速度矢端曲线

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第6章 运动学基础,6.1,运动学的基本概念,6.2,点的运动学,6.3,刚体的平动,6.4,刚体绕定轴的转动,1,6.1,运动学的基本概念,运动学只从几何角度来研究物体的运动(如轨迹、速度和加速度等)，而不研究引起物体运动的物理原因(如力、质量等)。因此，运动学是研究物体运动的几何性质的学科。,6.2.1,点的运动矢量表示法,6.2,点的运动学,1,点的运动方程,2,在参考坐标系上任取某确定的点,O,为坐标原点，则动点的位置可用原点至动点的矢径,r,表示。当动点,M,运动时，矢径,r,是时间的单值连续函数，即,上式称为用矢量表示的点的运动方程。动点,M,在运动过程中,其矢径,r,的末端在空间描绘出的曲线，称为动点,M,的运动轨迹。,3,动点在,t,时间内的平均速度可表示为,2点的运动速度,点的速度可用矢量表示，设动点在,t,时刻的位置为,M,点，经过,t,后，即在,t,+,t,时刻的位置为,M,。如图,所示。动点在,t,时间内发生的位移为,4,动画：雷达与飞机,5,即动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。它是一个矢量,其方向沿动点的矢端曲线(即动点轨迹)的切线，并与动点运动的方向一致。在国际单位制中，速度的单位为,m/s,。,3,点的运动加速度,由数学的极限概念，动点在,t,时刻的瞬时速度可对上式取极限，即,6,同样，由数学的极限概念，在,t,时刻动点的加速度可表示为,设动点在,t,时刻的速度为,v,经过,t,后,即在,t,+,t,时刻的速度为,v,。动点在,t,时间内速度的改变为,v,=,v,-v,。则在,t,时间内的平均加速度,a,可表示为,即动点的加速度等于它的速度,v,对时间的一阶导数，也等于矢径,r,对时间的二阶导数。它是一个矢量，其方向沿速度矢端曲线的切线方向，并指向速度矢端运动的方向。在国际单位制中，加速度的单位为,m/s,2,。,7,设动点,M,在空间做曲线运动，过固定点,O,作如图所示的直角坐标系,Oxyz,。则动点在,t,时刻的位置,M,可用它的三个直角坐标,x,y,z,表示，,如图所示。,1,点的运动方程,当点,M,运动时，这些坐标一般可表示为时间,t,的单值连续函数，即,6.2.2,点的运动直角坐标表示法,，,，,8,1点的运动方程,9,在工程实际中，经常遇到点在某平面内运动的情形，此时点的运动方程可简化为,2,点的运动速度,点的运动速度如可用直角坐标表示，即,上式消去时间,t,，可得轨迹方程为,上式称为点,M,以直角坐标表示点的运动方程。从形式上可以看出，上式也是动点轨迹的参数方程，动点的轨迹可通过消去时间参数,t,而直接得到。,10,比较以上两式，可得,这就是动点速度的直角坐标表示。可见，动点的速度在直角坐标轴上的投影等于其相应的直角坐标对时间的一阶导数。,动点,M,的速度矢可写为,其方向为,速度的大小为,11,3点的运动加速度,为求动点的加速度，用速度对时间求一阶导数得,加速度矢量亦可表示为,可见，动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于其相应速度投影对时间的一阶导数，也等于其相应的坐标对时间的二阶导数。加速度的大小和方向余弦为,12,6.2.3,点的运动自然坐标表示法,13,1弧坐标,动点,M,的运动用自然法表示，动点,M,在轨迹上的位置由动点到原点的弧长,s,来确定，称为动点,M,的弧坐标。当动点,M,运动时，,s,随时间而变化，是时间的单值连续函数，即,上式称为点沿轨迹的运动方程,14,若以,表示切线的单位矢量，,n,表示,主法线的单位矢量，以,b,表示副法线,的单位矢量，其方向由右手螺旋法则,确定，即,2自然轴系,以点,M,为原点，切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点,M,的自然坐标系。