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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,同济版高等数学上册复习资料,*,高等数学(上) 总复习,第一部分,复习的重点及题型分析,第二部分,高等数学(上)方法综述,同济版高等数学上册复习资料,第一部分,复习的重点及题型分析,复习重点,三个基本计算 极限 , 导数 , 积分,两个基本应用 导数应用 , 积分应用,一个基本理论 有关中值的定理及应用,同济版高等数学上册复习资料,精品资料,一. 三个基本计算,(约 70 % ),1. 极限的计算,(约 24 % ),主要题型,(1) 利用基本方法求极限,函数的连续性 ;,四则运算法则 ;,极限存在准则 ;,两个重要极限 ;,等价无穷小替换 ;,洛必塔法则 .,(2) 利用特殊方法求极限,导数定义 ;,定积分定义 ;,微分中值定理 ;,变限积分求导 ;,讨论左右极限 .,(3) 无穷小量的比较,同济版高等数学上册复习资料,例题分析,例1.,计算,解:,解:,利用等价关系,例2.,设,f,(,x,) 处处连续, 且,f,(2)=3, 计算,同济版高等数学上册复习资料,解:,化为指数形式 , 利用,例,3.,计算,解:,例4.,计算,同济版高等数学上册复习资料,例5.,计算,解:,令,例6.,计算,解 :,令,同济版高等数学上册复习资料,例7.,计算,解:,利用等价无穷小,例8.,计算,解:,同济版高等数学上册复习资料,例9.,求,解:,令,则,原式 =,洛,例10.,计算,解:,直接用洛必塔法则不方便,利用等价无穷小,同济版高等数学上册复习资料,例11.,计算,解:,利用微分中值定理,例12.,计算,解:,洛,这是积分变量,同济版高等数学上册复习资料,例13.,求,原式 =,洛,利用等价无穷小,解:,同济版高等数学上册复习资料,例14.,已知,解:,对所给等式左边用洛必塔法则, 得,再利用,可知,求,a,b,.,同济版高等数学上册复习资料,2. 导数和微分的计算,(约 18%),主要题型,(1) 计算,复合函数,的导数和微分 ;,(2) 计算,隐函数,的导数和微分 ;,(3),参数方程,求一阶、二阶导数 ;,(4) 用导数定义求,特殊点,的导数值 ;,(5) 计算,n,阶导数 .,(包括,对数微分法,),例题分析,同济版高等数学上册复习资料,例1.,已知,解法1.,等式两边对,x,求导, 得,故,解法2.,等式两边取对数, 得,两边对,x,求导, 得,故,同济版高等数学上册复习资料,例2.,已知,解：,两边取对数，得,两边对,x,求导,同济版高等数学上册复习资料,例3.,证明下述函数在,x,= 0 连续且可导,证:,因为,又,在,x,= 0 连续且可导.,思考:,若函数改为,是否有同样的,结论?,同济版高等数学上册复习资料,例4.,已知,解:, 求,同济版高等数学上册复习资料,例5.,设,解:,同济版高等数学上册复习资料,例6.,设,解:,同济版高等数学上册复习资料,例7.,设,求,解:,同济版高等数学上册复习资料,例8.,求,解:,方法1 .,利用归纳法可证,方法2 .,利用莱布尼兹求导公式,的,n,阶导数.,同济版高等数学上册复习资料,例9.,设,求,解:,同济版高等数学上册复习资料,3. 不定积分与定积分的计算,(约 28%),主要题型,(1) 利用基本积分方法计算不定积分 ;,(2) 利用基本积分方法及公式计算定积分 ;,(3) 利用简化技巧计算积分 ;,(4) 广义积分的计算及收敛性判别 .,例题分析,同济版高等数学上册复习资料,例1.,求,解:,令,令,例2.,求,解:,同济版高等数学上册复习资料,例3.,求,解:,原式 =,同济版高等数学上册复习资料,例4.,求,解:,例5.,讨论积分,解:,的敛散性.,发散,可见原积分发散.,同济版高等数学上册复习资料,例6.,求,解:,奇函数,偶函数,例7.,已知,解:,对所给等式两边求导, 得,求,利用“,偶倍奇零,”,得,同济版高等数学上册复习资料,例8,.,设, 求,(P2,70,题1,3,),解:,令,则,同济版高等数学上册复习资料,例9.,已知,解:,由已知条件得,求,同济版高等数学上册复习资料,例10.,求,解:,利用,P24,8,例6(2), 即,同济版高等数学上册复习资料,例11.,利用递推公式计算下列广义积分,解:,(P2,60,题3),同济版高等数学上册复习资料,二. 两个基本应用,(约 24 % ),1. 