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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 随机变量及其分布,本章内容：,在概率论中,随机变量是一个与事件和概率同样重要的基本概念,.,本章介绍任意,一个,随机变量的有关内容,:,分布函数,分布律和密度函数等,.,第一节 随机变量及其分布函数,一、随机变量,为何要研究随机变量,?,1.,整个,随机现象的统计规律性,.,2.,量化,指标,:,这样可以用数学的方法,从定量的角度研究随机事件的统计规律性,.,例,1(P30),m,个红球,n,个白球,任取一球观察其颜色,进而可分别求出取到红球和白球的概率,.,可直接计算,?,设,X,是变量,当取到红球时,X,= 1;,当取到白球时,X,= 0.,X,是随机变量,?,(1),随机变量是变量,与普通变量一样,它要取值,.,(2),随机变量的取值视随机试验结果而定,因而是,随机,的,并因此而得名,.,事实上,随机变量是由随机事件转换而来的,.,X,= 1,A,= “,抽到红球”,;,X,= 0,B,= “,抽到白球”,.,Y,2,C,= “,次品数为,2, 3, ,n,”.,Y,k, ,D,= “,次品数为,0,1, 2, ,k,”.,(3),随机变量取到某值或在某范围内取值是与概率有关的,.,例,2(P31),N,次品率为,p,.,Y,:,不放回取,n,个中的次品数目,.,Def (,Random Variable,X,),要求,:,每出现一个随机变量都要思考为何,“,随机”,.,随机变量通常用大写英文字母,X,Y,Z, ,表示,其取值通常用小写字母,x,y,z, ,表示,.,希腊字母,或,2,=,U,有时候也可以用小写英文字母如,t,=,T,表示,.(P107),二、随机变量的分布函数,任意,随机变量都可以借助于分布函数加以讨论,.,Def(,分布函数的定义,),当有两个随机变量,X,和,Y,的分布函数需要讨论时,:,例,3(P31) Solution,用,X,为所取球的标号,X,= -1, 2, 3,其分布函数讨论如下,:,(1),x, -1:,(2) -1,x, 2:,(3) 2,x, 3:,2,2,2,3,3,-1,(4),x,3:,几何意义,: F,(,x,),是,X,落在,(-,x,上的概率,.,于是,有,为何称,F,(,x,),为分布函数,?,补例,一个靶子是半径为,2,的圆盘,设击中靶上任意同心圆上点的概率与该圆盘的面积成正比,并设每次都能中靶,用,X,表示弹着点与圆心的距离,.,试求随机变量,X,的分布函数,.,Solution,k,= ?,Key:,如何分段,?,理由,:,当,x, 2,时,引出连续型随机变量的定义,(Section 3),分布函数的,特征,性质,(P32):,1.,2.,F,(,x,),是不减函数,:,3.,4.,F,(,x,),是右连续函数,:,第二节 离散型随机变量,一、离散型随机变量的分布律,离散型随机变量,X,可能取的值为有限或可数,(,列,),多个值,.,离散型随机变量的,分布律,(,?,):,X,x,1,x,2,x,i,P,p,1,p,2,p,i,例,4(P33),Solution,由等比级数公式,有,例,5(P33),Solution,以,X,表示取出的三个球的最小号码,则,X,= 1, 2, 3.,X,1,2,3,P,0.6,0.3,0.1,二、常用离散型分布,1. 0-1,分布,两点分布,(two point distribution),试验结果只有两个,对于产品,:,合格,不合格,.,对于随机事件,A,:,发生,不发生等,.,婴儿性别,:,男,女,.,随机变量,X,的取值只有两个,?,X,= 1,X,= 0.,X,B,(1,p,).,X,1,0,P,p,1-,p,2.,二项分布,(binomial distribution),Bernoulli,试验,E,:,n,重,Bernoulli,试验,:,独立,重复进行,n,次,.,n,重,Bernoulli,试验的例子,(P35).,用,X,表示,n,重,Bernoulli,试验中事件,A,发生的次数,X,是随机变量,X,= 0, 1,k, ,n,.,X,B,(,n,p,).,分布律,(P35).,例,6(P36),Solution,用,A,表示在交通岗遇到红灯,则,X,表示途中遇到红灯的次数,:,X,的分布律为,至多遇到一次红灯的概率为,X,0,1,2,3,P,例,7(P36),Solution,以,X,表示某包螺丝钉中次品的个数,则,3. Poisson,分布,随机变量,X,所有可能取值为,0, 1, 2, ,k, ,且,其中, 0,是参数,.,X,P,(,).,Poisson,定理,:,如何使用,?,例,8(P36),Solution,以,X,表示,1000,个投保人中在未来一年内死亡的人数,则,n,很大,p,很小,np,适中,:,例,9(,泊松分布与马踏死人数据,)(P37):,一个,典型,的应用泊松分布的例子,.,Solution,= 0.61(,?,),拟合频数,?,例,10(P38),Solution,X,P,(,),P,(,X,= 0) =,P,(,X,= 1):,第三节 连续型随机变量,随机变量,X,的取值为一个区间,(,或若干个区间的并,)?,火车到达车站的时间,;,电子元件的使用寿命,一、密度函数及其性质,例,11(P38),连续型随机变量的定义,:,称,f,(,x,),为,X,的密度函数,(Probability Density Function).,几何意义,:,(1),显然,!,与离散型随机变量的根本区别,.,不可能事件的概率为,0,由,(1),知,:,概率为,0,的事件并不意味着是不可能事件,.,同样,概率为,1,的事件不仅有必然事件,还可能有非必然事件,.,如取出寿命为,1200.521,小时的灯管的概率是,0.,圆盘上的旋转指针落在某一个具体位置,30,30,的概率是,0.,(2),概率密度的定义与物理学中的线密度的定义类似,:,Clearly,由于,f,(,x,), 0,F,(,x,),是,(-, +,),上的,连续,函数,.,Proof,令,h,0.,非离散型和非连续型随机变量的例子,:,显然,密度函数有性质,(1)(4),(P39).,(1),f,(,x,),0.,(2),(3),Proof,(4),若,f,(,x,),在,x,点处连续,则,例,12(P40),Solution (1),(2),二、常用连续型分布,1.,均匀分布,(Uniform Distribution),X,R,(,a,b,):,X,U,(,a,b,).,例,13(P41),Solution,X,U,(0, 30).,(1),P,(10 ,X,15) +,P,(25 ,X,30),(2),P,(0 ,X,5) +,P,(15 ,X,20) = 1/3.,2.,指数分布,(Exponential Distribution),X,E,(,).,例,14(P42),Solution,X,E,(0.2).,3.,正态分布,(Normal Distribution),(1),很多连续型随机变量都服从或近似服从正态分布,(Ch7),X,N,(,2,),Figure 4.4:,(2),标准正态分布,X,N,(0, 1)?,X,N,(0, 1):,标准正态分布,N,(0,1),的,分位点,:,u,称为,N,(0,1),的,分位点,.,Proof,(I),(II),例,15(P44),例,16(P45),例,17(P45),作业,: P46, 3, 7, 12, 15; 19, 22, 23.,
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