理想光具组的基点和基面

3.9 理想光具组的基点和基面,1. 共轴球面系统的基点,2. 基点的性质,3. 高斯公式,4. 两个子系统组成的共 轴球面系统的基点,共轴光具组,子系统1,子系统,m,子系统,N,物,像,y,1,y,y,N,y,成像公式的应用-逐次成像法,能否找到等效的,一个,光具组代替整个光学系统？,逐次成像,分析共轴球面系统的成像问题,如果每次都对各个球面用逐次成像法,显然是不方便的,;,我们更关注一个物体的最终成像位置,而不关心中间像,;,高斯理论（1841）,能否从一个最简单光具组开始考虑,基点,、,基线,和,基面,？,理想光具组物方任意点与像方,共轭,抽象的,点,、,线,和,面,几何理论,光通过共轴球面系统的像，决定于光依次在每个球面上折射和反射的结果前一折射面所成的像，为相邻的后面一折射面的物在近轴区域，单心光束经系统后，仍保持光束的单心性即共轴球面系统对近轴的物能成完善的像,共轴球面系统有几个特殊的点，用来表征系统的成像性质这几个特殊的点，叫作共轴球面系统的基点,若知基点的位置，可以不问界面的位置，曲率半径，及界面之间的折射率，可把复杂的系统当作一个整体，用高斯公式讨论共轭点，放大率等,O,1,O,2,P,P,1,/,P,/,-s,-d,s,1,/,s,/,n,=1,n,n,=1,透镜两次经球面折射成像 .,（1）,第一次成像, 以O,1,为原点, 向右为正, 由单球面折射成像公式得,厚透镜成像,第二次成像, 以O,2,为原点, 向右为正,（2）,简化（）和（）得,简化上式得,组合系统的焦距：,d,0,薄透镜焦距公式,厚透镜的高斯公式,厚透镜的牛顿公式,见例题.,共轴系统,F,O,O,/,OO,/,：系统的主光轴（,principal optical axis,）,像方焦点,(,第二主焦点,),：平行于光轴的入射光线的像点。,F,物方焦点,(,第一主焦点,),：平行于光轴的出射光线对应的物点。,1 共轴球面系统的基点（cardinal points）,A 焦点（focal points）和焦面,F,3,C,F,2,F,1,近轴近似,焦平面,焦曲面,的形成,B 主点（principal points）和主平面（principal planes）,主点,定义:,=+1 的一对共轭平面与光轴的交点,物方主点(第一主点),像方主点(第二主点),相应的共轭平面,主平面,共轴系统,F,F,O,O,主点的形成,1,1,1) 入射光线1的出射光线1通过F；,H,H,R,R,4 ) 两入射光线的延长线的交点 R 与两出射光线的延长线交点 R互为共轭, 并且放大率,=+1.,h,h,3) 选取光线2的倾角使出射光线2与光线1有相同的高度；,2,2) 入射光线2的出射光线2平行于光轴；,2,2,2,主点的作用：,H,到,F,的距离,-,第一主焦距,f,；,H,到,F,的距离,-,第二主焦距,f,；,分别作为物空间和像空间的基准点。,图示：物PP,1,如何成像？,P,P,1,F,F,H,H,-f,f,光学系统的作用,等价,于入射光线经过两主平面的,两次折射,P,1,P,C节点（nodal points）和节平面（nodal planes）,节点,-角放大率,的两共轭光线与光轴的交点。,节平面,-通过节点并垂直于光轴的平面,H,H,O,O,-,u,-,u,N,N,图示：节点N和N的定义,节点的解析位置：,H,H,O,O,-,u,-,u,N,N,节点N和N是一对物像共轭点,和,N相对于H的位置:,同理,N与N分别在H和H的同一侧距离相同的位置,当成像系统的两边是相同介质时，可以证明,D. 基点的一些特性,焦点,两焦点不共轭,焦距从主点量起, 分别为,f,和,f,节点,和,节点和主点重合,两节点共轭,主点,两主点共轭,两主平面上的任一对等高点共轭,2. 