变分法与最优控制教学课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,变分法与最优控制,第二讲交分法与,最优控制,主要内容,2.1变分法概述,2.2无约束最优化问题,无约束固定端点泛函极值必要条件,无约東自由端点泛函极值必要条件,2.3等式约束最优化问题,2.4变分法求解最优控制问题,引入哈密顿函数求解拉格朗日问题,求解综合型(波尔扎)问题,2.1变分法概述,1、泛函定义,2、泛函的连续性,3、泛函的极值,4、线性泛函,5、泛函的变分,6、泛函变分的求法,7、泛函变分的规则,8、泛函极值的条件,21变分法概述,1、泛函定义,定义:,如果变量y对于某一函数类中的每一个函数,X(t),都有一个确定的值与之对应,那么就,称变量y为依赖于函数x(的泛函,记为:,y=Jx(t),说明:由于函数的值是由自变量的选取而确定的,而泛函,的值是由自变量的函数的选取而确定的,所以将泛函理解,为“函数的函数”。,【例2.1Dx()-x(0是一个泛函,变量J的值是由函数x(t)的选取而确定。,白【xO=2时,有xO=1,当x()=cosO时,有xO=sn,【例2.2】曲线的弧长x,B(x1, y1),求:平面上连接给定两点A(xo,yo),和B(x1,y1)的曲线的弧长J。,A(Xo, yo),A、B两点间的曲线方程为:y=f(x),A、B两点间的弧长为:,d,dx,泛函的上述概念,可以推广到含有几个函数的,泛函的情况,例如:,J=tx(1)+y(1)t,x(t)1=Lx(1),i(),tkt,Ju(o)=Lx(t), u(t), tyt,求一般函数极值,微分法,求泛函极值,变分法,2、泛函的连续性,函数相近(零阶相近),当函数x(与x之差的绝对值,即,x(t)-x0(t)|,t/st2,对于x(t)的定义域中的一切t(tt12)都很小时,称函数x()与函数x(1是相近的,也称为零阶相近,阶相近,当函数x)与x)之差的绝对值以及它们的,阶导数x(t)和(之差的绝对值,即,x()-x()和()-元(O,tltt2,都很小,称函数x(1)与函数x(1)是一阶相近的。,x(t,注意:一阶相近的两个函数,必然,是零阶相近,反之不成立,2,K阶相近,当x()-x(t,()-(t),x(1)-x(),t1tt都很小时,称函数x(1)与函数x0()是k阶,相近的,函数间距离,在不同的函数空间,函数间的距离定义也不同,在函数空间Ca,b(在区间a,b上连续的函数的全体,构成的函数空间)中,通常采用下式定义距离,零阶距离,ax(), xo (t )Maxx()-xo(D)B,(2.1),在函数空间Ca,b(在区间a,b上连续且具有连续的,k阶导数的函数的全体构成的函数空间)中,任意两个,函数间的距离定义为:,dx(,x()=maxx()-x(),x(t)-6(),x“(1)-x(t),atsb,k阶距离,(22),显然,式(2.1)定量地表示两个函数之间的零阶相近度,而式(2.1)定量地表示两个函数之间的k阶相近度,谢谢,46,、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。,卡耐基,47,、书到用时方恨少、事非经过不知难。,陆游,48,、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。,史美尔斯,49,、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。,孙洙,50,、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。,莫扎特,