平面问题的直角坐标解答

第三章 平面问题的直角坐标解答,要点, 用逆解法、,半逆解法,求解平面弹性力学问题。,3-1 多项式解答,3-2 位移分量的求出,3-3 简支梁受均布载荷,3-4 楔形体受重力和液体压力,3-5 级数式解答,3-6 简支梁受任意横向载荷,主 要 内 容,3-1 多项式解答,适用性：,由一些直线边界构成的弹性体。,目的：,考察一些简单多项式函数作为应力函数,(,x,y,),，能解决什么样的力学问题。,逆解法,其中：,a、b、c,为待定系数。,检验,(,x,y,),是否满足双调和方程：,显然,(,x,y,),满足双调和方程，因而可作为应力函数。,（1）,1.,一次多项式,（2）,（3）,对应的应力分量：,若体力：,X,=,Y,=0，则有：,结论1：,（1）,（2）,一次多项式对应于,无体力和无应力状态；,在该函数,(,x,y,),上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。,2.,二次多项式,（1）,其中：,a、b、c,为待定系数。,(假定：,X,=,Y,= 0 ;,a,0 ,b,0,c,0),检验,(,x,y,),是否满足双调和方程，显然有,（2）,(可作为应力函数 ),（3）,由式（2-26）计算应力分量：,x,y,2,c,2,c,2,a,2,a,结论2：,二次多项式对应于,均匀应力分布。,x,y,x,y,试求图示板的应力函数。,例：,x,y,3.,三次多项式,（1）,其中:,a、b、c,、,d,为待定系数。,检验,(,x,y,),是否满足双调和方程，显然有,（2）,(可作为应力函数 ),(假定：,X,=,Y,= 0),（3）,由式（2-26）计算应力分量：,结论3：,三次多项式对应于,线性应力分布。,讨论：,可算得：,x,y,1,l,l,图示梁对应的边界条件：,M,M,可见：, 对应于矩形截面梁的,纯弯曲问题,应力分布。,常数,d,与弯矩,M,的关系：,(1),由梁端部的边界条件：,(2),可见：,此结果与材力中结果相同，,说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。,x,y,1,l,l,M,M,说明：,(1),组成梁端力偶,M,的面力,须线性分布,，且中心处为零，结果才是,精确的,。,(2),若按其它形式分布，如：,则此结果不精确，有误差；,但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。,(3),当,l,远大于,h,时，误差较小；反之误差较大。,4.,四次多项式,（1）,检验,(,x,y,),是否满足双调和方程,（2）,代入：,得,可见，对于函数：,其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：,（3）,应力分量：, 应力分量为,x、y,的二次函数。,（4）,特例：,（须满足：,a,+,e,=0,）,总结：,（多项式应力函数 的性质）,（1）,多项式次数,n,4,时，则系数可以任意选取，总可满足 。,多项式次数,n,4,时，则系数,须满足,一定条件，才能满足 。,多项式次数,n,越高，则系数间需满足的条件越多。,（2）,一次多项式，对应于,无体力和无应力状态；,任意应力函数,(,x,y,),上加上或减去一个,一次多项式,，对应力无影响。,二次多项式,，对应,均匀应力,状态，即全部应力为常量；,三次多项式,，对应于,线性分布应力,。,（3）,（4）,用多项式构造应力函数,(,x,y,),的方法 逆解法（只能解决简单,直线应力边界,问题）。,按应力求解平面问题，其基本未知量为： ，本节说明如何由 求出形变分量、位移分量？,问题：,3-2 位移分量的求出,以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？,x,y,l,1,h,M,M,1.,形变分量与位移分量,由前节可知，其应力分量为：,平面应力情况下的物理方程：,（1）形变分量,(a),将式（a）代入得：,(b),（2）位移分量,将式（b）代入几何方程得：,(c),（2）位移分量,(c),将式（c）前两式积分，得：,(d),将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：,式中：,为待定函数。,整理得：,（仅为,x,的函数）,（仅为,y,的函数）,要使上式成立，须有,(e),式中：,为常数。,积分上式，得,将上式代入式（d），得,(f),（1）,(f),讨论：,式中：,u,0,、,v,0,、,由位移边界条件确定。,当,x,=,x,0,=,常数,（2）位移分量,x,y,l,1,h,M,M, u,关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。,说明：,同一截面上的各铅垂线段转角相同,。,横截面保持平面,材力中“,平面保持平面,”的假设成立,。,（2）,将下式中的第二式对,x,求二阶导数：,说明：,在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即, 材料力学中挠曲线微分方程,2.,位移边界条件的利用,（1）两端简支,(f),其边界条件：,将其代入(f)式，有,将其代回(f)式，有,(3-3),梁的挠曲线方程：, 与材力中结果相同,（2）悬臂梁,(f),边界条件,h/2,h/2,由式（f）可知，此边界条件无法满足。