证券的收益与风险

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,*,第四章 证券的收益与风险,持有期收益率 拥有金融资产期间所获得的收益率。,HPR=(,投资的期末价值期初价值+此期间所得到的收入)/期初价值,投资者期初储蓄5000元，期末获本息5200元，有,(5200,5000+0)/5000=200/5000=0.04=4%,(19500)-(20500)+(4500)/(20500),=0.15=15%,一、,单利与复利,二、年收益率的折算,不同期限的折合成年收益率，折算的公式为,年收益率=持有期收益率年(或365)持有期长度,股票投资期限是,5,年，而银行储蓄的期限是,17,个月,股票投资的年收益率为15%1/5=3%,银行储蓄的年收益率为4%12/17=2.82%,三、算术平均收益率,算术平均收益率,R,的计算公式为,R (R,1,+R,2,+R,N,)/N,如果投资者一项投资4年的收益率分别为10%，-5%，0和23%，年算术平均收益率为,(10%-5%+0+23%)/4=28%/4=7%,几何平均方法是计算复利的方法，几何平均收益率,R,G,的计算公式为,R,G,=(1+ R,1,)(1+R,2,)(1+ R,n-1,) (1+ R,n,),1/n,-1,如果将上例4期收益的数字代入几何平均收益率的公式，得到的结果为,R,G,=(1+ 0.1)(1-0.05)(1+0)(1+0.23),1/4,-1,=1.,065-1=0.065=6.5%,四、几何平均收益率,时间权重收益率也是计算复利的一种收益率，计算公式为,R,TW,=(1+ R,1,)(1+R,2,)(1+ R,n-1,) (1+ R,n,)-1,它与几何平均收益率的计算公式相比较，只缺少对总收入开1/,n,次方。因此，也可以说，时间权重收益率是投资的考虑复利的总收益率。,五、时间权重收益率,第五章 投资基金,六、名义利率与实际利率,实际利率与名义利率的关系有下式：,R,real,=(1+ R,nom,)/(1+h)-1,R,real,为实际利率，,R,nom,为名义利率，,h,是通货膨胀率。如果名义利率为8%，通货膨胀率为5%，其实际利率就是,(1+0.08)/(1+0.05)-1=1.02857-1=0.02857=2.857%,计算实际利率的公式可以近似地写成,R,real,R,nom,h,七、通货膨胀效应,年通 买1元物品20年 1000元20年 年实际,胀率 后要求的金额 后的购买力 收益率,4% 2.19元 456.39元 7.69%,6% 3.21元 311.80元 5.66%,8% 4.66元 214.55元 3.70%,10% 6.73元 148.64元 1.82%,12% 9.65元 103.67元 0.00%,八、连续复利,复利频率,n,复利水平(%),年,1 6.00000,半年,2 6.09000,季,4 6.13636,月,12 6.16778,周,52 6.17998,日,365 6.18313,九、连续复利的计算,连续复利的计算公式为,R,EFF,=1+(APR)/n,n,1,这里，,APR,为利息的年百分率，,n,为每年计算复利的期数。当,n,趋近于无穷大时，(1+,APR/n),n,会趋近于,e,APR,，,这里，,e,的值为2.71828。在上例中，,e,0.06,=1.0618365，,因此，我们可以说，利息为6%的债券的连续复利为每年6.18365%。,十、净现值的计算,贴现值是未来收益的现值，因此它是终值计算的逆运算。譬如8年后孩子要读大学，家长要考虑在利率为5%的情况下，现在要存入银行多少钱，8年后才会有30000元。计算现值,PV,的公式为,PV=1/(1+i),n,这是利率为,i，,持续期为,n,时的1元的现值系数，,PV=1/(1+0.05),8,30000=0.676830000=20305.18,即家长现在需要储蓄20305.18元，就可以了。,PV=1/(1+0.06),8,30000=0.627430000=18822.37， PV=1/(1+0.04),8,30000=0.730730000=21920.71，,利率提高或降低一个百分点，可以节省(20305.18-18822.37=)1482.81元，或者多存(20305.18-21920.71=)1615.53元。,十一、年金的计算,年金的现值,普通年金每期获得1元的现值计算公式为,PV=1-(1+i),-n,/i,PV,为普通年金的现值，,i,为利率，,n,为年金的期数。假定有一每年获得100元，利率为6%，可获得10期的普通年金，有,PV=1-(1+006),10,/0.06100=736,元,永久年金,指没有到期日的年金，永久年金的计算公式为,永久年金的现值=,C/I,C,为定期支付的现金，,I,为以小数表示的利率。