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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,结构力学,中南大学,07:40,14-1,概述,14-2,结构的振动自由度,14-3,单自由度结构的自由振动,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,14-5,单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,14-6,多自由度结构的自由振动,第十四章 结构动力学,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,14-8,振型分解法,14-9,无限自由度结构的振动,14-10,计算频率的近似方法,静力荷载：,大小、方向和作用位置不随时间变化，或变化非常缓慢，不会促使结构产生显著的运动状态的变化，结构将处于平衡状态。计算平衡状态下结构的内力和变形问题称为静力计算。,注意：,区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身性质来看，要看其对结构产生的影响。,一、结构动力计算的特点和任务,1.,动力荷载与静力荷载的区别：,随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，并称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，称为动力计算。,动力荷载（干扰力）：,随时间迅速变化的荷载,14-1,概述,结构动力计算的特点：,在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都,是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速,度，必须考虑惯性力的作用。,考虑惯性力的作用是结构动力计算的最主要特征,。,结构静力计算的特点：,结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布,规律，与时间无关。,2.,结构动力计算的特点,3.,结构动力计算可分为两大类：,自由振动：,结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外,部干扰力作用。,强迫振动：,如果结构在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫,振动。,4.,结构动力计算的任务：,(2),分析计算动力荷载作用下结构的动力反应，确定动力荷载作用下结构的,位移、内力等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。,(1),分析计算自由振动，得到的结构的动力特性,(,自振频率、振型和阻尼参数,),；,14-1,概述,周期荷载,随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是,简谐荷载,(,按弦或余弦函数规律变化,),。,二、动力荷载的分类,简谐荷载,1.,周期荷载,非简谐性周期荷载,例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。,14-1,概述,在很短的时间内，荷载值急剧减小,(,或增加,),，如爆炸时所产生的荷载。,2.,冲击荷载,3.,突加常量荷载,突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变。例：起重机起吊重物时所产生的荷载。,上述荷载是时间的确定函数，称之为确定性动力荷载。,14-1,概述,随机荷载（非确定性荷载）,荷载的变化极不规则，在任,时刻的数值无法预测。地震荷载和风荷载都是随机荷载。,随机荷载（非确定性荷载）,4.,随机荷载,14-1,概述,结构振动的自由度,:,结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立,参数的数目,单自由度结构,多自由度结构（自由度大于,1,的结构）,14-2,结构振动的自由度,当梁本身的质量远小于电动机的质量时，可以不计梁本身的质量，同时不考虑梁的轴向变形和质点的转动，则梁上质点的位置只需由挠度,y,(,t,),就可确定。,由质点竖向挠度为独立参数的单自由度结构,确定绝对刚性杆件上三个质点的位置只需杆件转角,(,t,),便可，故为单自由度结构。,14-2,结构振动的自由度,虽然只有一个集中质点，但其位置需由水平位移,x,和竖向位移,y,两个独立参数才能确定，因此振动自由度等于,2,，为多自由度体系。,三层平面刚架横梁的刚度可看作无穷大，结构振动时横梁不能竖向移动和转动而只能作水平移动，故振动自由度等于,3,，多自由度体系。,14-2,结构振动的自由度,分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持不变的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加,刚性链杆法,来确定结构的振动自由度。,刚性链杆法：,在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所 有质点的位置，,则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。,具有两个集中质量，加入三根链杆即能使各质量固定不动其振动自由度为,3,。,注意：,体系振动自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与体系是否静定或超静定无关。体系的自由度数目与计算假定和计算精度有关。如果考虑质点的转动惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的振动自由度数目。