,过点,M,并与切线垂直的平面称为法平面，在法平面内过点,M,的所有直线都和切线垂直，都是法线，在密切面内的那条法线称为主法线。法平面内过点,M,与主法线垂直的法线称为副法线。,15,3点的运动速度,点的速度,v,是一个矢量，它的方向沿轨迹的切线，如图所示。显然,可将动点的速度矢写成如下的形式,速度的大小等于弧坐标对时间的一阶导数，即,如果,ds/dt,0,，则速度与,的正向相同，弧坐标随时间而增大。反之，速度与,的正向相反。,16,4点的运动加速度,速度对时间求一阶导数，得,右边两项分别称为切向加速度和法向加速度。前者表示速度大小变化对加速度的贡献，而后者是速度方向变化对加速度的贡献。,。,17,曲率（曲率半径的倒数）的定义为,由上图可知,即,18,因而,这样法向加速度可写为,由此可见，法向加速度,的大小等于点的速度平方除以曲率半径，方向与主法线的方向一致，指向轨迹的曲率中心。,19,按以上分析，加速度可以写为,加速度的大小可写为,，,其方向由,a,与主法线方向,n,的夹角,来确定,，它的正切为,20,【例6-1】半径为,r,的圆轮沿水平直线轨道滚动而不滑动，轮心,C,则在与轨道平行的直线上运动。设轮心,C,的速度为一常量,v,C,试求轮缘上一点,M,的运动轨迹、速度和加速度。,解：以点,M,第一次和轨道接触的瞬时作为时间的起点，并以该接触点作为坐标的原点，建立,Oxy,坐标系，点,M,的坐标为,这就是点的运动方程，其运动的轨迹为摆线(或称旋轮线)。动点的速度为,21,此时，速度的大小和方向分别可写为,动点的加速度为,加速度,的大小和方向分别可写为,，,可见，动点,M,的加速度方向指向轮心,C,22,【例6-2】已知弧,BC,的半径为,R,，摇杆以匀角速度,绕,O,轴转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法给出点,M,的运动方程，并求出其速度和加速度。,解：(1) 直角坐标法,求导后可得点,M,速度和加速度：,(2) 自然坐标法：,于是点,M,速度和加速度分别为,23,证明：设加速度为,a,则经过时间,t,后,动点,A,走过的弧长和速度分别为,【例6-3】 动点,A,沿如图所示的圆周做匀加速圆周运动。已知圆周半径为,R,，初速度为零。若点的全加速度与切线间的夹角为,，并以角表示点走过的圆弧,s,所对应的圆心角，试证明：tan,=2。,动点,A,的法向加速度可表示为,动点,A,的全加速度与切线间的夹角,可表示为,这样原问题的结论成立。,24,【例6-4】 如图所示的平面机构中，两杆的运动通过套筒,M,而联系起来，初始时杆,O,1,M,与点,O,成一直线。已知,OO,1,=O,1,M=r,，试求套筒,M,的运动方程以及它的速度和加速度。,解：(1)自然法。取套筒初始位置,M,0,为弧坐标,s,的原点，以套筒的运动方向为弧坐标,s,的正向，由图可知,上式可写为,这就是用自然坐标表示的套筒,M,运动方程。上式对时间求一阶导数，可得套筒,M,的速度,25,套筒,M,的切线和法向加速度分别为,套筒,M,的加速度大小为,(2)直角坐标法。 选取固定直角坐标系,Oxy,，则有,套筒,M,在直角坐标系中的运动方程,，,上式对时间求一阶导数，可得套筒,M,的速度,26,套筒,M,的速度的大小和方向分别可表示为,套筒,M,的加速度在两个坐标轴上的投影,套筒,M,的加速度的大小和方向分别可表示为,显然，两种方法的结果完全一致，本题用自然坐标法较简便，且物理概念清晰。,27,6.3,刚体的平动,6.3.1,刚体平动的定义,刚体运动时，如果其上任一直线始终保持与原来的位置平行，即该直线的方位在刚体运动的过程中保持不变。