和的计算公式如下：,其中,T,为数据总和，,n,为正交表行数，,m,为每一条件重复数，其自由度为,mn-1,其中,y,i,为第,i,个条件数据的和，其自由度,n-1,第,j,列的偏差平方和为：,在二水平正交表中,其中,T,ij,为第,j,列第,i,水平数据的和，,q,为该列水平数，其自由度为,q-1,第二类误差的偏差平方和为,其自由度为,n(m-1),表4.15 例4.5的计算表,S,e1,=S,3,+S,5,+S,6,+S,7,=1.714,f,e1,=4， V,e1,=0.4285,S,e2,=3.788， f,e2,=24， V,e2,=0.1578,F,1,=2.715F0.90(4,24)=2.19,由于,S,3,特别大，从实际考虑，因子,A,与,B,有交互作用，重新作方差分析表如下：,表4.16 方差分析表,结论是：因子,B,与交互作用,A,B,是显著的。,最佳条件的选取：,A,B,的搭配表,所以最佳条件是,A,1,B,1,几点补述,当正交表中存在空白列时，可以将每列的均方和与误差的均方和相比，以确定哪些列可能存在交互作用,当正交表中无空白列时，可以将,S,e2,作为,S,e,。,当正表中某因子的均方和小于误差的均方和时，为了提高对误差的估计，可以将该因子的偏差平方和并入误差的平方和中。,