,边界条件改写为：,（中点不动）,（轴线在端部不转动）,代入式（f），有,可求得：,(3-4),h/2,h/2,挠曲线方程：,与材料力学中结果相同,说明：,（1）,求位移的过程：,（a）将应力分量代入物理方程,（b）再将应变分量代入几何方程,（c）再利用位移边界条件，确定常数。,（2）,若为平面应变问题，则将材料常数,E,、,作相应替换。,（3）,若取固定端边界条件为：,h/2,h/2,（中点不动）,（中点处竖向线段转角为零）,得到：,求得：,此结果与前面情形相同。,（,为什么？,）,（1）,(2-27),（2）,然后将 代入式（2-26）求出应力分量：,先由方程（2-27）求出应力函数：,(2-26),（3）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,按应力求解平面问题的基本步骤：,按应力求解平面问题的方法：,逆解法,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设各种满足相容方程（2-27）的,(,x,y,),的形式；,（2）,然后利用应力分量计算式（2-26），求出 （具有待定系数）；,（3）,再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数,(,x,y,),对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数,(,x,y,),可以求解什么问题。,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式 ；,（2）,根据 与应力函数,(,x,y,),的关系及 ，求出,(,x,y,),的形式；,（3）,最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。, 半逆解法的数学基础：,数理方程中分离变量法,。,半逆解法,位移分量求解：,（1）,将已求得的应力分量,（2）,（3）,代入物理方程，求得应变分量,将应变分量,代入几何方程，并积分求得位移分量,表达式；,由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。,3-3 简支梁受均布载荷,要点, 用,半逆解法,求解梁、长板类平面问题。,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,1.,应力函数的确定,(1),分析：, 主要由弯矩引起；, 主要由剪力引起；,由,q,引起（挤压应力）。,又,q,=常数，图示坐标系和几何对称，不随,x,变化。,推得：,(2),由应力分量表达式确定应力函数 的形式：,积分得：,(a),(b), 任意的待定函数,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,(a),(b), 任意的待定函数,(3),由 确定：,代入相容方程：,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,方程的特点：,关于,x,的二次方程，且要求 ,l,x,l,内方程均成立。,由“高等代数”理论，须有,x,的一、二次的系数、自由项同时为零。即：,对前两个方程积分：,(c),此处略去了,f,1,(,y,)中的常数项,对第三个方程得：,积分得：,(d),(c),(d),x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,(a),(b),将(c) (d) 代入 (b) ，有,(e),此处略去了,f,2,(,y,)中的一次项和常数项,式中含有9个待定常数。,(e),2.,应力分量的确定,(f),(g),(h),3.,对称条件与边界条件的应用,(f),(g),(h),3.,对称条件与边界条件的应用,（1）对称条件的应用：,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,由,q,对称、几何对称：,x,的偶函数,x,的奇函数,由此得：,要使上式对任意的,y,成立，须有：,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,（2）边界条件的应用：,(a) 上下边界（主要边界）：,由此解得：,代入应力公式,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,( i ),( j ),( k ),(b) 左右边界（次要边界）：,（由于对称，只考虑右边界即可。）, 难以满足，需借助于圣维南原理。,静力等效条件：,轴力,N,= 0；,弯矩,M,= 0；,剪力,Q,= ,ql,；,( i ),( j ),( k ),可见，这一条件自动满足。,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,(,p,),截面上的应力分布：,三次抛物线,4.,与材料力学结果比较,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,(,p,),4.,与材料力学结果比较,材力中几个参数,：,截面宽：,b,=1 ,截面惯矩：,静矩：,弯矩：,剪力：,将其代入式 (,p,),，有,（3-6）,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,（3-6）,比较，得：,（1）,第一项与材力结果相同，为主要项。