基点的性质证明,且有,入射到,H,面上的光线，由,H,面上的等高点出射；过,H 、H,的近轴光线满足折射定律,(1),平行于光轴的入射平行光，至,H,面开始拐向,点；经过,的入射光线 ，至,面开始拐折，平行于光轴射出系统,(2),过,、,的一对共轭光线必定平行.,(3),物方焦距等于像方焦节距，像方焦距等于物方焦节距, 即,(4),证明,证明,证明,六个基点中，只有四个是独立的但四个中必须至少有一个是焦点.,共轴球面系统的物距,像距,物方焦距,像方焦距,物方主平面,像方主平面,像方焦平面,物方焦平面,高斯公式,对共轴球面系统，高斯公式仍适用.,已知共轴球面系统的焦点、主点、及节点，对高为h的物由几何作图法求其像.,证明高斯公式:,由几何关系，在相似三角形,PMR,和,FHR中,在相似三角形,和,中,(1),(2)两式两边相加，则有,(1),(2),此式与单球面折射系统的成像公式有相同的形式，但,必须注意，这个公式所用的原点，不是系统哪一个折射面的顶点，而是组合系统的两个主点.,若共轴球面系统在空气中， 则,上式可改写为,(4),(3),已知两个子系统的基点:,(1) 用作图法求合成系统的基点:,4. 两个子系统组成的共轴球面系统的基点,(例:两个会聚系统组成一个发散系统),可正可负;,称为光学间隔可正可负,可为零., 0为发散系统； 0为会聚系统； 为无焦系统.,(2)解析法求基点：,在上图中，由几何关系得,由于,于是,（5）,因 和 关于子系统共轭,按高斯公式应有:,解（5)、(6)和(7)得合成系统像空间和物空间的焦距,（6）,（8）,按牛顿公式 应有,（7）,或,(9),有了子系统的基点，可以由上面四式确定合成系统基点的位置.,从图上可知,将上式中各量及,代入,得,(10),同理得,(11),对于由两个以上的共轴球面系统组成的复杂系统，可以将每两个相邻的系统组合成一个中间系统，利用上面的公式，求各个中间系统的焦点和主点. 若得到的中间系统多于两个，则须将每两个相邻的系统再进行组合，并且求出每一个中间系统的焦点和主点，依此类推，便可以获得任意复杂系统的焦点和主点.,有了合成系统的焦点和主点，可以不考虑系统的结构，而直接用高斯公式讨论物空间和像空间的近轴关系.,(3)实验法求基点,（a）实验法求焦点,平行光从系统一边平行光轴入射，出射光的交点即为焦点. 同样方法，使平行光从另一边平行光轴入射，出射光的交点即为系统的另一个焦点.,（b）实验法求节点,因为系统光轴上节点是,的一对共轭点，当 时有 ，所以在此情况下，主点与节点重合. 利用两者重合的性质，并根据系统绕节点作不大的转动时,，,平行光所生的像不发生位移的特点，可确定主点和节点的位置，从而确定任意复杂系统的焦距 .,确定节点，主点实验光路图,利用主点和节点重合的性质，并根据系统绕节点作不大的转动时,平行光所成的像不发生位移的特点，可确定主点的位置，从而能确定任意复杂系统的焦距.,单球面折射系统的基点,薄透镜的基点,一些基本系统的基点:,证明,为物，作图求其像,从成像光线上取,四边形,为平行四边形,，,交光轴于,证：,交光轴于,因此有,为过节点的一对共轭光线,和,必定是节点.,返回,证明,由几何关系，有,光线 及其共轭光线 分别过节点,证：,过焦点 作光线 平行与 , 其共轭光线 与 必交像方焦平面上 点.,已知光轴上六个基点,返回,所以,即物方焦距等于像方焦节距，像方焦距等于物方焦节距,注：,对于共轴球面系统，若其物方折射律与像方折射律相同,即,n=n,则有HF=-H,F,此时N与H重合，N,与H,重合,返回,证明过H和H,的一对共轭光线符合折射定律.,证明:,H、 H,点是放大率等于+1的一对共轭点，即,又因,故有,此即为折射定律.,返回,例、已知物体,AB,求其成像位置。,概念简单、直观形象但不够精确,H,N,F,O,N,F,H,O,A,B,1,1,2,2,3,3,A,B,B.,解析法（公式法）,B,A,F,F,H,H,-f,f,A,B,-,x,-,s,x,s,Q,R,Q,R,O,O,相似三角形,和,同理,和,图解法 -,概念简单、直观形象但不够精确,H,N,F,O,N,F,H,O,A,B,1,1,2,2,3,3,A,B,解析法（公式法）-,精确,B,A,F,F,H,H,-f,f,A,B,-,x,-,s,x,s,Q,R,Q,R,O,O,3 厚透镜的基点和基面,共轴系统成像问题的求解方法：,1,）逐次成像法；,2,）基点法。