附录1截面几何性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,截 面的几何性质,附录 1-1, 1-1 截面的静矩和形心位置, 1-4 转轴公式,主惯性轴, 1-2(3) 极惯性矩 惯性矩 惯性积, 1-3 平行移轴公式,o,x,y,1-1 截面的静矩和形心位置,一, 定义,dA,x,y,截面对,y , x,轴的静矩为,：,静矩可正，可负，也可能等于零,。,x,y,o,dA,x,y,x,c,截面的形心,C,的坐标公式为：,x,y,o,dA,x,y,x,c,截面对形心轴的静矩等于零。,若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。,二, 组合截面,由几个简单图形组成的截面称为组合截面,截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该,截面对于同一轴的静矩。,其中：,A,i,第,i,个简单截面面积,第,i,个简单截面的形心坐标,组合截面静矩的计算公式为,计算组合截面形心坐标的公式如下：,10,10,120,o,解： 将截面分为 1，2,两个矩形。,1,2,y,x,例 :,试确定图示截面心,C,的位置,。,取,x,轴和,y,轴分别与截面,的底边和左边缘重合,80,10,10,120,o,1,2,y,x,80,矩形 1,矩形 2,10,10,120,o,1,2,y,x,80,所以,10,10,120,o,1,2,y,x,80,例 :,试确定半圆形截面心,C,的位置,。,R,解：以底边为参考边,z,y,形心在,y,轴上,R,z,y,y,dy,12 极惯性矩 惯性矩 惯性积,x,y,0,dA,x,y,截面对,o,点的极惯性矩为,定义：,截面对,x ,y,轴的惯性矩分别为,I,= I,x,+,I,y,所以,x,y,0,dA,x,y,截面对,x , y,轴的惯性积为,惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，,也可能等于零。,若,x , y,两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则截面对,x , y,轴的,惯性积一定等于零。,x,y,dx,dx,y,dA,dA,截面对,x , y,轴的惯性半俓为,dA,= b,dy,解,：,b,h,x,y,C,y,dy,例 2,_,1 求矩形截面对其对称轴,x , y,轴的惯性矩。,y,x,d,所以,解：因为截面对其圆心,O,的极惯性矩为,例 2 - 2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。,x,y,o,C(a,b),b,a,一 。平行移轴公式,（,a , b ),_,形心,c,在,xoy,坐标系下的,坐标。,x, y ,任意一对坐标轴,C ,截面形心,13 平行移轴公式,x,y,o,C(a,b),b,a,y,c,x,c,x,c,y,c,过截面的形心,C,且分别与,x , y,轴平 行的坐 标轴（形心轴）,I,x,I,y,I,xy,_,截面对,x , y,轴的,惯性矩和惯性积。,I,x,c,I,y,c,I,x,c,y,c,截面对形心轴,x,c,y,c,的惯性矩和惯性积。,x,y,o,C(a,b),b,a,y,c,x,c,已知截面对形心轴,x,C,，,y,C,的惯性矩和惯性积,求截面对与形心轴平行的,x,，,y,轴惯性矩和惯性积,则平行移轴公式为,x,y,o,C(a,b),b,a,y,c,x,c,二。,组合截面的惯性矩 惯性积,I,x,i,I,yi,第,i,个简单截面对,x ,y,轴的惯性矩,、,惯性积。,组合截面的惯性矩，惯性积,例 3 -1 求梯形截面对其形心轴,y,c,的惯性矩,。,解,：,将截面分成两个矩形截面,。,20,140,100,20,y,截面的形心必在对称轴,z,c,上,。,取过矩形 2 的形心且平行于底边,的轴作为参考轴记作,y,轴,。,2,1,z,c,y,c,20,140,100,20,所以截面的形心坐标为,y,2,1,z,c,y,c,20,140,100,20,y,2,1,z,c,y,c,例,: 试求图示图形对,z,1,和,z,2,轴的惯性矩,I,z1,和,I,z2。,z,2,R,R,z,z,1,z,2,R,R,z,z,1,z,0,解：半圆形的形心轴为,z,0,如图,z,2,R,R,z,z,1,z,0,半圆形对,z,轴的惯性矩为,z,2,R,R,z,z,1,z,0,一 . 转轴公式,顺時针转取为 号,xoy,为过截面上的任 点建立的坐标系,o,x,y,x,1,y,1,逆時针转取为 + 号，,x,1,oy,1,为,xoy,转过,角后形成,的新坐标系,14 转轴公式,主惯性轴,o,x,y,x,1,y,1,已知截面对坐标轴轴,x,，,y,轴的惯性矩和惯性积,求截面对,x,1,，,y,1,轴惯性矩和惯性积,o,x,y,x,1,y,1,转轴公式为：,显然：,o,x,y,x,1,y,1,二 .,截面的主惯性轴和主惯性矩,主惯性轴, 总可以找到一个特定的角,0, 使截面对新坐标,轴,x,0, y,0,的惯性积等于 0 , 则称,x,0, y,0,为主惯性轴。,主惯性矩,截面对主惯性轴的惯性矩。,x,y,o,0,x,0,y,0,形心主惯性矩, 截面对形心主惯性轴的惯性矩。,形心主惯性轴,当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,，则称为形心主惯性轴。,由此,求出后，就确定了主惯性轴的位置。,则有,主惯性轴的位置：设,为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角,主惯性矩的计算公式,I,max,=,I,x,0,I,min,=,I,y,0,过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是,主惯性轴。截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值。,即,确定形心 的位置,求形心主惯性矩的步骤,截面的对称轴一定是形心主惯性轴,选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐,标轴,x ，y,计算,I,x,I,y,I,xy,确定形心主惯性轴的位置,计算形心主惯性矩,10,10,120,70,例 :,计算所示图形的形心主惯性矩。,解：该图形形心,c,的位置已确定, 如图所示。,过形心,c,选一对座标轴,x, y,轴，计算其惯性矩（积）。,c,40,20,x,y,10,10,120,80,c,40,20,x,y,20,15,25,35,10,10,120,80,c,40,20,x,y,20,15,25,35,10,10,120,80,c,40,20,x,y,20,15,25,35,10,10,120,80,c,40,20,x,y,20,15,25,35,在第三象限,形心主惯性轴,x,0, y,0,分别由,x,轴和,y,轴绕,c,点,逆时针转 113.8,0,得出,。,10,10,120,70,形心主惯形矩为,c,40,20,x,y,x,c0,0,=113.8,0,例,:,求截面的形心主惯性矩,40,40,80,180,160,y,0,40,40,80,180,160,解：（1）确定形心位置,以顶边为参考边,96,z,0,164,40,40,80,180,160,（2）,求形心主惯性矩,96,164,z,0,y,0,用平行移轴定理,y,0，,z,0,就是形心主惯性轴,40,40,80,180,160,96,164,z,0,y,0,