高等结构动力学课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,结构动力学,结构动力学,1,第1章 绪论,第1章 绪论,2,振动引起的结构破坏Tacoma桥,振动引起的结构破坏Tacoma桥,3,1.1,基本概念,1、结构动力学,固体力学,静力学,动力学,刚体,变形体,结构力学,材料力学,弹性力学,理论力学,刚体,变形体,刚体动力学,结构动力学,弹性动力学,1.1 基本概念1、结构动力学固体力学静力学动力学刚体变形体,4,2、动力自由度,自由度,静力自由度,动力自由度,刚体,变形体,约束,质量,例1：分布质量简支梁无限自由度,一阶振型,二阶振型,三阶振型,2、动力自由度自由度静力自由度动力自由度刚体变形体约束质量例,5,四阶振型,五阶振型,例2：集中质量简支梁有限自由度,1、单自由度系统,2、二自由度系统,一阶振型,四阶振型五阶振型例2：集中质量简支梁有限自由度1、单自由,6,一阶振型,二阶振型,3、三自由度,二阶振型,三阶振型,一阶振型,一阶振型 二阶振型3、三自由度二阶振型三阶振型一阶振型,7,3、结构动力学的两类问题,（1） 正问题,荷载,结构,响应,（2） 反问题（动力学反演）,响应,结构,荷载,已知,已知,+,荷载,结构,已知,已知,+,已知或未知,+,1.2 研究对象,1、结构弹性恢复力,f,k,(,x,),2、外力时变特性,f,p,(,t,),3、结构动力学的两类问题（1） 正问题荷载结构响应（2） 反,8,1.3,研究内容,1、结构动力特性固有频率、振型、阻尼,2、结构响应位移、速度、加速度,1.4,研究方法,1、时域法解析法、逐步积分法,线性、非线性问题,2、频域法谱分析法,线性问题,3、概率法统计方法,线性、非线性问题,1.3 研究内容1、结构动力特性固有频率、振型、阻尼2、,9,第2章 单自由度系统,第2章 单自由度系统,10,图2.2 电视塔,图2.1 水塔,图2.3 导管架平台,图,2.4,单层厂房,图2.2 电视塔图2.1 水塔图2.3 导管架平台图2,11,2.1,无阻尼系统模型,图2.1 典型的单自由度无阻尼系统动力学模型,m,k,x,m,k,x,m,k,x,m,mg,2.1.1 系统力学模型弹簧质量系统,1,、系统组成,惯性元件,（质量,m,）运动物体,弹性元件,（刚度,k,）提供恢复力,2.1 无阻尼系统模型图2.1 典型的单自由度无阻尼系统动,12,2,、系统特点,惯性元件为质点,弹性元件为无质量弹簧,不计次要自由度,2.1.2,系统数学模型二阶常系数线性微分方程,m,k,x,f,(,t,),mg,m,k,x,f,(,t,),2.1.3,系统动力特性,设：,齐次方程,2、系统特点惯性元件为质点弹性元件为无质量弹簧不计次要,13,代入得：,解得：,系统固有频率,系统固有周期,2.1.4,固有频率计算,1、直接法,代入得：解得：系统固有频率系统固有周期2.1.4 固,14,m,l,(1),简支梁固有频率计算,(2),悬臂梁固有频率计算,弯曲变形,ml(1)简支梁固有频率计算(2)悬臂梁固有频率计算弯曲变,15,剪切变形,(3),摆,m,mg,l,小变形时,则：,剪切变形(3)摆 m mgl小变形时则：,16,mg,a,m,k,1,k,2,m,(5),组合问题,弹簧串联,(4),倒摆,mg a mk1k2m(5)组合问题弹簧,17,m,l,弹簧并联,2、,能量法（瑞雷法）,k,1,k,2,l,2,l,1,l,m,2,m,1,ml弹簧并联2、能量法（瑞雷法）k1k2l2l1lm2m,18,即：,设：,代入得：,等效刚度,等效质量,即：设：代入得：等效刚度等效质量,19,2.2,有阻尼系统模型,2.2.1,系统力学模型,m,k,c,图2.6 