,十二、不同资产投资收益,投资 萧条 繁荣 高通胀 低通胀 四期平均,(长期政府)债券,17% 4% -1% 8% 7%,商品指数,1 -6 15 -5 1.25%,钻石(1克拉投资级),-4 8 79 15 24.5%,黄金(金块),-8 -9 105 19 26.75%,私人住宅,4 6 6 5 5.25%,实物资产(商业),9 13 18 6 11.5%,白银(银块),3 -6 94 4 23.75%,股票(蓝筹),14 7 -3 21 9.75%,股票(小型增长公司),17 14 7 12 12.5%,国库券(3个月期),6 5 7 3 5.25%,年度 股票收益 国债收益 国库券收益 通胀率,26-97,均值,13.0 5.6 3.8 3.2,十三、长期投资的效果,风险(,risk),是指未来收益的不确定性，不确定性的程度越高，风险就越大。,形势 概率 期末总价 总收益率,繁荣 0.25 13000元 30%,正常增长 0.50 11000元 10,萧条 0.25 9000元 -10,十四、风险及测度,十五、期望收益与方差,E( r )=p(s)r(s),E( r )=(0.250.30)+(0.500.10)+0.25(-0.10)=0.075+0.05-.025=0.10=10%,2,=p(s)r(s)-E(r),2,2,=0.25(30-10),2,+0.50(10-10),2,+,0.25(-10-10),2,=200,或14.14%,十六、26-99年美国,大股票 长期国债 中期国债 国库券 通货膨胀率,收益 12.50 5.31 5.16 3.76 3.22,风险 20.39 7.96 6.47 3.35 4.54,十七、彼得堡悖论,数学家丹尼尔贝诺里1725-1733年在圣彼得堡做研究时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏，参加者先付门票，然后开始掷硬币，直至第一个正面出现时为止。在此之前出现的反面的次数决定参加者的报酬，计算报酬,R,的公式为,R(n)=2,n,公式中的,n,为参加者掷硬币出现反面的次数，参加者可能获得的报酬取决于他掷硬币时，在掷出第一个正面前可以掷出多少个反面。参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬见表。,参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬表,反面 概率 报酬 概率报酬,0 1/2 1 1/2,1 1/4 2 1/2,2 1/8 4 1/2,3 1/16 8 1/2,. . . .,n (1/2),n+1,2,n,1/2,十七、彼得堡悖论,如果,n,为0，他可以得到的报酬为2,0,=1元，期望报酬为1/2；如果,n,为1，他可以得到的报酬为2,1,=2元，期望报酬仍为1/2；余此类推，如果,n,为,n，,他可以得到的全部期望报酬为,E(R)=Pr(n)R(n)=1/2+1/2+=。,由于门票的价格是有限的，而期望报酬却是无穷大的，这就成为了一个悖论。贝诺里运用边际效用递减的道理解决了这个问题。他指出，参加者赋予所有报酬的每一元不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的1元价值是递减的。因此，函数,log(R),给报酬为,R,元的参加者一个主观价值，报酬越高，每一元的价值就越小。最后，他计算出风险报酬应为2元，这是参加者愿付的最高价,。,十七、彼得堡悖论,我们将风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏(,fair game)，,风险厌恶型的投资者不会选择公平游戏或更糟的资产组合，他们只愿意进行无风险投资或投机性投资。当他们准备进行风险投资时，他们会要求有相应的风险报酬，即要求获得相应的超额收益或风险溢价。投资者为什么不接受公平游戏呢？公平游戏看上去至少不坏，因为它的期望收益为0，而不是为负。,十八、风险厌恶与公平游戏,假定有一公平游戏，投资10万，获利5万的概率为50%，亏5万的概率为50%，因此，这一投资的期望收益为0。,当10万增到15万时，利用对数效用函数，效用从,log(100000)=11.51,增加到,log(150000)=11.92，,效用增加值为0.41，期望效用增加值为0.50.41=0.21。,如果由10万降到5万，由于,log(100000)-log(50000)=11.51-10.82=0.69，,期望效用的减少值为0.50.69=0.35，它大于期望效用的增加值,十九、边际效用递减举例,这笔投资的期望效用为,EU(W)=pU(W,1,)+(1+p)U(W,2,)=(1/2)log(50 000)+(1/2)log(150 000)=11.37,由于10万的效用值为11.51，比公平游戏的11.37要大，,风险厌恶型投资者不会进行这一投资。即不投资于公平游戏。