,14-2,结构振动的自由度,实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此，需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单自由度或者有限多自由度的问题进行计算,集中质量法：,把体系的连续分布质量集中为有限个集中质量,(,实际上是质点,),，把原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。,简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨论集中质量法。,水塔的质量大部分集中在塔顶上，可简化成以,x,(,t,),为位移参数的单自由度结构。,14-2,结构振动的自由度,凡属需要考虑杆件本身质量（称为质量杆）的结构都是,无限自由度体系,。,例：用集中质量法将连续分布质量的简支梁简化为有限自由度体系。,将梁二等分，集中成三个集中质量，单自由度体系。,将梁,三等分,，质量集中成四个集中质量的,两个自由度,体系,。,14-2,结构振动的自由度,自由振动：,结构在振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式。,产生自由振动的原因：,结构在振动初始时刻受到干扰。,初始干扰的形式,:,（,1,）结构具有初始位移,（,2,）结构具有初始速度,（,3,）上述二者同时存在,1.,不考虑阻尼时的自由振动,对于各种单自由度体系的振动状态,都可以用一个简单的,质点弹簧模型,来描述。,梁在,质点重量,W,作用下的挠曲线称为,“,静平衡位置,”,。,14-3,单自由度结构的自由振动,取图示质点弹簧体系中质点的静力平衡位置为计算位移的原点，并规定位移,y,和质点所受的力都以向下为正。设弹簧发生单位位移时所需加的力为,k,11,，称为弹簧的,刚度,；单位力作用下弹簧产生的位移为,11,，,称为弹簧的,柔度,，,k,11,与,11,二者之间满足：,无重悬臂梁、无重简支梁简化单弹簧体系时，弹簧的刚度系数,k,11,各等于多少？,思考：,简支梁：,悬臂梁 ：,答：,14-3,单自由度结构的自由振动,为了寻求结构振动时其位移以及各种量值随时间变化的规律，需要先建立其,振动微分方程,，,然后求解。,振动微分方程的建立方法：,（,1,）刚度法。,即列动力平衡方程。设质点,m,在振动的任一时刻位移为,y,，取质点,m,为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点,m,上,的力有：,(a),弹簧恢复力,该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方向恒与位移,y,的方向相反，即永远指向静力平衡位置。,(b),惯性力,负号表示其方向恒与加速度 的方向相反,对于弹簧处于静力平衡位置时的初拉力，恒与质点的重量,mg,向平衡而抵消，故振动过程中这两个力都毋须考虑。,14-3,单自由度结构的自由振动,质点在惯性力,F,1,和恢复力,F,c,作用下维持平衡，则有：,或,将,F,1,和,F,c,的表达式代入,令,（,14-1,）,有,（,14-2,）,单自由度结构自由振动微分方程,14-3,单自由度结构的自由振动,（,2,）柔度法。,即列位移方程。当质点,m,振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体,系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移,y,应当为：,即,同刚度法所得方程,此二阶线性常系数齐次微分方程的通解为：,(a),(b),由初始条件,t=0,时，有,可得到,有,(14-3),14-3,单自由度结构的自由振动,可见,:,单自由度体系无阻尼的自由振动是简谐振动。,令,有,（,14-4,）,（,14-6,）,其中,（,14-5,）,位移满足周期运动的下列条件：,a,表示质量,m,的最大动位移，称为振幅。其由,常数,、,初始条件,y,0,和,v,0,决定的,。,是初始位置的相位角，称为初相角。它也取决于常数,、初始条件,y,0,和,v,0,。,T,称为结构的自振周期，其常用的单位为秒,(,s,),。,自振周期的倒数代表每秒钟内的振动次数，称为,工程频率，,记作,f,，,其单位为,1,秒,(,s,-1),，或称为,赫兹,(Hz),。,(,14-7,),14-3,单自由度结构的自由振动,表示,2,秒内的振动次数，是结构动力性能的一个很重要的标志,。,的单位为,弧度秒,(,rad,s),，,亦常简写为,1,s (s,-1,),。,从圆周运动的角度来看，称它为,圆频率,，,一般称,为,自振频率,。,根据式,(14-1),，可给出结构自振频率,的计算公式如下：,相应地，结构的自振周期,T,的计算公式为：,式中,g,表示重力加速度，,st,表示由于重量,mg,所产生的静力位移。,结构的自振频率和周期只取决于它自身的质量和刚度，与初始条件及外界的干扰因素无关，它反映着结构固有的动力特性。,（,14-8,）,14-3,单自由度结构的自由振动,解：三种支承情况的梁均为单自由度体系。,例,14-1,图示为三种不同支承情况的单跨梁，,EI,常数，在梁中点有一集中质,量,m,，,当不考虑梁的质量时，试比较三者的自振频率。,据此可得,随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。,14-3,单自由度结构的自由振动,2.,考虑阻尼时的自由振动,物体的自由振动由于各种阻力的作用将逐渐衰减下去而不能无限延续。,阻力可分为两种：一种是外部介质的阻力；另一种来源于物体内部的作用。这些统称为阻尼力。