典型的单自由度有阻尼系统动力学模型,m,k,x,c,x,2.2.2 系统数学模型,f,(,t,),m,k,c,x,2.2 有阻尼系统模型2.2.1 系统力学模型mkc图2.6,20,2.2.3 系统动力特性,设：,代入得：,1、过阻尼系统,2、临界阻尼系统,临界阻尼系数,2.2.3 系统动力特性设：代入得：1、过阻尼系统2、临界阻,21,3、小阻尼系统,其中：,阻尼比,有阻尼频率,代入得：,有阻尼周期,3、小阻尼系统其中：阻尼比有阻尼频率代入得：有阻,22,系统方程的标准形式,2.3,自由振动问题,1、运动方程,初速度,初位移,2、初始条件,t,=0,2.3.1 无阻尼系统自由振动,3、解的形式,系统方程的标准形式2.3 自由振动问题1、运动方程初速度,23,4、振幅,C,和初相位,振幅,初相位,无阻尼自由振动位移函数,4、振幅C和初相位振幅初相位无阻尼自由振动位移函,24,t,x,x,0,图2.7,无阻尼系统自由振动位移曲线,t,图2.8,无阻尼系统自由振动速度曲线,图2.9,无阻尼系统自由振动加速度曲线,t,txx0图2.7 无阻尼系统自由振动位移曲线t图2.8 无阻,25,2.3.2 有阻尼系统自由振动,1、运动方程,初速度,初位移,2、初始条件,t,=0,3、解的形式,4、振幅,C,和初相位,振幅,初相位,2.3.2 有阻尼系统自由振动1、运动方程初速度初,26,有阻尼自由振动位移函数,t,x,图2.10,有阻尼系统自由振动位移曲线,5、阻尼比,有阻尼自由振动位移函数tx图2.10 有阻尼系统自由振动,27,对数衰减率,2.4 简谐荷载的强迫振动,2.4.1 无阻尼系统,1、运动方程,对数衰减率2.4 简谐荷载的强迫振动2.4.1 无阻尼,28,设：,2、解的形式,解得：,系统静位移,频率比,其中：,动力放大系数,定义：,设：2、解的形式解得：系统静位移频率比其中：动力,29,图2.11 幅频特性,曲线,图2.11 幅频特性曲线,30,则：,代入边界条件得：,2.4.2 有阻尼系统,1、运动方程,2、解的形式,则：代入边界条件得：2.4.2 有阻尼系统1、运动方程2、,31,设：,设：,32,其中：,其中：,代入边界条件得：,解得：,代入解函数得：,其中：其中：代入边界条件得：解得：代入解函数得：,33,动力放大系数,3、幅频特性,由：,得：,动力放大系数3、幅频特性由：得：,34,阻尼比计算,共振点阻尼比计算,带宽法（半功率）阻尼比计算,阻尼比计算共振点阻尼比计算带宽法（半功率）阻尼比计算,35,4、相频特性,图,2.12,相频特性曲线,4、相频特性图2.12 相频特性曲线,36,例,：利用激振器测量单层厂房的动力特性，采用简谐扰力激振，,两次测量的结果为：,解：,求系统的等效质量、等效刚度、固有频率、粘滞阻尼系数,和阻尼比。,例：利用激振器测量单层厂房的动力特性，采用简谐扰力激振，解：,37,代入,得：,代入得：,38,则：,阻尼系数,由：,得：,5、基础运动问题,m,k,c,x,(1),质量块的绝对运动,则：阻尼系数由：得：5、基础运动问题mkcx(1) 质量,39,设：,代入得：,设：代入得：,40,T,r,(2),质量块的相对运动,设：,Tr(2) 质量块的相对运动设：,41,设：,代入得：,或：,代入得：,设：代入得：或：代入得：,42,传递系数,由此可得：,传递系数由此可得：,43,例,：汽车沿图2-12所示路面行驶。