预备知识高斯随机过程

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,预备知识（三）,高斯随机过程,通信原理第四讲,随机过程（噪声信号）示例,相关函数,R,（,t,，,t+,）,利用随机过程基础解决通信中问题,随机过程,(t),（,噪声、信号）,数学期望,E,(t),方差,D,(t),统计、观测、计算,如果平稳,与,时间起点无关,E,(t)=m,D,(t)=,2,R（,）,如果各态历经,用时间平均代替集平均,通信系统中所遇到的信号与噪声一般都能满足各态历经条件,最终求,出,功率谱，从而获得了频率域上的功率分布，获得其带宽、功率性能，达到了研究通信系统的目的,数字特征的计算,数学期望,方差,相关函数,2.3,随机信号分析,2.3,随机信号分析,随机过程基础,高斯随机过程,随机过程通过线性系统,窄带随机过程,正弦波加窄带高斯噪声,随机过程（噪声信号）示例,为什么研究高斯过程,中心极限定理表明：,一个随机变量，如果它是很多个相互独立的随机变量之和，而其中每一个对总和只发生不大的影响，那么，这一总和的分布就近似于正态分布。,高斯过程又称正态随机过程。如通信中的噪声，分子热运动产生的热噪声等都具有高斯过程的特性。,高斯过程，是研究通信信号、特别是通信噪声的重要数学模型。,高斯随机过程：定义,若随机过程,(t),的任意,n,维（,n=1, 2, ,）,分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或,正态过程。 其,n,维正态概率密度函数表示如下：,高斯随机过程：重要性质,高斯过程的,n,维分布完全由,n,个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。,只需要其数字特征，就可以确定高斯过程,对高斯过程：广义平稳与狭义平稳等价,如果高斯过程中的随机变量之间互不相关，则他们是统计独立的。,高斯过程通过线性系统、其输出也是高斯过程,a=0，,=1,一维高斯分布*,a=+/-2，,=0.8/1.2,一维高斯分布*,一维高斯分布的数值计算,在通信系统中，通常需要计算随机变量,X,大于某常数的概率：,无法直接,计算出,查,Q,数值,计算表,一维高斯分布的数值计算,Q,函数的意义,面积,=Q,（,）,查,Q,函数表可以求出概率,一维高斯分布的数值计算,误差函数,互补误差函数,X2,时互补误差函数近似表示,Q,函数与误差函数关系,一维高斯分布的数值计算,例,0,1,1-0,0-1,误码率,1,错成,0,的概率加,0,错成,1,的概率，,已知均值、方差，查,Q,表即可求出,白噪声,信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声， 它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即,这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。 式中,n,0,为一常数，单位是瓦,/,赫。白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即,高斯白噪声,如果白噪声又是高斯分布的， 我们就称之为高斯白噪声。 由 可以看出，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，是统计独立的。,应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。,2.3,随机信号分析,2.3,随机信号分析,随机过程基础,高斯随机过程,随机过程通过线性系统,窄带随机过程,正弦波加窄带高斯噪声,随机过程通过线性系统,确知信号通过线性时不变系统时,线性时不变系统,随机过程通过线性系统,平稳随机过程通过线性时不变系统时，关系仍然成立,线性时不变系统,？,随机过程通过线性系统,输出过程的数学期望,输入直流分量,与直流增益的积,随机过程通过线性系统,输出过程的自相关函数,输出也是平稳过程,随机过程通过线性系统,输出过程的功率谱密度,“功率”谱增益,随机过程通过线性系统,随机过程通过线性系统,线性时不变系统,随机过程通过线性系统,例,:,输出过程的概率分布,从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，通过下式：,总可以确定输出过程的概率分布，其中一个十分有用的情形是：,如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的,。但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。,随机过程通过线性系统,例题：,带限白噪声,试求功率谱密度为,n,0,/2,的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为：,随机过程通过线性系统,2.3,随机信号分析,2.3,随机信号分析,随机过程基础,高斯随机过程,随机过程通过线性系统,窄带随机过程,正弦波加窄带高斯噪声,窄带随机过程,窄带,(,带通,),信号,(,过程,),示意,通信中信号与噪声都满足“窄带”假设，即,f,f,c,。,f,为信号带宽，,f,c,为载频。其包络和相位相对于,f,c,是缓慢变化的，波形和频谱示意如下,:,窄带随机过程,窄带信号的两种描述方法,包络与相位参数的描述方法,同相分量和正交分量的描述方法,两种描述方法对随机过程仍然适用,窄带随机过程,窄带随机过程的性质,数学期望,窄带随机过程的性质,相关函数,Rx,是平稳过程，与,t,无关,窄带随机过程的性质,窄带随机过程的性质,输入为高斯过程时,根据平稳性，因此：,I,、,Q,分量也是高斯过程,一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量,I,和正交分量,Q,也是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差相同， 在同一时刻同相分量和正交分量互不相关。,高斯,变量,包络和相位的统计特性,将同,相与正交的联合分布函数进行二维转换，变成包络与相位的联合,PDF,包络和相位的统计特性,相互独立,包络和相位的统计特性,利用雅各比行列式,包络和相位的统计特性,包络符合瑞利分布,相位符合均匀分布,求,条件,边际分布,窄带高斯噪声,高斯,噪声时域波形,近似高,斯,白噪声频谱示意图,窄带,滤波,窄带高斯噪声示意图,包络符合瑞利分布,平稳高斯过程通过窄带系统输出结论,一个均值为零的窄带平稳高斯过程,，,它的同相分量,I,和正交分量,Q,也是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差相同， 在同一时刻同相分量和正交分量互不相关。,均值为零的窄带平稳高斯过程 ，其包络符合瑞利分布、相位符合均匀分布。,2.3,随机信号分析,2.3,随机信号分析,随机过程基础,高斯随机过程,随机过程通过线性系统,窄带随机过程,正弦波加窄带高斯噪声,正弦波加窄带高斯噪声,发送端,信道,接收端,噪声源,窄带,调制后，近似为高频正弦波,正弦波加窄带高斯噪声,等效为同相正交分量,正弦波加窄带高斯噪声,同相、,正交分量的联合概率密度,包络、相位联合概率密度,求,包络、相位的条件边际分布,同,相、正交分量相互独立的高斯过程,雅各比,行列式进行变换,正弦波加窄带高斯噪声,广义瑞利分布，莱斯分布,正弦波加窄带高斯噪声,随机信号分析：小结,通信中的信号与噪声通常是高斯过程,利用,Q,函数或其他函数可以数值计算出符合高斯分布的概率数值，是后续分析中计算误码率的基础,白噪声、带限白噪声、高斯噪声的物理意义,平稳随机过程通过线性系统,窄带高斯过程及其分析方法,正弦信号加窄带高斯噪声是通信系统分析的重要数学模型,小结：随机过程通过线性系统,随机过程通过线性系统,线性时不变系统,小结：,窄带高斯过程及其分析方法,一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量,I,和正交分量,Q,也是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差相同， 在同一时刻同相分量和正交分量互不相关。,均值为零的窄带平稳高斯过程 ，其包络符合瑞利分布、相位符合均匀分布。,窄带随机过程（信号），可以用,同相与正交,分量或,包络与相位,的方式表示。这两种表示与分析方法是后续课程的基础。,