具有这种特征的刚体运动称为刚体的平行移动，简称平动。,6.3.2,刚体平动的运动特征,设刚体做平动，如图所示。,在刚体内任选两点,A,和,B,，令点,A,的矢径为,r,A,，点,B,的矢径为,r,B,。,由图可知,28,由于刚体作平动，只要把,B,点的轨迹平移一段距离，就能得到点,A,的运动轨迹。可见，刚体作平动时，刚体内任意两点的轨迹完全相同。,上式两边同时对时间求一阶和二阶导数，有,即,结论：当刚体作平动时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同,。,因此，刚体的平面运动可归结于前一节介绍的点的运动学问题。,29,【例6-5】荡木用两条长为,l,的钢索平行吊起，如图所示。当荡木摆动时，钢索的摆动规律为 ， 为最大摆角。试求当t=2s时，荡木中点M的速度和加速度。,，,解：荡木在运动的过程中, 荡木作平动。为求中点,M,的速度和加速度,只需求出荡木上另一点,A,(或点,B,)的速度和加速度即可。,点,A,的运动方程为,30,将上式对时间求一阶导数，可得,A,点的速度,A,点的切向加速度和法向加速度可分别写为,当,t=,2,s,时，速,度和加速度可分别写为,(方向水平向左),(方向铅直向上),31,6.4,刚体绕定轴的转动,6.4.1,定轴转动刚体的转动方程、角速度和角加速度,设有一刚体,T,绕定轴,z,做转动，如图所示。通过轴线作一固定平面,Q,，此外,再选一与刚体固结的平面,P,，这个平面和刚体一起转动。刚体的位置可由平面,与固定平面,Q,的夹角来确定，这一夹角称为转动刚体的转角。,转角一般用弧度(,rad,)来表示。当刚体转动时，转角随时间,而变化，是时间t的单值连续函数，可表示,为,这一方程称为刚体定轴转动的运动方程。,32,6.4,刚体绕定轴的转动,33,刚体绕定轴的转动的动画,34,设由瞬时,t,到,t,+,t,。转角的增量 称为角位移。角速度,可表示为,即角速度等于转角对时间的一阶导数。角速度的单位一般用,rad/s,（弧度/秒）表示。,角速度一般也随时间而变化。设由瞬时,t,到,t,+ ,t,，角速度由,增大到,+ , ，角速度的增量为，比值/ ,t,称为在,t,时间内的平均角加速度，当,t,0时，,/,t,的极限称为刚体在瞬时,t,的角加速度，以,表示，即,35,即刚体转动的瞬时角加速度等于角速度对时间的一阶导数或转角对时间的二阶导数。角加速度大小表示刚体转动的角速度随时间变化的快慢程度，当,为正时，角速度,的代数值,随时间而增大，反之则减小。,如果,和符号相同，则的绝对值随时间而增大，刚体做加速转动，反之,刚体做减速转动。角加速度的单位一般用,rad/s,2,（弧度/秒,2,）表示。,36,【例6-6】电动机由静止开始匀加速转动，在,t=20s,时，其转速,n=360r /min ，求在此20s内转过的圈数。,解：电动机初始静止，即,0,=0。在,t=20s,时其转动的角速度为,由,=,0,+,t,，可得电动机转动,的角加速度为,在,20s,内转过的角度为,故在,20s,内转过的圈数为,(圈),37,6.4.2,定轴转动刚体内各点的速度和加速度,转角、角速度和角加速度等都是描述转动刚体整体运动的特征量。在刚体转动的角速度和角加速度确定后，可以确定刚体内各点的速度和加速度。,当刚体作定轴转动时，刚体内各点都在垂直于转动轴的平面内做圆周运动。如图所示点,M,运动方程为,38,用自然法求点,M,的速度和加速度。在任一瞬时,点,M,的速度的大小为,即转动刚体内任一点的速度的大小等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向和角速度转向一致。,在任意瞬时，点,M,的切线加速度,a,的大小为,即转动刚体内任一点的切向加速度的大小等于刚体的角加速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线，指向和角加速度,的转向一致。