,第二项为修正项。当,h,/,l,1,，该项误差很小，可略；当,h,/,l,较大时，须修正。,（2）,为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。,（3）,与材力中相同。,注意：,按式（3-6），梁的左右边界存在水平面力：,说明式（3-6）在两端不适用。,解题步骤小结：,（1）,（2）,（3）,根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计,某个应力分量,（ ）的变化形式。,由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）。,（4）,（5）,将具有待定函数的应力函数 代入相容方程： 确定 中的待定函数形式。,由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力分量 。,由边界条件确定 中的待定常数。,用半逆解法求解,梁、矩形长板,类弹性力学平面问题的,基本步骤,：,应力函数法求解平面问题的基本步骤：,（1）,(2-27),（2）,然后将 代入式（2-26）求出应力分量：,先由方程（2-27）求出应力函数：,(2-26),（3）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,求解方法,：,逆解法,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设各种满足相容方程（2-27）的,(,x,y,),的形式；,（2）,然后利用应力分量计算式（2-26），求出 （具有待定系数）；,（3）,再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数,(,x,y,),对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数,(,x,y,),可以求解什么问题。, 半逆解法的数学基础：,数理方程中分离变量法,。,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式 ；,（2）,根据 与应力函数,(,x,y,),的关系及 ，求出,(,x,y,),的形式；,（3）,最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。,半逆解法,位移分量求解,：,（1）,将已求得的应力分量,（2）,（3）,代入物理方程，求得应变分量,将应变分量,代入几何方程，并积分求得位移分量,表达式；,由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。,1.,应力函数的确定,(1),分析：, 主要由弯矩引起；, 主要由剪力引起；,由,q,引起（挤压应力）。,又,q,=常数，图示坐标系和几何对称，不随,x,变化。,推得：,(2),由应力分量表达式确定应力函数 的形式：,积分得：,(a),(b), 任意的待定函数,简支梁受均布载荷,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,(e),x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,2.,应力分量的确定,(f),(g),(h),3.,由边界条件确定待定常数,x,y,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,附：,应力函数确定的“材料力学方法”,要点：,利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。,适用性：,直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。,应力函数常可表示为：,设法由边界面力先确定 其中之一，然后将其代入 确定另外一个函数。,材力中，应力分量与梁内力的关系为：,式中：,M,(,x,) 弯矩方程；,Q,(,x,) 剪力方程。,当有横向分布力,q,(,x,),作用时，纵向纤维间存在挤压应力 ，,同时，横向分布力,q,(,x,),的挤压作用时，对轴向应力 也产生影响。,应力分量与梁内力的关系可表示为：,考虑挤压应力影响导致,然后由：,确定应力函数 的具体形式。,例：,悬臂梁，厚度为单位1，,=常数。求：应力函数 及梁内应力。,x,y,O,b,l,解：,(1) 应力函数的确定,x,Q,M,取任意截面，其内力如图：,取 作为分析对象，可假设：,（a）,f,(,y,),为待定函数,由 与应力函数 的关系，有：,（b）,对,x,积分一次，有：,对,y,再积分一次，有：,其中：,（c）,x,y,O,b,l,x,Q,M,（c）,由 确定待定函数：,（d）,要使上式对任意的,x,，,y,成立，有,（e）,（f）,由式（ e）求得,（g）,由式（ f）得,（h）,（i）,积分式（ h）和（i）得,（j）,（k）,x,y,O,b,l,x,Q,M,(,l,),包含9个待定常数，由边界条件确定。