通常引用福格第假定，即近似认为振动中物体所受阻尼力与其振动速度成正比，称为粘滞阻尼力，即：,其中：,为阻尼系数，负号表示阻尼力的方向恒与速度方向相反,考虑阻尼时，质点,m,的动力平衡方程为,即：,令,有,(,14-9,),14-3,单自由度结构的自由振动,这是一个常系数齐次线性微分方程，设其解的形式为,解得,其特征方程为：,根据阻尼大小不同，现分以下,3,种情况讨论：,(1),k,，,即大阻尼情况,，此时,r,1,和,r,2,为两个负实数，,式,(14-9),通 解为：,y,(,t,),不是一个周期函数,即在大阻尼情况下不会发生振动。,（,14-13,）,（,14-14,）,(3),k,=,，,即临界阻尼情况,此时,r,1,2,=-,k,，,方程,(14-9),的解为,y-t,曲线,以上两种情况均不属振动，位移时程曲线（,y-t,曲线,）,表示体系从初始位移出发，逐渐返回到静平衡位置而无振动发生。,y,(,t,),不是周期函数，亦即在临界阻尼情况下不会发生振动。此时，临界阻尼系数,14-3,单自由度结构的自由振动,强迫振动：,结构在动力荷载即外来干扰力作用下产生的振动。,设质点,m,受干扰力,F,（,t,）作用，则质点,m,的动力平衡方程为：,即：,或,(,14-18,),14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,方程的解包括两部分：对应齐次方程的通解和对应干扰力,F(t,),的特解,(,14-18,),通解,特解 随干扰力的不同而异。本节讨论干扰力为简谐周期荷载时的情况，如具有转动部件的机器匀速转动时，由于不平衡质量产生的离心力的竖直或水平分力等，表达为：,(14-19),其中 为干扰力的频率，,F,为干扰力最大值。此时式,(14-18),写为：,(,14-20,),设方程的特解为：,（,b,）,（,a,）,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,式,(b),代入式,(14 -20),，得到,式,(a)+,式,(b),，并引入初始条件，得到,(14-21),由初始条件决定的自由振动,伴生自由振动,按干扰力频率,振动的纯强迫振动或稳态强迫振动,由初始条件决定的自由振动阶段和伴生自由振动阶段会随时间很快衰减掉，故称为过渡阶段；最后只剩下按干扰力频率振动的纯强迫振动，故称为平稳阶段。实际问题中，一般只讨论纯强迫振动。,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,1.,不考虑阻尼的纯强迫振动,(14-22),因此，最大动力位移（振幅）为,(14-23),其中,:,代表将干扰力最大值,F,作为静载作用于结构上时引起的静力位移,位移动力系数,，代表最大动力位移与静力位移之比,当,时，,值为负，表示动力位移与动力荷载的指向相反,这种现象仅在不计阻尼时出现。,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,动力反应谱（动力放大系数,随频比,/,变化的关系曲线）,动力放大系数,的大小反映了结构动力反应的强弱。单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数与内力动力系数是完全一样的。,当 ，,通常,当动力荷载,(,即干扰力,),的,周期,大于结构自振周期的,五、六倍,以上时，可将其,视为静力荷载,。,(1),当,时，即,/,0,，,这时,1,。,这种情况相当于静力作用。,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,动力反应谱,(2),当,时，即,/,1,，,这时,。,即振幅趋于无限大,这种现象称为,共振。,2),实际上由于阻尼的存在共振时振幅不会无限增大。,1),共振现象的形成有一个过程，振幅是由小逐渐变大的。,注意,:,3),应避开,0.75,/,时，即,/,1,，,这时,值为负,值,并且趋近于零。,这表明高频简谐荷载作用下，振幅趋近于零，体系处于静止 状态。,工程设计中，要求的是振幅绝对值,动力反应谱中,/,1,部分的,画在横坐标的上方。,注意,:,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,在单自由度体系上，当干扰力作用在质量上、扰力作用线与质体的振动位移方向重合时，其位移动力系数与内力动力系数是完全相同的，结构的最大动内力可以采用动力系数法求得。,如果干扰力不作用在质量上，体系的位移和内力没有一个统一的动力系数。这种情况下的结构动内力、动位移的计算，可用,建立动力微分方程的,方法计算。,见书,P89,图,14-15,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,解：在发电机重量作用下，梁中,点的最大静力位移为：,故自振频率为,例,14-2,简支梁中点装有一台电动机，电动机重量,G=,35kN,。已知梁的惯性矩,I,=8.8,10,-5,m,4,，,E,=210GPa,。发电机转动时离心力的垂直分力为,F=,sin,t,， 且,F=10KN,。不计阻尼，求当发电机每分钟转数为,n=500r/min,时，梁的最大弯矩和挠度。,干扰力频率,:,动力系数,:,梁中点的最大弯矩为,梁中点的最大挠度为,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,质体的动位移,y,(,t,),是以静力平衡位置为零点来计算的，因此,y,(,t,),中不包括质体的重力影响，但在确定质体的最大竖向位移时，应加上这部分（,st,=,11,G,）,的影响。,注意：,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,运用,图乘法,可求得,(a),(1),设惯性力和动力荷载分别为单位力和单位力偶作用在体系上，并绘出相应的弯矩图,.,例,14-3,图示简支梁跨中有一集中质量,m,，,支座,A,处受动力矩,M,sin,t,的作用，,不计梁的质量，试求质点的动位移和支座,A,处的动转角的幅值。,解：该体系不能直接用放大系数求动位移，可由建立体系的振动方程来求解。