,多球面系统中，逐次成像法不实用,如果先确定出系统的基点，则成像问题简化。,两种方法都可行。但在一个固定的光学系统中，对物体,的每个位置每次要用逐次成像法，计算烦琐、工作量大,1) 焦点及焦距,第一主焦距（物方主焦距）：,（以O点为参照点）,第二主焦距 (像方主焦距）:,-f,f,r,n,n,F,F,O,C,A. 单球面折射成像系统的基点的确定,2）主点 - 放大率 = + 1的一对 共轭点,放大率,=+1 的一对共轭点（在光轴上）,主点相对于焦点的位置,x,H,和,x,H,和,和,n,n,F,F,O,r,C,-,f,f,和,H,H,主点H和H 重合于球面顶点O点,主点H和H与O点重合,H相对于F的坐标：-,f ,F相对于O的坐标：,f ,F相对于O的坐标：,f,H相对于F的坐标：-,f,3）节点 角放大率=+1的 一对共轭点,角放大率,= +1 的一对共轭点（在光轴上）,节点相对于焦点的位置,x,N,和,x,N,和,N点相对于H点的位置：,此外,N点相对于H点的位置：,节点N和N 重合于球面的球心C点,O,H,H,r,C,n,n,节点 N 和 N 重合于球面的球心 C 点,N,N,入射光线,节点N和N 重合于球面球心C点,出射光线,B. 由两个子系统构成的组合系统的基点,两个子系统构成最简单的组合系统。,例如一只透镜就是一个双球面构成的成像系统。,这种组合系统研究清楚了，其规律可以推广到一般,的共轴系统。,子系统1,子系统2,子系统3,组合,新的子系统,新组合,系统,I,的主点、焦点、节点及焦距,系统,II,的主点、焦点、节点及焦距,F,1,到,F,2,的距离：,D,（,光学间隔）,H,1,到,H,2,的距离：,d,给定的结构参数：,O,O,F,1,H,1,H,1,F,1,F,2,H,2,H,2,F,2,d,D,子系统 I,子系统 II,各系统的参数：,两系统间的参数：,O,O,F,1,H,1,H,1,F,1,F,2,H,2,H,2,d,D,I,I I,系统第二主点H和第二主焦点F的图解确定,F,H,F,2,I,I I,系统第一主点H和第一主焦点F的图解确定,O,O,F,2,H,2,H,2,F,2,F,1,H,1,H,1,d,D,F,H,F,1,F,1,H,1,H,1,F,1,F,2,H,2,d,D,I,I I,系统第二主焦距,f,的图解确定,F,H,F,2,R,1,R,2,R,2,f,1,-f,2,H,2,f,2,-f,= ?,x,2,R,h,1）,系统第二主焦距,f,的确定,：,R,1,F,1,H,1,H,1,F,1,F,2,H,2,d,D,I,I I,F,H,F,2,R,1,R,2,R,2,R,1,f,1,-f,2,H,2,f,2,-f,= ?,x,2,R,h,设法消去,x,2,子系统,II,中,F,1,与,F,共轭,:,F,1,相对于F,2,的坐标-,F相对于F,2,的坐标为,x,2,F,1,H,1,H,1,F,1,F,2,H,2,d,D,I,I I,F,H,F,2,R,1,R,2,R,2,R,1,f,1,-f,2,H,2,f,2,x,2,R,h,Newton 公式:,-,f,2）,系统第一主焦距,f,的确定,：,I,I I,F,2,F,2,F,1,d,D,F,F,1,f,1,H,1,H,1,-f,2,-f,1,f,-,x,1,H,2,H,2,R,1,R,1,R,2,R,2,H,h,R,I,I I,F,2,F,2,F,1,d,D,F,F,1,f,1,H,1,H,1,-f,2,-f,1,f,-,x,1,H,2,H,2,R,1,R,1,R,2,R,2,H,h,R,子系统I中F与F,2,共轭,分别以第一主点H和第二主点 