2.8偏导数的几何应用课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八节,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,偏导数的几何应用,第二章,复习,:,平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,有,有,因,一、,空间曲线的切线与法平面,过点,M,与切线垂直的平面称为曲线在该点的,法,位置.,空间光滑曲线在点,M,处的,切线,为此点处割线的极限,平面,.,1. 曲线方程为参数方程的情况,切线方程,此处要求,也是法平面的法向量,切线的方向向量:,称为曲线的,切向量,.,如个别为0, 则理解为分子为 0 .,不全为0,因此得,法平面方程,例1.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程.,切线方程,法平面方程,即,即,解:,由于,对应的切向量为,在, 故,解,切线方程,法平面方程,2. 曲线为一般式的情况,光滑曲线,当,曲线上一点, 且有,时, 可表示为,处的切向量为,则在点,切线方程,法平面方程,有,或,也可表为,法平面方程,例3.,求曲线,在点,M,( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法1,令,则,即,切向量,法平面方程,即,解法2.,方程组两边对,x,求导, 得,曲线在点,M,(1,2, 1) 处有:,切向量,解得,切线方程,即,法平面方程,即,点,M,(1,2, 1) 处的,切向量,二、,曲面的切平面与法线,设,有,光滑曲面,通过其上定点,对应点,M,切线方程为,不全为,0 .,则,在,且,点,M,的,切向量,为,任意,引一条光滑曲线,下面证明:,此平面称为,在该点的,切平面,.,上过点,M,的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,证:,在 ,上,得,令,由于曲线,的任意性 ,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上 ,从而切平面存在 .,曲面, 在点,M,的,法向量,法线方程,切平面方程,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别,当光滑曲面,的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,法向量,将,法向量的,方向余弦：,用,表示法向量的方向角,并假定法向量与z轴,分别记为,则,的正向夹角为锐角,例4.,求球面,在点(1 , 2 , 3) 处的切,平面及法线方程.,解:,所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,例5.,确定正数,使曲面,在点,解:,二曲面在,M,点的法向量分别为,二曲面在点,M,相切, 故,又点,M,在球面上,于是有,相切.,与球面, 因此有,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),1. 空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1) 参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2) 一般式情况.,空间光滑曲面,曲面,在点,法线方程,1) 隐式情况 .,的,法向量,切平面方程,2. 曲面的切平面与法线,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2) 显式情况.,法线的,方向余弦,法向量,思考与练习,1. 如果平面,与椭球面,相切,提示:,设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示:,在曲面上任意取一点,则通过此,2. 设,f,(,u,) 可微,证明原点坐标满足上述方程 .,点的切平面为,3.,证明曲面,与定直线平行,证:,曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立 .,的所有切平面恒,4.,求曲线,在点,(1,1,1),的切线,解:,点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,