,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,式中,代,ij,入上式，经整理后得,(b),解式,(b),得稳态解为,(c),(2),根据,叠加原理,列出动位移,质点的动位移是惯性力,F,I,(,t,),和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理可表示为,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,这说明质体动位移尚可应用放大系数计算,。,质点的动位移幅值为 ，其中 为动荷载幅值,M,所引起的质点静位移,y,st,，,动力系数。,支座,A,处的动转角也是由惯性力,F,I,(,t,),和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理可表示为,由稳态解式,(c),可知,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,对式,(c),求导两次后代入上式，可得,将式,(a),和,F,*,=3,M,/,l,代入上式,得,(c),14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,可见,质点位移的动力系数,和支座处动转角的动力系数,是不同的。,支座,A,处的动转角幅值为,为动荷载幅值,M,所引起的静转角，,为该动力系数。,其中,而,动荷载不作用在质量上时，体系不能用一个统一的动力系数来表示。,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,由式,(14-21),的第三项，有：,命,（,14-27,）,（,14-28,）,令 和 ，则振幅,A,可写为,（,14-29,）,2.,有阻尼的强迫振动,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,动力系数,不仅与频比,有关，而且还与阻尼比,有关。,动力系数,与频比,和阻尼比,的关系图,在,0.75,时，则,很小，表明质量,m,接近于不动或只作极微小的振动。,(1),阻尼对简谐荷载的动力系数,影响较大,简谐荷载作用下有阻尼稳态振动的主要特点：,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,(2),在,=1,的共振情况下,动力系数为,动力系数,与频比,和阻尼比,的关系图,在考虑阻尼的影响时，共振时动力系数不是无穷大,而是一个有限值。在研究共振时的动力反应时，阻尼的影响是不容忽略的。,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,用求极值的方法确定,的最大值发生在,处,因,的值通常都很小，近似地将,=1,时的值作为最大值。,(3),最大值并不发生在,=1,处。,动力系数,与频比,和阻尼比,的关系图,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,当,1,时，,0,1,时，,/,2,；,当,=1,时，,=,/2,。,(4),阻尼体系的位移,y,(,t,)=,Asin,(,t-,),和干扰力,F,(,t,)=sin,t,不同步，,其相位角为,。,只要有阻尼存在,位移总是滞后于振动荷载。,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,共振时,=,/2,位移方程式为,y,(,t,),=,y,st,co,s,t,= 1/(2,),，,=,，,c,=,c,c,=2,m,阻尼力为,注意到共振时,可见共振时干扰力与阻尼力互相平衡。,共振时受力特点讨论,:,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,为了减小动力放大系数,，,当,=,/,1,时称为,(,共振后区,),，这时，应设法减小结构的自振频率,。,这种方法称为“柔性方案”。,动力系数,与频比,和阻尼比,的关系图,讨论：,14-4,单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,采用冲量方法首先讨论瞬时冲量的动力反应，在此基础上讨论一般动力荷载下的动力反应。,1.,强迫力为一般动力荷载,-,无阻尼,(1),瞬时冲量的动力反应,假定冲击荷载作用之前体系的初位移及初速度均为零。,由于荷载作用时间极短，可以认为在冲击荷载作用,完毕的瞬间，体系的位移仍为零。但冲击荷载有冲量，可以使处于静止状态的质点获得速度而引起自由振动。,思考：,体系在冲击荷载作用下获得的是位移还是速度？,14-5,单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,根据动量定律，质点在瞬时冲量,F, ,t,作用下的动量变化为,由于,v,0,=0,所以有,原来初位移、初速度为零的体系,在冲击荷载作用后的瞬间,变成了初位移为零,初速度为 的自由振动问题。,由,(14-30),得,14-5,单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,若冲击荷载不是在,t,0,，,而是在,t,时作用，则上式中的,t,应改为,(,t -,),。,(14-31),由式,(14-30),可得在,t,时作用瞬时冲量,S,引起的动力反应。,(14-30),14-5,单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,(2),一般动力荷载,F,(,t,),的动力反应。,把整个加载过程看成是由一系列瞬时冲量所组成的。在时刻,t,作用的荷载为,F,(,t,),，,此荷载在微分时段,d,内产生的冲量为,d,S,=F,(,t,),d,。,根据式,(14-31),，此微分冲量引起的动力反应为：,(g),对加载过程中产生的微分反应进行叠加，得出总反应如下：,称为,杜哈梅,(,Duhamel,),积分,。,(14-32),14-5,单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,(14-33),式中第一、二项代表自由振动部分，第三项代表强迫振动部分。