速度,v,=20m/s，路面凹凸幅,值为3cm。假设路面不平度按照正弦规律变化，并且路面,正弦变化的波长,l,=12m，汽车质量为2000kg，汽车的弹簧,刚度为39200N/m，阻尼比为0.4。计算汽车在此路面上,行驶时，底盘垂向振动幅值。,解：,例：汽车沿图2-12所示路面行驶。速度v=20m/s，路面凹,44,2.5 周期荷载的强迫振动,2.5.1 任意周期荷载的傅里叶级数表达式,2.5 周期荷载的强迫振动2.5.1 任意周期荷载的傅里叶,45,(,n,=1,2,),(,n,=1,2,),2.5.2 无阻尼系统响应,设：,则：,其中：,(n=1,2,)(n=1,2,)2.5.2 无阻尼系统,46,而：,2.5.3 有阻尼系统响应,其中：,设：,而：2.5.3 有阻尼系统响应其中：设：,47,高等结构动力学课件,48,例,：设单自由度系统受锯齿波荷载（如图）作用，系统的固有,周期与荷载的周期比为2:1，阻尼比为0.05，分别计算无阻,尼和有阻尼时的稳态振动响应。,解：,图示荷载函数可表示为：,n,=,0,n,=1,2,例：设单自由度系统受锯齿波荷载（如图）作用，系统的固有解：图,49,n,=1,2,无阻尼响应,有阻尼响应,2.6 任意荷载的强迫振动,2.6.1 系统对冲击荷载的响应,1、强迫振动阶段,(0,t,t,1,),n=1,2,无阻尼响应有阻尼响应2.6 任意荷载的强迫振动,50,2、自由振动阶段,(,t,1,t,),荷载频率低于结构固有频率（,1）,2、自由振动阶段(t1t)荷载频率低于结构固有频率（1）,荷载频率高于结构固有频率（1）,52,2.6.2 系统对任意荷载的响应,F,(,t,),t,1、无阻尼系统,由动量定理得：,由,得：,2.6.2 系统对任意荷载的响应F(t)t1、无阻尼系,53,例,：单自由度系统受三角形冲击荷载,F,(,t,)=,F,0,(1-,t,/,t,1,)作用，,t,1,为荷载持续时间。求最大位移和放大系数。,解,：当,t,t,1,时，由杜哈梅积分得：,(,t,t,1,),(,t,t,1,),杜哈梅积分,例：单自由度系统受三角形冲击荷载F(t)=F0(1-t/t1,54,当,t,t,1,时,当t t1时,55,2、有阻尼系统,2.6.3 杜哈梅积分的数值解法,1、无阻尼系统,2、有阻尼系统2.6.3 杜哈梅积分的数值解法1、无阻尼系,56,其中：,2、有阻尼系统,其中：2、有阻尼系统,57,2.6.4 逐步积分法,1、增量方程,系统增量方程,其中：,两式相减得：,其中：,2.6.4 逐步积分法1、增量方程系统增量方程其中：两,58,2、Wilson-,法,将加速度在,t,i,点展开,式中：,积分上式,令：,2、Wilson-法将加速度在ti点展开式中：积分上式令：,59,上式可写成：,式中：,上式可写成：式中：,60,或,则：,3、Newmark,法,线性加速度法,或则：3、Newmark法线性加速度法,61,平均加速度法,无条件稳定,本章小结,1、系统数学模型,(1)无阻尼系统,或,其中：,(2)有阻尼系统,平均加速度法无条件稳定本章小结1、系统数学模型(1),62,或,2、系统动力特性,(1)系统特征方程,设：,代入得：,特征方程,特征值,(2)系统特征值,由系统特征方程解得,或2、系统动力特性(1)系统特征方程设：代入得：特征方程,63,m,质量,，,系统惯性性质,k,刚度，系统恢复力性质,c,阻尼，系统耗能性质,(1),物理参数,固有频率,3、系统动力学参数,(2),模态参数,或,固有周期,阻尼比