5.3对数函数图像及性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.3对数函数的图像和性质,1.,对数函数的概念：,我们把 叫作对数函数，,其中定义域是,值域是,R,叫作对数函数的,底数,.,2.,指数函数 和对数函数,互为反函数,.,用描点法画出对数函数,的图像。,二、对数函数的图像,探究：对数函数,:,y = log,a,x (a,0,且,a 1),图象与性质,2,1,-1,-2,1,2,4,0,y,x,3,二、对数函数的图象和性质,图 像 性 质,a,1 0,a,1,定义域,:,值 域,:,过定点,在,(0,+),上是,在,(0,+),上是,对数函数,y=log,a,x (a,0,且,a1),的图像与性质,当,x1,时， 当,x=1,时， 当,0x0,y=0,y1,时， 当,x=1,时， 当,0x1,时，,y0,底数和真数的范围相同，则对数大于,0,；底数和真数的范围不同，则对数小于,0,；,同正异负,补充性质二,底数互为,倒数,的两个对数函数的图像关于,x,轴对称。,补充性质一,图,形,1,0.5,y=log x,0.1,y=log x,10,y=log x,2,y=log x,0,x,y,0a1,时,底数越,大,其图像越接近,x,轴。,比较下列各组中，两个值的大小：,（,1,）,log,2,5.3,与,log,2,4.7,（,2,）,log,0.2,7,与,log,0.2,9,log,2,4.7,log,2,5.3,4.7,1,0,5.3,log,2,4.7 1,函数在区间（,0,，,+,）,上是增函数；,4.7 log,2,4.7,我练练我掌握,比较下列各组中，两个值的大小：,（,1,）,log,2,5.3,与,log,2,4.7,（,2,）,log,0.2,7,与,log,0.2,9,解法,2,：考察函数,y=log,0.2,x ,a=0.2 1,函数在区间（,0,，,+,）上是减函数；,7 log,0.2,9,(2),解法,1,：画图找点比高低,我练练我掌握,小,结,比较两个,同底,对数值的大小时,:,.,观察底数是大于,1,还是小于,1,（,a1,时为,增,函数,0a1,时为,减,函数）,.,比较真数值的大小；,.,根据单调性得出结果。,我练练我掌握,注意：,若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论,即,0a,1,比较下列各组中，两个值的大小,：,（,3,）,log,a,3.1,与,log,a,5.2,解,: ,若,a1,则函数在区间（,0,，,+,）上是增函数；,3.15.2,log,a,3.1,log,a,5.2,若,0a1,则函数在区间（,0,，,+,）上是减函数；,3.1,log,a,5.2,我练练我掌握,比较下列各组中两个值的大小,:,log,6,7 , log,7,6 ; ,log,3, , log,2,0.8,解,: ,log,6,7,log,6,6,1,log,7,6,log,7,7,1,log,6,7,log,7,6, ,log,3,log,3,1,0,log,2,0.8,log,2,1,0, log,3,log,2,0.8,注意,:,利用对数函数的增减性比较两个对数的大小,.,当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入一个已知数,(,如,1,或,0,等,),间接比较上述两个对数的大小,提示,:,log,a,a,1,提示,:,log,a,1,0,我分析我发展,（,3,）,法一,:,中间数法,法二,:,图像法,1,0,法三,:,倒数公式法,小结,：,真同底不同,，利用中间数法、图象法或倒数公式法,【,变式练习,】, 若,底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断,.,若,底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论,.,若,底数、真数都不相同,则常借助,1,、,0,、,1,等中间量进行比较。,（四）,若,真同底不同,，利用中间数法、图像法或倒数公式法。,比较两个对数值的大小,.,例,3,观察在同一坐标系内函数,y=log,2,x(x,（,0,，,+,）,),与函数,y=2,x,（,xR,）的图像，分析它们之间的关系,.,y=x,y,x,Q(b,a),P(a,b),o,y=2,x,y=x,y=log,2,x,P(a,b),Q(b,a),(1,0),(0,1),O,y,x,（,1,）,（,2,）,解,：,从图（,1,）上可以看出，点,P,（,a,b,）与点,Q,（,b,a,）关于直线,y=x,对称,.,函数,y=log,2,x,与函数,y=2,x,互为反函数，对应于函数,y=log,2,x,图像上的任意一点,P,（,a,b,），,P,点关于直线,y=x,的对称点,Q(b,a),总在函数,y=2,x,图像上，所以，函数,y=log,2,x,的图像与函数,y=2,x,的图像关于直线,y=x,对称（如图（,2,）,.,例,4,人们早就发现了放射性物质的衰减现象,.,在考古工作中，常用,14,C,的含量来确定有机物的年代，已知放射性物质的衰减服从指数规律：,C,（,t,）,=C,0,e,r t,，,其中,t,表示衰减的时间，,C,0,表示放射性物质的原始质量，,C,（,t,）表示经衰减了,t,年后剩余的质量,.,为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期，,14,C,的半衰期大约是,5 730,年，由此可确定系数,r.,人们又知道，放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的,.,1950,年在巴比伦发现一根刻有,Hammurbi,王朝字样的木炭，当时测定，其,14,C,分子的衰减速度为,4.09,个,/(gmin),而新砍伐烧成的木炭中,14,C,的衰减速度为,6.68,个,/(g,min),请估算出,Hammurbi,王朝所在年代,.,解,:,因为,14,C,的半衰期大约是,5 730,年，所以建立方程,=e,-5 730r,解得,r=0.000 121,由此可知,14,C,的衰减规律服从指数型函数,C,（,t,）,=C,0,e,-0.000 121t,设发现,Hammurbi,王朝木炭时（公元,1950,年）,该木炭已衰减了,t,0,年，因为放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的，所以,于是,=,两边取自然对数，得,-0.000 121t,0,=4.09-6.68,解得,t,0,4 054,（年）,即,Hammurbi,王朝大约存在于公元前,2100,年,.,1.,函数 的定义域为,_.,2.,函数 的定义域为,_,.,3.,比较下列各题中两个数的大小,答案：,答案：,1.,对数函数的图像和性质,.,2.,函数,y=f(x),与它的反函数的图像关于直线,y=x,对称,.,