,(14-32),如果初始位移,y,0,和初始速度,v,0,不为零，则总位移应为：,14-5,单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,2.,几种动荷载的动力反应,(1),突加长期荷载,o,F,(,t,),t,0,F,突加长期荷载就是指突然施加于结构并继续作用在结构上的荷载，它可表示为：,如果原结构的初始位移和初始速度都等于零，将式（,h,）,代入式,(9-32),并进行积分后，可得动力位移如下：,（h）,(14-34),(14-32),14-5,单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,当,t,=,T,/2,时，,y,(,t,),max,=2,y,st,，,动力系数为,=2,。,位移时程曲线图,(14-34),式中 表示在静力荷载,F,0,作用下所产生的静力位移。,当突加荷载作用在系统上的时间超过,t,=,T,/2,时就算作长期荷载,这时引起的最大动力位移为相应静力位移的两倍。,14-5,单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,其特点是当,t,=0,时，在质体上突然施加常量荷裁,F,0,，,而且一直保持不变，直到,t,=,t,1,时突然卸去。,(2),突加短期荷载,体系在这种荷载作用下的位移反应，可按两个阶段分别计算再叠加。,第一阶段（,0,t,t,1,）：,此阶段与突加长期荷载相同，因此动力位移反应仍按公式,(9-34),计算。,荷载可以看作突加长期荷载,F,0,(,图中坐标上方实线及所续虚线部分,),叠加上,t,=,t,1,时突加上来的负长期荷载,(,F,0,)(,图坐标下方虚线部分,),。,14-5,单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,(14-35),第二阶段,(,t,t,1,),：,荷载可以看作突加长期荷载,F,0,(,图中坐标上方实线所续虚线部分,),叠加上,t,=,t,1,时的负突加长期荷载,(-,F,0,),(,图,9,中坐标下方虚线部分,),。当,t,t,1,时，有,第一阶段（,0,t,t,1,）,与突加长期荷载相同，动力位移反应为,14-5,单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,质点位移反应可分为两个阶段按式（,14-33,）积分求得。,(3),爆炸冲击荷载,变化规律为,第一阶段,（,0,t,t,1,）,14-5,单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,(14-37),第二阶段（,t,t,1,）,当,(,t,1,T,),0.4,时，,最大位移反应在第一阶段出现，,否则就出现在第二阶段出。,从前面几种动力荷载作用下单自由度体系的位移反应可,知，最大位移反应与,与,t,1,T,有关。,最大位移反应可用速度为零（即位移的导数）这个条件下的时间值来计算。,14-5,单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,3,.,当强迫力为一般动力荷载情况,-,有阻尼,有阻尼体系在一般动力荷载,F,(,t,),作用时，其动力位移也可表示为杜哈梅积分。,由于冲量,S,=,mv,0,，,故在初始时刻由冲量,S,引起的振动为,（,9-46,）,单独由初始速度,v,0,(,初始位移为零,),所引起的振动为,14-5,单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,把一般动力荷载,F,的加载过程看作是由无限多个瞬时冲量所组成，对,t,=,到,t =,+d,的时间分段上的微分冲量,d,S,=,F,(,)d,来说，它所引起的动位移为,(,t,),积分后即得开始处于静止状态的单自由度体系有阻尼的受迫振动方程为,(14-47),14-5,单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,如果还有初始位移,y,0,和初始速度,v,0,，,则总位移为,(14-47),(14-48),这就是有阻尼情况下的杜哈梅积分。,14-5,单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动,工程实际中有很多结构是不宜简化为单自由度体系计算的。例如多层房屋、多跨不等高工业厂房以及烟囱等,都必须按多自由度体系来处理。,图示等截面烟囱，将其分为八段，从上到下将每两段的质量集中于其中点，将一个无限自由度的体系简化为四个自由度体系。,14-6,多自由度结构的自由振动,图示简支梁的自重略去不计,体系有,n,个振动自由度，,y,1,、,y,2,、,、,y,i,、,y,n,分别代表这些质点自静平衡位置量起的位移。,1.,振动微分方程的建立（刚度法、柔度法）,刚度法,（,1,）首先加入附加链杆阻止所有质点的位移,则在各质点的惯性力,作用下，各链杆产生和惯性力大小相等、方向相反的反力；,可按照位移法的步骤来处理,14-6,多自由度结构的自由振动,（,2,）其次令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，此时各链杆上所需施加,的力为,F,Ri,(,i,=1,2,n),。,（,3,）不考虑阻尼时，将上述两种情况叠加，各附加链杆上的总反力为零，由此,可列出各质点的动力平衡方程。以质点,m,i,为例：,即：,14-6,多自由度结构的自由振动,(14-46),同理，体系中的每一个质点都可以列出相应的动力平衡方程式，有,写成矩阵形式：,(14-48),简写为：,14-6,多自由度结构的自由振动,Y,和,分别是位移向量和加速度向量：,M,和,K,分别是质量矩阵和刚度矩阵：,14-6,多自由度结构的自由振动,体系中某质点,i,产生位移,y,i,可看成是系统内各质点运动时的惯性力共同引起的。