,十九、边际效用递减举例,这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期望收益为,E(r)，,其收益方差为,2,，其效用值为：,U=E(r)-0.005A,2,其中,A,为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值，,A,值越大，即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。,二十、效用公式,如果股票的期望收益率为10%，标准差,为21.21%，国库券的收益率为4%，尽管股票有6%的风险溢价，一个厌恶风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略。,投资者,A=3,时，股票效用值为：10-(0.005321.21,2,)=3.25%，比无风险报酬率稍低，在这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。,如果投资者的,A,为2，股票效用值为：,10-(0.005221.21,2,)=5.5%，高于无风险报酬率，投资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。,所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。,二十一、,效用数值应用举例,风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的，这个风险报酬就是超额收益或风险溢价。,因此对于风险厌恶型的投资者来说，存在着选择资产的均值-方差准则：当满足下列(,a)、(b),条件中的任何一个时，投资者将选择资产,A,作为投资对象：,(,a) E(R,A,)E(R,B,),且,2,A, E(R,B,),且,2,A,2,B,二十二、,均值-方差准则,二十二、,均值-方差准则（2）,因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任何资产组合，而它的标准差则等于或小于第四象限中的任何资产组合，即资产组合,P,优于在它东南方向的任何资产组合。相应地，对投资者来说，所有第一象限的资产组合都比资产组合,P,更受欢迎，因为其期望收益等于或大于资产组合,P，,标准差等于或小于资产组合,P，,即资产组合,P,的西北方向的资产组合更受欢迎。那么，通过,P,点的投资者效用的无差异曲线(,indifference curve),一定位于第二和第三象限，即一定是条通过,P,点的、跨越第二和第三象限的东南方向的曲线。,二十二、,均值-方差准则（3）,一方面，风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线，但它们都通过,P,点，因为，这是市场提供的唯一的风险溢价水平决定的。一般风险厌恶程度较高的投资者的投资效用无差异曲线较为陡峭，因为风险的增加他要求很高的期望收益的增长；而一般风险厌恶程度较低的投资者的投资效用无差异曲线较为平缓。,另一方面，每一个投资者一旦确定其风险厌恶程度，其投资效用的无差异曲线的斜率就确定了，除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平决定的无差异曲线外，还一定可以有无数条平行它的无差异曲线。,二十二、,均值-方差准则（4）,我们首先来看均值，投资的期望值或均值并不是投资收益概率分布的唯一代表值，其他的选择还有中值与众数。,中值(,median),是所有收益按照高低排序时处于正中位置的收益率，众数(,mode),是最大概率时的分布值或结果值，它代表了最大的可能收益，但不是平均加权收益，也不是按高低排序后处于正中的收益。,但投资者和理论界均认为均值最好，代表性最强，实际使用也最广泛。,二十三、均值的分析,均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值的二阶矩差。方差在描述风险时有一定的局限性，如果两个资产组合的均值和方差都相同，但收益率的概率分布不同时。,一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的不确定性程度，并且所有偶数矩差(方差，,M,4,，,等)都表明有极端值的可能性，这些矩差的值越大，不确定性越强；三阶矩差(包括其他奇数矩差：,M,5,，M,7,等)表示不确定性的方向，即收益分布的不对称的情况。但是，矩差数越大，其重要性越低。,二十四、方差的分析,萨缪尔森有两个重要结论：,所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期望值与方差，即忽略高于方差的矩差不会影响资产组合的选择。,方差与均值对投资者的效用同等重要。,得出这个结论的主要假设是股票收益分布具有“紧凑性”。所谓紧凑性是说，如果投资者能够及时调整，控制风险，资产组合收益率的分布就是紧凑的。,二十四、方差的分析（2）,