,(2) 应力分量的确定,(,m,),(3) 利用边界条件确定常数,x,y,O,b,l,x,Q,M,(3) 利用边界条件确定常数,(,o,),代入可确定常数为：,代入式（m）得,x,y,O,b,l,x,Q,M,注：,也可利用,M,（,x,）=,0,，考虑,进行分析。此时有：,为待定函数，由相容方程确定。,l,l,ql,ql,1,y,z,h,/2,h,/2,q,剪力：,可假设剪应力：,3-4 楔形体受重力和液体压力,要点,半逆解法,（因次或量纲分析法）,x,y,O,问题的提法：,楔形体，下部可无限延伸。,侧面受水压作用：,（水的容重）；,自重作用：,（楔形体的容重）；,求：楔形体应力分布规律 。,1.,应力函数及应力分量,(1) 分析：,(a), 的量纲为：, 的形式应为：,的线性组合。,的量纲为：,(b),由 推理得：,应为,x,、,y,的三次函数。,应力函数可假设为：,x,y,O,(2) 应力分量,考虑到：,X,= 0，,Y,= （常体力）,(a),显然，上述应力函数满足相容方程。,2.,边界条件的利用,(1),x,=0 （应力边界）：,代入式（a），则应力分量为：,x,y,O,N,(b),(2),（应力边界）：,其中：,将(b)代入，有,代入，可求得：,x,y,O,(b),代入式（b），有：,(3-7), 李维（Levy）解答,沿水平方向的应力分布,与材力结果比较：, 沿水平方向不变，在材力中无法求得。, 沿水平方向线性分布，与材力中,偏心受压公式,算得结果相同。, 沿水平方向,线性分布,，材力中为,抛物线分布,。,(3-7), 李维（Levy）解答,x,y,O,沿水平方向的应力分布,结果的适用性：,（1）,当坝的横截面变化时，不再为,平面应变问题,，其结果误差较大。,（2）,假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际,坝高有限,，底部与基础相连，有,地基约束,，故,底部处结果误差较大,。,（3）,实际坝顶,非尖顶,，坝顶处有其它载荷，故,坝顶处结果误差较大,。, 三角形重力坝的精确分析，常借助于,有限元数值方法,求解。,工程应用：, 求使坝稳定时的角度 ，称为,安息角,。,因次分析法（量纲分析法）：,x,y,O,楔形体，下部可无限延伸。,侧面受水压作用：,（水的溶重）；,自重作用：,（楔形体的溶重）；,求：楔形体应力分布规律 。,分析思路：,(a), 的量纲为：, 的形式应为：,的线性组合。,的量纲为：,(b),由 推理得：,应为,x,、,y,的三次函数。,应力函数可假设为：,平面问题的直角坐标解答,一、多项式解答,逆解法,二、梁、长板类弹性体应力函数方法,应力分量与梁内力的关系可表示为：,考虑挤压应力影响导致,然后由：,确定应力函数 的具体形式。,三、三角形板、楔形体的求解方法,因次分析法（量纲分析法）：,x,y,O,楔形体，下部可无限延伸。,侧面受水压作用：,（水的溶重）；,自重作用：,（楔形体的溶重）；,分析思路：,(a), 的量纲为：, 的形式应为：,的线性组合。,的量纲为：,(b),由 推理得：,应为,x,、,y,的三次函数。,应力函数可假设为：,例：,图示矩形板，长为,l,，高为,h,，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中,k,、,q,为常数。,x,y,O,l,h,解：,(1),应力分量：,边界条件：,显然，上下边界无面力作用。,上下边界,(2),x,y,O,l,h,左边界,k,右边界,k,kl,结论：,可解决悬臂梁左端受集中力问题。,例：,图示矩形截面简支梁，长为,l,，高为,h,，受有三角形分布载荷作用，体力不计。试求其应力分布。,解：,（1）应力函数形式的确定,梁截面上弯矩和剪力为：,由材料力学方法可确定应力分量的,分离变量,形式：,取应力分量 分析，,取应力分量 与应力函数的关系：,对此式积分：,对此式积分：,为待定函数,（2）由相容方程确定待定函数,代入,要使上述方程对任意的,x,成立，有,(a),(b),(c),积分式（a），得,将上式代入（b）积分，得,积分式（c），得,(d),(e),(f),将求得的,代入应力函数，有,（3）计算应力分量,(g),(h),（3）利用边界条件确定待定常数,上边界,：,(i),(j),(k),下边界,：,(l),(m),(n),左边界,：,左边界,：,(o),(p),(q),(r),(s),(t),联立求解式（i）（t）,可得具体的应力分量,。,注：,位移边界条件转化为应力边界条件。,（1）,（2）,试按材料力学中确定应力的方法，写出图示两梁所有应力分量形式。（含有待定函数）,课堂练习：,3-5 级数式解答,问题的提出,多项式解答：,只能求解载荷,简单,，且,连续分布,的问题。,不能求解载荷,复杂,，且,间断分布,的问题。,级数式解答：,其基本思路是将应力函数 分解成关于,x,y,的两个单变量函数的乘积。, 分离变量法。,（属逆解法）,1.,级数形式的应力函数,假设：,(a),式中：,为任意常数，其量纲为 ,为,y,的任意（待定）函数。,将其代入 ：,载荷,复杂,，且,间断分布,的问题，可由,级数式,解答解决。,有：,(b),解上述方程，得,其中：,A,、,B,、,C,、,D,都是任意常数，,将其代入应力函数 ，得,(c),再取如下应力函数：,式中：,也为任意常数 ,为,y,的任意（待定）函数。