H为基准的焦距公式：,和,因此必须要确定,H,和,H,的解析位置,F,1,H,1,H,1,F,1,F,2,H,2,d,D,I,I I,F,H,F,2,f,1,-f,2,H,2,f,2,x,2,-,f,H,F,-x,1,f,F,1,H,1,H,1,F,1,F,2,H,2,d,D,I,I I,F,H,F,2,f,1,-f,2,H,2,f,2,x,2,-,f,H,F,-x,1,f,3）确定H和 H的解析位置,-f,1,H 相对于H,1,的坐标,L,H,H,：,-L,H1,H,L,H2,H,已知条件:,1,H 相对于H,2, 的坐标,L,H2,H,：,F,1,H,1,H,1,F,1,F,2,H,2,d,D,I,I I,F,H,F,2,f,1,-f,2,H,2,f,2,x,2,-,f,H,F,-x,1,f,-f,1,已知条件:,L,H2,H,-L,H1,H,F,1,H,1,H,1,F,1,F,2,H,2,d,D,I,I I,F,H,F,2,f,1,-f,2,H,2,f,2,x,2,-,f,H,F,-x,1,f,-f,1,L,H H,-L,H,H,和,和,主点H, H的位置:,从H, H量出的焦距:,1,2,F,1,H,1,H,1,F,1,F,2,H,2,d,D,I,I I,H,F,2,f,1,-f,2,H,2,f,2,H,-f,1,L,H H,-L,H,H,和,和,主点H, H的位置:,F,-,f,F,f,从H, H量出的焦距:,1,2,C. 第一主焦距与第二主焦距的比值,单球面折射系统中的焦距比,n,n,n,L,n,n,两个单球面构成的组合系统,:(,如透镜）,n,n,n”,I,I I,物像空间折射率分别为,n,n,的共轴系统：,物像空间的折射率相同时：,并且节点与主点和重合,例1双凸透镜的厚度为,d,，前后表面曲率半径分别为,r,1,和,r,2,折射率为,n,，推导其在空气中的焦距。,例2、置于空气中的两共轴透镜的焦距分别为,f,1,、,f,1,和,f,2,、,f,2, ，主点间隔为,d,，证明组合系统的焦距为,d,O,1,O,2,n,C,1,C,2,r,1,-r,2,H,1,H,1,H,2,H,2,d,d,O,1,O,2,n,C,1,C,2,r,1,-r,2,解1：,球面1：,球面2：,组合系统的焦距,：,d,0,薄透镜焦距公式,解2：,H,1,H,1,H,2,H,2,d,已知：,并且：,和,两接触的薄透镜,d,0：,例3、求厚透镜的基点。厚透镜的参数为：,r,1,=15cm ,r,2,=-10cm ,d,=3.0cm,n,= 1.5。,d,O,1,O,2,n,C,1,C,2,r,1,-r,2,例4、图解确定双凸透镜的基点。透镜的参数为：,r,1,=3.0cm ,r,2,=-5.0cm ,d,=2.0cm,n,= 1.5。,O,1,O,2,n,C,1,C,2,r,1,-r,2,d,解3：,r,1,=15cm ,r,2,=-10cm ,d,=3.0cm,n,= 1.5,O,1,面：,O,2,面：,d,O,1,O,2,n,C,1,C,2,r,1,-r,2,已知：,和,d,O,1,O,2,n,C,1,C,2,r,1,-r,2,已求出：,和,H,H,H,2,、H,2,H,1,、H,1,解4：,r,1,=3.0cm ,r,2,=-5.0cm ,d,=2.0cm,n,= 1.5,从已知参数可求出：,O,1,O,2,n,C,1,C,2,r,1,-r,2,d,图解确定H和F:,C,1,C,2,2,F,1,F,2,F,1,F,2,6,15,10,9,5,3,H,?,F,C,1,C,2,2,F,1,F,2,F,1,F,2,6,15,10,9,5,3,F,H,图解确定 H 和 F :,F,H,?,double convex,double concave,H,H,H,H,H,H,H,H,H,H,H,H,meniscus convex,meniscus concave,planar convex,planar concave,一些厚透镜的主点,