即,柔度法,考虑每一个质点的位移，可得一组运动微分方程式：,F,I1,，,F,I2,，,，,F,I,n,为质点,1,，,2,，,n,的惯性力。,体系的柔度系数,ij,为作用在质点,j,上的单位力引起质点,i,的位移。,14-6,多自由度结构的自由振动,写成矩阵形式：,称为体系的柔度矩阵,I,单位矩阵。,或,(14-51),所以，由刚度法建立的,公式（,14-48,）与公式（,14-51,）,是完全相通的。,因为：,14-6,多自由度结构的自由振动,设公式,（,14-51,）,的特解为：,2.,按柔度法求解,(14-51),即所有质点按同一频率同一相位作同步简谐振动，但各质点的振幅值各不相同,(14-53),(14-54),有,(,f,),柔度法的振幅方程,14-6,多自由度结构的自由振动,柔度法的频率方程,振幅向量,A,存在非零解的条件为,(14-56),(14-55),根据频率方程可得到,n,个自振频率 ，将它们由小到大排列，分别称为第一，第二，,，第,n,频率，并总称为结构自振的,频谱,。,注意,:,体系自振频率的个数和它的自由度数目相同。,14-6,多自由度结构的自由振动,此时各质点按同一频率 作同步简谐振动，但各质点的位移相互间的比值,并不随时间而变化，也就是说在任何时刻结构的振动都保持同一形状，整个结构就像一个单自由度结构一样在振动。这种多自由度结构按任一自振频率,进行的简谐振动称为,主振动,，与其相应的特定振动形式称为,主振型,(,振型,),将 代回式,(14-53),，得到：,(14-59),将,n,个自振频率中的任一个 代入式,(,f,),，得到特解为,(14-57),14-6,多自由度结构的自由振动,n,个主振动的线性组合，构成振动微分方程的一般解：,(14-60),和 取决于初始条件。然而自振频率和振型与外因干扰无关，只取决于结构的质量分布和柔度系数，因而反映着结构本身固有的动力特性。,由于此时系数行列式为零，因此,n,个方程中只有（,n-1,）个是独立的，因而不能求得 的确定值，但可确定各质点振幅间的相对比值，便确定了振型。,振型向量,规准化振型向量,14-6,多自由度结构的自由振动,对于两个自由度结构，振幅方程（,14-53,）为：,令 ，将上式展开得：,频率方程为：,(14-61),14-6,多自由度结构的自由振动,两个自振频率为：,(14-62),两个主振型为：,(14-63),(14-64),14-6,多自由度结构的自由振动,例,14-3,图示简支梁在跨度的三分之一处有两个大小相等的集中质,量,m,，,试分析其自由振动。设梁的自重略去不计，,EI,常数。,解,: (1),计算柔度系数,ij,14-6,多自由度结构的自由振动,求得,将,ij,和,m,值代人上式,(2),求频率：,14-6,多自由度结构的自由振动,将,i,和,ij,值代上入 式,得第一主振型为,第二主振型为,(3),分析振型,14-6,多自由度结构的自由振动,可以看出，如果结构本身和质量分布都是对称的，则其振型不是正对称的便是反对称的。,第一主振型,第二主振型,14-6,多自由度结构的自由振动,例,14-4,图示刚架，在梁跨中,D,处和柱顶,A,处有大小相等的集中质量,m,，,支座,C,处为弹性支承，弹簧的刚性系数,k,=(3,EI,)/,l,3,。,试求,自振频率和振型。,1.,求柔度系数,解：体系有两自由度，,A,处质点的水平位移和,D,处质的竖向位移,。,绘制,M,1,、,M,2,图,由图乘及弹簧内力虚功计算得,14-6,多自由度结构的自由振动,2.,写出振型方程,（a）,3.,写出频率方程，求频率,展开式为,解得,相应的频率为,14-6,多自由度结构的自由振动,当,=,1,=,27.083,时，设,A,1,(1),=,1,得,第一主,振型,为,第二主振型为,当,=,2,=,2.917,时，设,A,1,(2),=,1,，得,4.,求振型并绘出振型图,由所得结果绘出振型,14-6,多自由度结构的自由振动,3.,按刚度法求解,(14-66),(14-65),振幅方程,频率方程,将得到的,n,个自振频率 代回振幅方程，得：,(14-67),同样可确定,n,个主振型。,对于两个自由度结构，频率方程为：,14-6,多自由度结构的自由振动,展开得：,两个主振型为：,14-6,多自由度结构的自由振动,例,14-5,三层刚架如图所示。设自上到下，各层楼面的质量,(,包括柱子质量,),分别,为,m,1,=180000kg,，,m,2,=270000kg,，,m,3,=270000kg,；,各层的层间侧移刚度,(,即该层柱子上、下两端发生单位相对位移时，该层各柱剪力之和,),分别,为,k,1,=98MN/m,，,k,2,=196MN/m,，,k,3,=245MN/m,。,求刚架的自振频率和振,型。设横梁的刚度,EI,。,解,: (,1),求频率。,体系的自由度数为,3,。,振型方程为,频率方程为,14-6,多自由度结构的自由振动,建立刚度矩阵和质量矩阵,由图,b,可得：,由图,c,可得：,由图,d,可得：,14-6,多自由度结构的自由振动,得刚度矩阵：,质量矩阵为：,14-6,多自由度结构的自由振动,频率方程：,引入符号,则,展开式为,14-6,多自由度结构的自由振动,解方程得：,由,求得三个自振频率为：,14-6,多自由度结构的自由振动,将 代入式,(,K-,2,M,),=,0,，,为求标准,化振型，规定,1,(,j,)=,1,。,2.,求振型：,第三振型,第二振型,第一振型,14-6,多自由度结构的自由振动,(4),与单自由度体系相同，多自由度体系的自振频率和主振型也是体系本身的固有性质。,对于多自由度体系,:,(1),在多自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。,(2),多自由度体系自振频率不止一个，其个数与体系自由度的个数相等。自振频率可由特征方程求出。,(3),每个自振频率有自己相应的主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式。