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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,圆里的,截长补短,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论,标在图上：,60,60,60,60,BAC=60，,。,。,.,.,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论,标在图上：,60,60,60,60,BAC=60，,。,。,.,.,把能表示的60角,用圆弧表示：,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论,标在图上：,60,60,60,BAC=60，,。,。,.,.,把能表示的60角,用圆弧表示：,）,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论,标在图上：,60,60,BAC=60，,。,。,.,.,把能表示的60角,用圆弧表示：,）,）,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论,标在图上：,BAC=60，,。,。,.,.,把能表示的60角,用圆弧表示：,）,）,）,60,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论,标在图上：,BAC=60，,。,。,.,.,把能表示的60角,用圆弧表示：,）,）,）,）,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,BAC=60，,。,。,.,.,）,）,）,）,分析1：,补短法,延长BM到N，,使MN=CM，,N,CMN=BAC=60，,）,连结CN.,MA=NB，,MA？NB？,MACNBC，,AC=BC，,MAC=NBC，,AMC=BNC，,AMC=60，,BNC=60，,CMN是等边三角形，,CMN是等边三角形，,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,证法1：,延长BM到N，使MN=CM，,N,）,连结CN.,MA=NB，,MACNBC，,AC=BC，,MA=MB+MC.,AB=BC=CA，,BAC=ABC=60.,CMN=BAC=60，,CMN是等边三角形，,BNC=60.,AMC=ABC=60，,AMC=BNC.,MAC=NBC，,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,BAC=60，,。,。,.,.,）,）,）,）,分析2：,补短法,延长MB到S，,使BS=MC，,S,ACM=ABS，,连结AS.,MA=MS，,MA？SA？,AC=AB，,ABS=ACM，,MC=SB，,MACSAB，,AMB=60，,MA=MS=AS，,MA=AS，,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,证法2：,延长MB到S，使BS=MC，,S,连结AS.,AC=AB=BC，,则ABS=ACM.,MACSAB，,AMB=ACB=60，,MA=MS=AS，,MA=SA.,MA=MB+MC.,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,ACB=60，,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,分析3：,补短法,延长MC到T，,使CT=BM，,T,ABM=ACT，,连结AT.,MA=MT，,MA？TA？,AB=AC，,ACT=ABM，,BM=CT，,MABTAC，,AMC=60，,MA=MT=AT，,MA=AT，,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,证法3：,延长MC到T，使CT=BM，,T,连结AT.,则ACT=ABM，,AC=AB=BC，,MABTAC，,AMC=ABC=60，,MA=MT=AT，,MA=TA.,MA=MB+MC.,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,ABC=60，,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,分析4：,补短法,延长CM到F，,使MF=BM，,F,ABM=CBF，,连结BF.,MA=FC，,MA？FC？,AB=CB，,BM=BF，,MABFCB，,BAC=60，,BMF=BAC=60，,）,BFM是等边三角形，,BFM是等边三角形，,）,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,证法4：,延长CM到F，使MF=BM，,F,FMB=FBM=60，,连结BF，,MA=FC，,AB=AC=CB，,BAC=ABC=60.,BM=BF，,MABFCB，,则BMF=BAC=60，,）,则BFM是等边三角形，,）,ABM=CBF，,MA=MB+MC.,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,。,。,）,分析5：,截长法,在AM上截取AE=MC，,E,BCM=BAM，,连结BE.,ME=MB，,MB？EB？,BC=BA，,CM=AE，,MBCEBA，,AMB=60，,ME=MB=BE，,MB=EB，,A,B,C,M,。,。,）,证法5：,在AM上截取AE=MC，,E,BCM=BAE，,CM=AE，,ME=MB；,BC=BA=AC，,ACB=60.,MBCEBA，,AMB=ACB=60，,ME=MB=BE，,MA=ME+AE=MB+MC.,连结BE.,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析6：,截长法,在MA上截取MK=MC，,K,KAC=MBC，,连结KC.,AK=MB，,AK？BM？,AC=BC，,AKC=BMC，,AKCBMC，,KCM是等边三角形，,BMC=120，,.,.,）,）,AKC=120，,KCM是等边三角形.,）,A,B,C,M,证法6：,在MA上截取MK=MC，,K,KAC=MBC，,连结KC.,AK=MB，,AC=BC=AB，,ABC=ACB=60，,AMC=ABC=60，,AMB=ACB=60，,BMC=120，,AKCBMC，,KCM是等边三角形，,.,.,）,）,AKC=120=BMC，,）,MA=AK+MK=MB+MC.,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析7：,截长法,在AM上截取AD=MB，,D,MBC=DAC，,连结DC.,MD=MC，,MC？DC？,CB=CA，,BM=AD，,MCBDCA，,DMC=60，,.,.,）,）,MD=MC=DC，,）,MC=DC，,A,B,C,M,证法7：,在AM上截取AD=MB，,D,MBC=DAC，,连结DC.,CB=CA=AB，,ABC=60.,BM=AD，,MCBDCA，,DMC=ABC=60，,.,.,）,）,MD=MC=DC，,）,MC=DC.,MA=AD+MD=MB+MC.,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,。,。,）,分析8：,截长法,在MA上截取MH=MB，,H,BAH=BCM，,连结BH.,AH=MC，,AH？CM？,AB=CB，,ABH=CBM，,AHBCMB，,ABC=60，,HBM=60，,HBM是等边三角形.,HBM是等边三角形.,A,B,C,M,。,。,）,证法8：,在MA上截取MH=MB，,H,BAH=BCM，,AHBCMB，, AH=MC，,连结BH.,AB=CB=BC，ACB=ABC=60.,AMB=ACB=60，,HBM是等边三角形，,HBM=60=ABC，,ABH=CBM.,MA=MH+AH=MB+MC.,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,“截长补短”是初中平面几何中化难为易,的一种常用解题思想。,本题是一道典型例题。,这里表现 8 种证法，是要说明实际解题,时怎么补、怎么截。在作好辅助线后要及时,看到所产生的辅助条件，结合已知条件打通,思路。,本题的其它证法附于后面。,A,B,C,M,证法9：,BC=AC=AB，,由托勒密定理得,BCMA =ACMB+ABMC.,MA=MB+MC.,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,。,。,）,证法10：记MA交BC于点P.,AMC=AMB .,BCM=BAM ，,MCP MAB ，,MA=MB+MC.,题目：,如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，,求证：MA = MB+MC.,）,）,P, = ；,MC CP,MA AB,同理， = .,MB BP,MA AC, + = + =1，,MB MC BP CP,MA MA AC AB,AC=AB，,AC,(,(,=AB,，,BC=AC=AB，,.,.,
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