,类似于上面的运算，可得应力函数的另一解：,(d),显然，将式(c) 与(d)相加，仍为可作为应力函数：,(e),取 和 的一系列值，即取：,将由此构成的 加起来，有,(3-8),显然，式(3-8) 满足相容方程，可作为应力函数。且在其上再加若干个满足相容方程的应力函数，仍可作为应力函数。,2.,级数形式的应力分量,将上述应力函数 代入应力分量表达式（2-26），有,(3-9),式（3-9）满足相容方程、平衡方程，只要适当选取：,使其满足边界条件，即为某问题的解。,3-6 简支梁受任意横向载荷,边界条件,1.,边界条件的级数表示,上下边界：,左右边界：,（a）,（b）,（c）,（d）,由边界条件（c），得,此时应力分量式（3-9）简化为,（3-10）,将此应力分量式（3-10）代入边界条件（b），有,（e）,（f）,（b）,（i）,（j）,（g）,（a）,（h）,将此应力分量式（3-10）代入边界条件（a），有,将,在区间（0，,l,）上展为和等式左边相同的级数，即,的级数，由Fourier级数的展开法则，有,（3-11）,比较式（3-11）与式（g）和（h）两边的系数，有,（k）,（l）,由式,(i)、(j)、(k)、(l),可求得全部和系数： ，代入式（3-10）求得应力分量。,说明：,（1）,边界条件（d）在求解中没有用到，但可以证明是自动满足的。,（2）,级数求解计算工作量很大，通常由有关计算软件求解，如：MathCAD、Matlab、Mathematica等。,（3）,结果在梁的端部误差较大；另外，当梁的跨度与高度相当时结果误差也较大。,弹性力学平面问题的基本理论小结,一、两类平面问题及其特征,体力、面力的作用面都平行于,xoy,平面，且沿板厚不变化。,体力、面力的作用面都平行于,xoy,平面，且沿,z,向不变化。,z,方向的尺寸远,小,于板面内的尺寸（等厚度薄平板）,z,方向的尺寸远,大,于,xoy,平面内的尺寸（等截面长柱体）,二、平面问题的基本方程,（1）平衡微分方程,（2-2）,（,假定：,小变形、连续性、均匀性）,（2）几何方程,（2-9）,（,假定：,小变形、连续性、均匀性）,（3）物理方程,(2-15),（平面应力）,(2-16),（平面应变）,（,假定：,小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）,三、平面问题的基本求解方法及基本方程,思路：,（1）按位移求解,以位移,u,、,v,为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量，得到以位移表示的基本方程，从中求出,u,、,v,，再由几何方程、物理方程求出其余未知量。,基本方程：,（2-20）,位移表示的平衡方程,（2-21）,（2-17）,位移表示的应力边界条件,位移边界条件,（2）按应力求解,思路：,以应力 为基本未知量，将基本方程用只有 的3个方程，从中求出 ，再由物理方程、几何方程求出其余未知量。,基本方程：,（2-2）,平衡方程,（2-23）,相容方程,基本控制方程,（平面应力情形）,（2-17）,（2-18）,位移边界条件,应力边界条件,边值条件,（3）两类平面问题物理方程的互相转换：,平面,应力,问题,平面,应变,问题,平面,应变,问题,平面,应力,问题,（4）边界条件,（2-17）,（2-18）, 位移边界条件, 应力边界条件,（5）按应力求解的,应力函数法,基本方程：,(2-27),(2-26),（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。,（2-17）,（2-18）,位移边界条件,应力边界条件,应力函数表示的相容方程,应力函数表示的应力分量,（对常体力情形）,说明：,（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。,四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）,（2-22）,（2-23）,（2-24）,(平面应力情形),(平面应变情形),（2-25）,(2-27),形变表示的相容方程,应力表示的相容方程,应力函数表示的相容方程,(,基本形式,),(常体力情形),适用情形,：,小变形、任意,弹塑性材料,。,(常体力情形),五、边界条件与圣维南原理,位移边界条件,应力边界条件,圣维南原理的要点：,（1）小部分边界（次要边界）；,（2）静力等效；,（3）结果影响范围：,近处有影响，远处影响不大。,圣维南原理的应用：,（1）面力分布复杂的边界（,次要边界,）如：集中力，集中力偶等；,（2）位移边界（,次要边界,）；,六、其它,（1）常体力情况下简化,将,体力,转化为等效的,面力,：,（2）任意斜面的应力、主应力、主方向、最大最小剪应力计算。,（3）任意方向的正应变计算。,(1),图示矩形板，长为,l,，高为,h,，体力不计，试证以下函数可作为应力函数，并指出能解决什么问题。式中,q,为常数。,x,y,O,l,h,作 业,作 业,习题：3 -1，3 2，3 3，3 -4,例：,试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。,上边界：,下边界：,N,代入边界条件公式，有,右边界：,由圣维南原理，有,