,14-6,多自由度结构的自由振动,对上述两式分别两边同时左乘 和 ，有,对其中任两个不同的主振型向量,X,i,和,X,j,，有,4.,主振型的正交性,n,个自由度结构具有,n,个自振频率及,n,个主振型，每一频率及其相应主振型都满足,(14-67),(b),(a),(d),(c),（,d,）式两边转置，有,(e),（,c,）式,-,（,e,）式，有,14-6,多自由度结构的自由振动,当,(,i,j,),时，有,这说明，对于质量矩阵,M,，不同频率的两个主振型是彼此正交的。,同理可以证明，对于质量矩阵,K,，不同频率的两个主振型彼此也是正交的。,对于标准化的振型向量，也同样具有正交性，即,振型正交性的物理意义,:,体系按某一振型振动时，它的惯性力不会在其它振型上作功。也就是说它的能量不会转移到其它振型上去，说明各个主振型都能够单独出现，彼此线形无关。,主振型的正交性是结构本身的固有特性，它不仅可以用来简化结构的动力计算，而且还可以用来检验所求的主振型是否正确。,14-6,多自由度结构的自由振动,计算结构在动力荷载作用下的位移和内力,即结构的动力反应。本节只研究结构在简谐荷载作用下的动力反应问题。求解的方法只讨论直接法。,若干扰力频率处于共振区以外，则阻尼的影响不大。本节不考虑阻尼。,体系强迫振动要解决的问题,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,振动过程中的任一时刻,t,，,引起体系位移的力有两种：,1.,各质点的惯性力,F,I1,(,t,),、,F,I2,(,t,),、,、,F,I,n,(,t,),2.,干扰力,F,1,sin,t,、,F,2,sin,t,、,、,F,k,sin,t,一、 柔度法建立振动微分方程式,体系中任一质点,m,i,的位移,y,i,为,：,y,i,P,为所有干扰力在质点,m,i,处引起的位移。,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,动力荷载达到最大值时在质点,m,i,处所引起的静力位移。,注意到,F,(,t,),=,m,i,i,，,有,对于,n,个自由度体系，可以建立,n,个这样的方程。,写成矩阵形式为：,M,+,y,=,P,sin,t,(14-73),(14-72),P,=,1P,2P,n,P,T,为动荷载幅值引起的静力位移列向量。,为结构的柔度矩阵。,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,是一个非齐次线性微分方程组。它的一般解由两部分组成：一部分是对应齐次微分方程的解；另一部分则是某一特解。齐次解对应于自由振动部分，这部分将很快衰减掉。在研究强迫振动问题时，着重讨论式,(14-79),的特解,即稳定强迫振动的解。,M,+,y,=,P,sin,t,(14-73),设方程的特解为：,y,=,A,sin,t,(14-74),A,=,A,1,A,2,A,n,T,A,为强迫振动位移幅值列向量：,A,1,、,A,2,、,A,n,.,将,y,连同,=,A,2,sin,t,代入式,(14-73),，化简后得,(14-76),解方程组可求出各质点在纯强迫振动中的振幅：,由式,(14-74),可得各质点的振动方程。,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,令,F,I,0,=,2,MA,F,I,=,M =,2,MA,sin,t,=,F,I,0,sin,t,F,I,i,0,= ,2,m,i,A,i,(,i=,1,2, ,n,),y,=,A,sin,t,F,I,0,称为惯性力幅值列向量。,写成展开形式为：,由上式可以看出：,位移、惯性力和干扰力均按同一频率作同步简谐振动，且同时达到幅值。,各质点的惯性力为：,F,I,=,M= ,2,MA,sin,t,(14-77),式中,F,I,=,F,I1,F,I2,F,I,n,T,为惯性力列向量。,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,在计算最大动位移和最大动内力时，可先求得惯性力的幅值,F,I,i,0,，,然后再把,F,I,i,0,和干扰力幅值,F,i,同时作用于结构上，按静力分析方法即可求得最大动位移和最大动内力。,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,二、刚度法建立振动微分方程,当干扰力均作用在质点处时，由,n,个自由度的刚度法基本体系，得出其动力平衡方程如下：,(14-80),写成矩阵形式为：,M,+KY= F,(,t,),(14-81),14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,F,(,t,)=,F,sin,t,式中,F,=,F,1,F,2,F,n,T,为荷载幅值列向量。,若各干扰力为同步简谐荷载，即：,在平稳阶段各质点亦均按频率荷载,作同步简谐振动。,设：,Y,=,Y,0,sin,t,(14-82),将,Y,和,=-,2,A,sin,t,代人式,(14-80),并消去公因子,sin,t,得,(,K,2,M,),Y,0,=F,(14-83),则,Y,0,= (,K,2,M,),-1,F,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,由,A,便可求得各质点的惯性力幅值：,F,I,0,=,2,MA,或,F,I,i,0,=,2,m,i,A,i,(,i=,1,2, ,n,),其展开形式为：,(14-92),14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,注意,:,当有简谐集中荷载未作用于质量上时，可假设该处的质量为零后再套用公式,(14-87),或公式,(14-88);,当有简谐分布荷载作用时，则需先化为作用于质量上处的等效动力荷载，或者是采用柔度法计算。