导数的应用,(约 16 % ),主要题型,(1) 导数的几何应用,(2) 利用导数研究函数形态,(3) 求解最值问题,(4) 利用导数证明恒等式,(5) 利用单调性证明不等式,同济版高等数学上册复习资料,例1.,设函数,在定义域内可导,的图形如右图所示,则导函数,的图形为,.,(2001考研),提示:,在某区间,I,内可导,则在,I,内,是,的极值点,例题分析,同济版高等数学上册复习资料,例2.,证明,在,上单调增加.,证:,令,在 ,x ,x,+1 上利用拉氏中值定理,故当,x, 0 时,从而,在,上单调增.,得,同济版高等数学上册复习资料,例3.,证明当,x, 0 时,证法1:,设,则,故,证法2:,当,x, 0 时,在 ,x ,x,+1 上利用拉氏中值定理,得,同济版高等数学上册复习资料,例4.,证明:,证:,即,同济版高等数学上册复习资料,例5.,证明当,证:,归结为证,即,在(0,1)上不好判别正负号,提示:,证明,f,(0) 是,f,(,x,) 在(, 1),上的最大值.,说明: 若改为证明当,x, 1,时,如何证明?,同济版高等数学上册复习资料,例5.,设,证:,设,且,比较 , 可知,故不等式成立 .,同济版高等数学上册复习资料,有两个根 ;,例6.,讨论方程,有几个实根.,解:,设,令,得,(最大值),注意,因此,当,时,当,时,只有一个根；,当,时,无实根 .,(P15,3,题,6,),同济版高等数学上册复习资料,例7.,求双曲线,的曲率半径,R, 并分析何处,R,最小?,解:,则,利用,同济版高等数学上册复习资料,例8.,求内接于半径为,R,的球内的正圆锥体的最大体积.,解:,设锥体的底半径为,r, 高为,h, 如图,因,ADB,BDE,所以,圆锥体体积,为极大值点,在 (0, 2,R,) 内只有唯一驻点, 且为极大值点,故为最大,值点, 最大值为,同济版高等数学上册复习资料,2. 定积分的应用,(约 8% ),(1) 利用定积分计算面积,直角坐标方程,参数方程,极坐标方程,(2) 利用定积分计算弧长及旋转体体积,(3) 定积分的物理应用,(4) 有关定积分的证明题,主要题型,例题分析,同济版高等数学上册复习资料,例1.,求曲线,解:,设切点为,则切线方程为,令,得,与其通过原点的切线及,y,轴所围图形,的面积.,故所求面积为,同济版高等数学上册复习资料,例2.,求曲线,解:,列表 :,绕,x,轴旋转所得,旋转体的体积.,同济版高等数学上册复习资料,例3.,求抛物线,解:,与直线,所围的图形绕,y,轴,旋转一周所得旋转体体积.,（此题也可用柱壳法）,（一般法）,同济版高等数学上册复习资料,例4.,求由圆,解:,圆的方程为,围成的平面图形绕,x,轴旋转,一周形成的旋转体体积.,利用“偶倍奇零”,（这是柱壳法）,同济版高等数学上册复习资料,例5.,证明,提示:,令, 得,x,= 1,0,判别,x,= 1,为,f,(,x,) 在,上的唯一极大点 , 故,则,时,同济版高等数学上册复习资料,例6,.,求抛物线,在(0,1) 内的一条切线, 使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解:,设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与,x , y,轴的交点分别为,所求面积,同济版高等数学上册复习资料,且为最小点 .,故所求切线为,得 0 , 1 上的唯一驻点,同济版高等数学上册复习资料,三. 一个基本理论 有关中值的问题,(约 5% ),主要题型,(1) 讨论函数的零点问题或方程根的问题,存在性,唯一性, 常用,介值定理,;,罗尔定理, 利用,单调性,;,反证法,(2) 利用微分和积分,中值定理,证明等式或不等式,例1.,叙述拉格朗日中值定理并证明之.,提示:,利用逆向思维设出满足,罗尔定理,的辅助函数 .,例题分析,同济版高等数学上册复习资料,例2.,设常数,至少有一正根 , 且不超过,证:,设, 则,均为正值,证明方程,若,则,为一正根 , 且符合题意.,若,则,由根的存在定理知 , 又,至少存在一个,使, 即所给方程至少有一个不超过,的正根 .,同济版高等数学上册复习资料,证明方程,例3.,已知,证:,先证,存在性,.,使,再证,唯一性,.,在 0, 1 上有唯一的根.,则,因此,即,假设方程还有一根,则,无妨设,x,0, 0 时,F,(,x,) 可导, 故连续,问,a,取何值时,F,(,x,) 连续?,显然连续,同济版高等数学上册复习资料,2. 注意综合试题,(1) 极限与其它知识点的结合,(2) 求导与积分方法的结合,(3) 导数应用与积分应用结合,3. 具体要求,全面复习 , 抓住三基 , 动手动脑 , 认真细致 .,防止低级错误 :,正负号搞错 ;,不定积分丢,C,;,微分积分漏写,导数与积分公式记反,抄错题或漏题;,(4) 微分中值定理与积分中值定理结合,同济版高等数学上册复习资料,填空:,写出下列函数的导数和原函数,函数,导函数,原函数,同济版高等数学上册复习资料,
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