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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,第二节 向量间的线性关系,一、,n,维向量,二、向量的线性关系,三、线性相关性,四、特殊向量组的几何意义,2,一、,n,维向量,数域,F,上的,n,个数,定义,2.2.1,组成的有序数组,称为数域,F,上的一个,n,维向量,其中,称为向量的第,i,个分量,(i=1,2,n),=,a,1,a,2,a,n,或,=,a,1,a,2,a,n,T,行向量,列向量,本节中，,n,维向量均指,n,维列向量,3,数域,F,上的全体,n,维列向量构成的集合记作,F,n,分量都是,0,的,n,维向量称为,零向量,，记作,0,向量,称为,n,维向量,的,负向量,记作,分量全是实数,(,复数,),的,n,维向量称为,实,(,复,),向量,向量可以看作是特殊的矩阵,4,例,1,矩阵,有,3,个行向量,有,4,个列向量,5,若干个维数相同的列向量,(,或维数相同的行向量,),所构成的集合叫做,向量组,由一个向量组的部分向量构成的向量组称为该,向量组的,部分组,例如,向量组在本课程中的重要性,向量组, , ,，,称为矩阵,A,的行向量组,8,设有两个,n,维向量,和一个实数,k,R,则定义,=,a,1,a,2,a,n,T,=,b,1,b,2, b,n,T,(1), =, a,i,=b,i, i=1,2,n,(2), +, =,a,1,+ b,1, a,2,+ b,2, a,n,+ b,n,T,(3),k =,k,a,1,ka,2, ka,n,T,(4),- =,(-1), =,-,a,1,- a,2,- a,n,T,(5), -, = ,+(-1),二、向量的线性运算,9,对任何的,n,维向量, , ,及任意实数,k,l,向量,的加法及数乘运算统称为向量的,线性运算,.,满足,下列的八条性质,(1), +, = + ,(2) (, +,),+ = +,(, + ,),(3), +,0,= ,(4), +,(,- ,),= 0,(5) 1, = ,(6),k,(,l,),=,(,kl,),(7),k,(, +,),= k +k,(8) (,k + l,), = k + l,10,例,2,设,若,3,维向量,满足,试求向量,解 由,11,三、线性相关性,设,定义,2.2.4,则对任意常数,F,向量,称为这,s,个向量的一个,线性组合,设,若存在常数,使得,则称向量,可以表为,的线性组合,或称,可由向量组,线性表出,(,或,线性表示,),12,n,维零向量,0,是任一,n,维向量组,例,3,的线性组合,例,4,设,n,维单位坐标向量组为,则,可由,线性表出,13,例,5,向量组,A:,1,2,s,中的任一向量都可以由,这个向量组线性表示,已知的向量能否由一个已知的向量组线性表示？,或者说：一个已知的向量是否可以表示为已知向量的线性组合。,如果能是否唯一？,综合：,18,n,元线性方程组,AX,=,有解的充分必要条件,是向量,可由其系数矩阵,A,的列向量组,线性表出,定理,2.2.1,向量,可由向量组 线性表出,的充分必要条件是,推论,2.2.1,其中,19,设,=,1,1,1,T, =,1,3,0,T, =,2,4,1,T,例,6,试将向量,用向量,与,线性表出,20,向量组的线性相关与线性无关的概念,对于向量组,1,2,s,如果存在,不全为零的数,k,1,k,2,k,s,使得,则称这个,向量组线性相关,否则称这个,向量组线性无关,k,1,1,+ k,2,2,+ + k,s,s,=,0,定义,2.2.5,注意,注,证,例,27,定理,2.2.2,设,令,则向量组,线性相关的充分必要条件是,s,元齐次线性方程组,有非零解,.,推论,2.2.2,设,则向量组,线性相关的充分必要条件是,28,推论,2.2.3,令,则,n,维向量组,线性相关的充分必要条件是,n,元齐次线性方程组,的系数行列式等于零,例,7,任意,s(n),个,n,维向量必线性相关,任意,n+1,个,n,维向量必线性相关,设,令,则,有非零解,向量组,必线性相关,29,定理,2.2.3,令,则,n,维向量组,线性无关的充分必要条件是,s,元齐次线性方程组,仅有零解,.,即向量组,线性无关的充分必要条件是,例,31,例,8,是三个向量,由于,2,= 