,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,解,设以,F,I1,0,、,F,I2,0,分别代表质点,m,1,、,m,2,的惯性力幅值，其典型方程如下：,例,14-6,试求图示体系的最大动位移和动内力图。已知,，,m,1,=,m,2,=,m,EI,=,常数,。,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,柔度系数和自由项可利用图乘法求得,将上述数值代人典型方程,(a),，,化简后得,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,解得：,F,I1,0,=,0.2936,F,，,F,I2,0,=,0.2689,F,将,F,I1,0,、,F,I2,0,和,F,共同作用在结构上，,然后按静力计算方法求得最大动位移。,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,最大动位移图,最大动内力图,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,算得截面,l,处动荷载幅值所产生的静力值分别为：,相应的动力系数为：,由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数，这是与前述单自由度体系不相同的。,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,例,14-7,求示结构质点的振幅和绘制最大动力弯矩图。已知,m,1,=,m,2,=,m,，,F=,ql,，,各杆,EI,=,常数。,解,用柔度法求解。绘出,M,1,、,M,2,图,计算柔度系数和自由项,.,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,绘,M,P,自由项计算如下,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,将求得的柔度系数,、,自由项以及,带入惯性力幅值方程,（,14-85,）,得,以 乘上式经整理后得,解得体系的最大惯性力为：,F,I1,0,=,2.63,ql,，,F,I2,0,=,1.62,ql,负值表明惯性力的方向与 图中的单位力的方向相反。,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,最大动力弯矩图按,求得，当简谐荷载向右和向下时，对应的弯矩图为实线所示；当简谐荷载向左和向上时，对应的弯矩图为虚线所示。,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,解 干扰力频率为,求得各刚度系数为：,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,刚度矩阵为,质量矩阵为,干扰力幅值列向量为,F,=5,0,T,kN,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,由,第一层,楼面,处振幅,A,1,=,0.206,mm,第二层,楼面,处振幅,A,2,=,0.202mm,惯性力幅值,F,I1,0,=,2,m,A,=,15.71,2,100(,0.20610,4,),=,5.08kN,F,I2,0,= ,2,m,2,A,2,=,15.71,2,120(,0.20210,4,),=,5.98kN,有,14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,将干扰力幅值和惯性力幅值作用在结构上,由位移法求得各杆端最大动弯矩并作弯矩图。,M,图,(,kN,m,),14-7,多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动,多自由度结构无阻尼强迫振动微分方程为,（,14-81,）,对于只有集中质量的结构，质量矩阵,M,是对角矩阵，但刚度矩阵,K,一般不是对角矩阵，因此振动微分方程的各方程为耦联的。当荷载,F(t,),为任意动力荷载时，求解微分联立方程组是很困难的。,为此，可利用主振型的正交性通过坐标变换的途径，把位移,Y,分解为各主振型的叠加，使联立方程组变为相互独立的方程，简化计算。即振型分解法。,位移向量,称为,几何坐标,将结构已规准化的,n,个主振型向量,作基底,把几何坐标,Y,表示为基底的线性组合，即,（,14-86,）,展开为：,（,14-87,）,可简写为：,（,14-88,）,14-8,振型分解法,这就把几何坐标,Y,变换成数目相同的,正则坐标,称,为主振型矩阵，,为几何坐标和正则坐标之间的转换矩阵,将式,(14-88),代入式,(14-81),，并左乘,有,（,14-90,）,利用主振型的正交性，易证明,14-8,振型分解法,同理，有,其中，,相应于第,i,个主振型的,广义质量,，,广义质量矩阵,广义刚度矩阵,其中，,相应于第,i,个主振型的,广义刚度,，,由前节可知，,令,j,=,i,，,将广义质量和广义刚度表达式代入，有,或,这就是自振频率与广义刚度和广义质量之间的关系,14-8,振型分解法,记,（,14-97,）,则,（,14-98,）,广义荷载向量,（,14-99,）,其中，,相应于第,i,个主振型的,广义荷载,（,14-101,）,将广义质量矩阵、广义刚度矩阵、广义荷载向量代入式,(14-90),，有,即方程组已解除耦联，式,(14-90),成为,n,个独立方程。,14-8,振型分解法,或,因为,所以,（,14-102,）,这与单自由度结构的强迫振动方程略去阻尼后的形式相同，故可按同样方法求解。,（,14-103,）,在初位移和初速度为零的情况下，可用杜哈梅积分求得式,(14-102),的解为：,这样，就把,n,个自由度结构的计算简化为,n,个单自由度计算问题。在分别求得了各正则坐标,i,可得到几何坐标,y,i,14-8,振型分解法,振型分解法的计算步骤：,（,1,）求自振频率
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