2-3导数的应用

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,7,次作业解答,习题,2-1 (p82) 4.,习题,2-1 (p82) 5.,习题,2-1 (p83) 10.(2),第,三节,二、质点的垂直运动模型,三、经济学中的导数,一、瞬时变化率,导数的应用,第二章,一、,瞬时变化率,例,1.,圆面积,A,和其直径,D,的关系为,当,D=10,时,面积关于直径的变化 率是多大？,解,面积关于直径的变化 率为,二、质点的垂直运动模型,例,2.,一质点以每秒,50,米的发射速度垂直射向空中，,t,秒,后达到的高度为,假设在此运动过程中重力,为唯一的作用力，试问：,（,1,）该质点能达到的最大高度是多少？,（,2,）该质点离地面,120,米的速度是多少？,（,3,）该质点何时重新落回地面？,解,在经济学中,函数的导函数称为,边际函数,.,设函数,可导,函数的增量与自变量增量的,比值,表示,在,内的,平均变化率,(,速度,),.,根据导数的定义,导数,表示,在点,处的,变化率,在经济学中,称其为,在点,处的,边际函数值,.,当函数的自变量,从,改变一个单位,(,即,时,函数的增量为,三、经济学中的导数,当函数的自变量,从,改变一个单位,(,即,时,函数的增量为,但当,改变的“单位”很小时,或,的“一个单位”与,值相对来比很小时,则有近似式,它表明,:,当自变量在,处产生一个单位的改变时,函数,的改变量可近似地用,来表示,.,经济学中,解释边际函数值的具体意义时,去“近似”二字,.,在,通常略,例如,设函数,则,边际函数值,它表示当,时,变一个单位,(,近似,),改变,20,个单位,.,在点,处的,改,边际收入与边际利润,在估计产品销售量,时,给产品所定的价格,称为,价格函数,可以期望,应是,的递减函数,.,于是,收入函数,利润函数,是成本函数,),收入函数的导数,称为,边际收入函数,;,利润函数的导数,称为,边际利润函数,.,为求最大利润,令,但,只是取极值的必要条件,根据极值的第,边际收入与边际利润,为求最大利润,令,但,只是取极值的必要条件,根据极值的第,二判别法,为确保,在此条件下达到最大,希望,还有,故有如下,结论,:,当,且,时,利润达到最,大值,.,例,3,设某产品的需求函数为,求量,时的总收入,平均收入和边际收入,.,解,销售,件价格为,的产品收入为,由需求函数,代入得总收入函数,平均收入函数为,边际收入函数为,求当需,当,时的总收入为,例,3,设某产品的需求函数为,求量,时的总收入,平均收入和边际收入,.,解,平均收入函数为,边际收入函数为,求当需,当,时的总收入为,平均收入为,边际收入为,例,4,设某产品的需求函数为,(,是价,是需求量,),成本函数为,(,元,),.,(1),试求边际利润函数,并分别求,和,时的边际利润,.,解,(1),已知,则有,边际利润函数为,格,当,时的边际利润为,例,4,设某产品的需求函数为,(,是价,是需求量,),成本函数为,(,元,),.,(1),试求边际利润函数,并分别求,和,时的边际利润,.,解,(1),格,当,时的边际利润为,当,时的边际利润为,可见销售第,151,个产品,利润会增加,30,元,而销售第,401,个产品后利润将减少,20,元,.,函数的弹性,前面所引入的边际函数的概念,实际上是研究函数,的绝对改变量与绝对变化率,经济学中常需研究一,个变量对另一个变量的相对变化情况,为此引入下,面定义,.,定义,设函数,可导,函数的相对改变量,与自变量的相对改变量,之比,称为函数,从,到,两点间的弹性,(,或相对变化率,),.,函数的弹性,定义,设函数,可导,函数的相对改变量,与自变量的相对改变量,之比,称为函数,从,到,两点间的弹性,(,或相对变化率,),.,而极限,称为函数,在点,的,弹性,(,或,相对变化率,),记为,注,:,函数,在点,的弹性,反映随,的变化,变化幅度的大小,即,对,变化反应的强烈程度,函数的弹性,或,灵敏度,.,数值上,表示,在点,处,的改变时,函数,近似地改变,当,产生,1%,用问题中解释弹性的具体意义时,通常略去“近似”,二字,.,在应,例如,求函数,在,处的弹性,.,解,注,:,函数,在点,的弹性,反映随,的变化,变化幅度的大小,即,对,变化反应的强烈程度,函数的弹性,数值上,表示,在点,处,的改变时,函数,近似地改变,当,产生,1%,用问题中解释弹性的具体意义时,通常略去“近似”,二字,.,在应,例如,求函数,在,处的弹性,.,解,需求弹性,设需求函数,这里,表示产品的价格,.,是,可具体定义该产品在价格为,时的,需求弹性,如,当,很小时,故需求弹性,近似地表示在价格为,时,价格变动,1%,需求量将变化,通常也略去“近似”二字,.,于,下,:,注,:,一般地,需求函数是单调减少函数,需求量随价,格的上涨而减少,(,当,),时,故需求弹性,需求弹性,当,很小时,故需求弹性,近似地表示在价格为,时,价格变动,1%,需求量将变化,通常也略去“近似”二字,.,注,:,一般地,需求函数是单调减少函数,需求量随价,格的上涨而减少,(,当,),时,故需求弹性,一般是负值,它反映产品需求量对价格变动反应的,强烈程度,(,灵敏度,),.,例,5,设某种商品的需求量,与价格,的关系为,(1),求需求弹性,(2),当商品的价格,(,元,),时,再上涨,1%,品需求量变化情况,.,解,(1),需求弹性为,求该商,例,5,设某种商品的需求量,与价格,的关系为,(1),求需求弹性,(2),当商品的价格,(,元,),时,再上涨,1%,品需求量变化情况,.,解,(1),需求弹性为,求该商,需求弹性为负,说明商品价格,上涨,1%,时,商品需求,将减少,1.39%,.,量,例,5,设某种商品的需求量,与价格,的关系为,(1),求需求弹性,(2),当商品的价格,(,元,),时,再上涨,1%,品需求量变化情况,.,解,求该商,这表示价格,(,元,),时,价格上涨,1%,商品的需求,若价格降低,1%,加,13.9%,.,(2),当商品价格,(,元,),时,13.9%,.,量将减少,商品的需求量将增,内容小结,1.,边际函数,函数的变化率,函数,在,处的,边际函数值,为,在经济分析中，,常用来近似表达,当自变量在,处产生一个单位的改变时，,函数,的改变量，,即,函数,在,内的,平均变化,率,为,内容小结,1.,边际函数,函数的变化率,2.,函数的弹性,函数的相对变化率,函数,在点,的,弹性,它反映了,对,变化反应的强烈程度或,灵敏度,.,数值上，,它表示,在点,处，,当,产生,1,的改变时，,函数,近似地改变,