2,1,因而有,系数,2,-1,0,不全为零,由上述定义可知,1, ,2, ,3,线性相关,2,1,+ ( - 1),2,+ 0,3,= 0,32,例,9,含有零向量的任一向量组线性相关,设向量组为,0,1,2,s,对任意的数,k, 0,，有,k,0,+,0,1,+,0,2,+,0,n,=,0,33,如果,n,维向量组,例,11,线性无关,试判断向量组,的线性相关性,解 设存在数,使得,即,线性无关,故,34,齐次线性方程组的系数行列式为,当,s,为奇数时,|A|=2,方程组仅有零解,.,所求向量组线性无关,当,s,为偶数时,|A|=0,方程组有非零解,.,所求向量组线性相关,35,若,n,维向量组,例,12,线性无关，那么在每一个向量的第,n,个分量后都,添加一个分量所得到的,n+1,维向量组,亦线性无关,(,即“无关组的延长组亦无关”,),36,定理,2.2.4,向量组,1,2,s,(s2),线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余,s-1,个向量的线性表出,37,线性相关的向量组中未必每个向量均可由其余,s-1,个向量线性表出,1,= 1,0,0,T,2,= 0,1,0,T,3,=0,0,0,T,1,不能由 ,2, ,3,线性表示,38,推论,2.2.4,向量组,线性无关的充分必要条件是它的每一个,向量都不能由其余,s-1,个向量线性表出,定理,2.2.5,若向量组,线性无关,而向量组,线性相关,则向量,可由向量组,线性表出,且表示法唯一,39,若向量组,1, ,2, , ,s,中有一部分向量,线性相关,则该向量组线性相关,例,13,反之未必,40,若向量组,1, ,2, , ,s,线性无关,则其任,一部分,向量组都是线性无关,反之未必,可总结如下结论,部分相关,整体相关,整体无关,部分无关,整体相关,部分相关,部分无关,整体,无关,41,向量组,1,2, ,m,线性相关还是线性无关,通常,是指,m,2,的情况,但也适用于,m=1,的情形,.,我们先就,m=1, m=2,m=3,的情形作一些讨论,当,m=1,时,向量组只有一个向量,.,若,=0,则,对任一非零常数,k,均有,k,=0,;,若, ,0,则仅,当,k=0,时才有,k,=0,.,由定义可知,当,=0,时,则,是线性相关的,;,当, ,0,时,则,是线性,无关的,四、特殊向量组的几何意义,42,当,m=2,时,向量组有两个向量,如果这两个向量线性相关，则有不全为零的数,k,1,k,2,使得,k,1, +,k,2, = 0,如果,k,1,0,，则有,如果,k,2,0,，则有,因而两个向量线性相关则它们的对应分量成比例，,反过来也一样成立,= ,a,1,a,2,a,n,T,= ,b,1,b,2,b,n,T,43,一个向量线性相关的几何意义是它是坐标系原点,二个向量线性相关的几何意义是二向量共线,三个向量线性相关的几何意义是三向量共面,若向量组,线性相关,则必有一个向量可由其余,2,个向量线性表出,当,m=3,时,人有了知识，就会具备各种分析能力，,明辨是非的能力。,所以我们要勤恳读书，广泛阅读，,古人说“书中自有黄金屋。,”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，,培养逻辑思维能力；,通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，,培养文学情趣；,通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。,有许多书籍还能培养我们的道德情操，,给我们巨大的精神力量，,鼓舞我们前进,。,
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