,39,在任意瞬时，点,M,的切线加速度,a,n,的大小为,即转动刚体内任一点的法向加速度的大小等于刚体的角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向总是沿着,MO,指向,O,，即指向转动轴。,在任意瞬时，,点,M,的全加速度,a,的大小和方向分别为,根据上面分析，可知在每一瞬时，刚体内各点的全加速度与其半径方向的夹角相同。图表示在截面,上通过轴心的任一条直径上各,点速度和加速度的分布规律。,40,【例,6-7,】半径,R=,0.2m,的圆轮绕固定轴,O,转动，其运动方程为,。试求,t=,1,s,时，,轮缘上任一点,M,以及重物,A,的速度和加速度。,解：,t=,1s,时圆轮转动的角速度和角加速度分别为,角速度和角加速度异号，说明圆轮在该瞬时作匀减速转动。,轮缘任一点,M,和重物,A,的速度相同，它们都为,41,方向如图所示。,点,M,的法向加速度的大小为,点,M,的全加速度的大小和方向分别为,这里 表示点,M,的全加速度和半径之间的夹角。,重物,A,的加速度和点,M,的切向加速度的大小相等，即,42,【例6-8】设主动轮,A,和从动轮,B,的节圆半径分别为,r,1,和,r,2,，齿数分别为,z,1,和,z,2,。主动轮,A,的角速度为,1,，角加速度为,1,，试求从动轮,B,的角速度和角加速度。,解：在齿轮传动中，啮合点的速度和切向加速度的大小和方向相同，即,因而有,43,从而可以求得从动轮的角速度和角加速度分别为,一对相互啮合的齿轮，它们的齿数和节圆的半径成正比，所以上面式子可写为,联合上面两式，可得,通常在机械工程中，把主动轮和从动轮的角速度之比称为传动比，用,i,12,表示,44,有时为了区分轮系中各轮转向，对各轮规定统一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而传动比也可取代数值,式中，正号表示主动轮与从动轮转向相同(内啮合)，而负号表示主动轮和从动轮转向相反(外啮合) 。,45,6.4.3,角速度及角加速度的矢量表示，以矢积表示点的速度和加速度,角速度矢量这样来表示：,长度,表示角速度的大小，箭头的指向表示刚体转动的方向，并按右手螺旋法则确定：右手的四指代表转动的方向，拇指代表角速度矢,的指向。,假设,k,为,z,轴正向的单位矢量，于是刚体绕定轴转动的角,速度矢可写为,同样，绕定轴转动的角加速度,也可以用一个沿轴线的滑移矢量表示。,46,角速度矢的指向,47,在转轴上任取一点,O,作矢量,，并过点,O,作刚体内,M,点的矢径,r,用,表示角,速度矢,与矢径,r,之间的夹角。,M,点的速度大小为,方向垂直于角速度矢,和矢径,r,组成的平面，并与,的转向一致。故,M,点的速度可表示为,48,上式中第一项,r,的矢积等于点,M,的切向加速度,a,，即,上式中第二项,v,的矢积等于点,M,的法向加速度,a,n,，即,因而可以得到结论：转动刚体内任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积，法向加速度等于刚体的角速度矢与该点速度矢的矢积。,上式两边同时对时间求一阶导数，可得,49,【例6-9】 如图所示圆盘以恒定的角速度,=,50,rad/s,绕垂直于盘面的中心轴转动，该轴在,yz,面内，倾角,=,arctan,3/4,，动点,M,的矢径在图示瞬时为,r,= 0.15,i,+0.16,j,-0.1,k,。试用,矢量法求动点,M,的速度和加速度。,解：由转轴所在的方位可将圆盘转动的角速度矢写为,动点,M,的速度,由于圆盘角速度为常数，所以动点,M,的切向加,速度为零，即,。,动点,M,的切向加速度为,50,谢 谢!,51,