,有阻尼频率,m质量，系统惯性性质k刚度，系统恢复力性质c阻尼,64,4、系统动力响应,(1),自由振动初始扰动,无阻尼系统,其中：,初相位,振幅,有阻尼系统,初相位,振幅,其中：,4、系统动力响应(1)自由振动初始扰动无阻尼系统其中：,65,对数衰减率,(2),简谐荷载强迫振动,无阻尼系统,式中：,有阻尼系统,式中：,相位差,对数衰减率(2)简谐荷载强迫振动无阻尼系统式中：有阻尼系统式,66,基础运动,隔振问题,基础位移,其中：,传递系数,相位差,相对基础运动,惯性传感器,基础位移,其中：,传递系数,基础运动隔振问题基础位移其中：传递系数相位差,67,相位差,(3)周期荷载强迫振动,其中：,(,n,=1,2,),(,n,=1,2,),无阻尼系统,相位差(3)周期荷载强迫振动其中：(n=1,2,)(n,68,有阻尼系统,(4),任意荷载强迫振动,冲击荷载,强迫振动,自由振动,其中：,振幅,相位角,脉冲荷载,有阻尼系统(4)任意荷载强迫振动冲击荷载强迫振动自由,69,自由振动,任意荷载,杜哈梅积分,逐步积分法,自由振动任意荷载杜哈梅积分逐步积分法,70,第3章 串联多自由度系统,第3章 串联多自由度系统,71,3.1 系统模型,3.1.1 力学模型,k,1,k,2,k,3,m,1,m,2,m,3,m,1,m,2,m,3,k,2,c,2,k,3,c,3,k,1,c,1,x,1,x,2,x,3,f,1,(,t,),f,2,(,t,),f,3,(,t,),3.1 系统模型3.1.1 力学模型k1k2k3m1m2,72,3.1.2 数学模型,3.1.2 数学模型,73,其中：,其中：,74,3.2 特征值问题,3.2.1 系统特征方程,设：,有非零解的条件：,或,特征方程,3.2 特征值问题3.2.1 系统特征方程设：有非零解的,75,1、特征方程的根：,3.2.2 系统特征对,2、特征向量（振型）：,3、系统特征对：,3.2.3 特征对的性质,1、特征根的性质,1、特征方程的根：3.2.2 系统特征对2、特征向量（振型,76,2、特征向量的性质,证明：,3、规格化特征向量,2、特征向量的性质证明：3、规格化特征向量,77,3.2.4 特征值的计算,1、迭代法,最高阶特征值计算,设：,例,：,迭代矩阵,3.2.4 特征值的计算1、迭代法最高阶特征值计算设：例：,78,设：,设：,79,高等结构动力学课件,80,证明：,证明：,81,其中：,一阶特征值计算,其中：,其中：一阶特征值计算其中：,82,例,：,例：,83,证明：,证明：,84,其中：,2、逐阶滤频法Gram Schmidt法,计算二阶特征值,其中：2、逐阶滤频法Gram Schmidt法计算二阶特,85,例：,一次滤频,例：一次滤频,86,二次滤频,计算三阶特征值,二次滤频计算三阶特征值,87,其中：,3、Jacobi（雅可比）法,条件：,K,和,M,是实对称矩阵，且,K,是正定的,令：,其中：3、Jacobi（雅可比）法条件：K和M是实对称矩阵，,88,则：,其中：,正交矩阵,对角阵,m,n,n,m,则：其中：正交矩阵对角阵mnnm,89,例：,设：,例：设：,90,高等结构动力学课件,91,3.3 方程的解耦,3.3.1 广义坐标,设：,其中：,3.3 方程的解耦3.3.1 广义坐标设：其中：,92,3.3.2 广义坐标方程,其中：,模态质量矩阵,第,i,阶模态质量,模态刚度矩阵,第,i,阶模态刚度,3.3.2 广义坐标方程其中：模态质量矩阵第i阶模态,93,模态阻尼矩阵,第,i,阶模态阻尼系数,模态力向量,则系统解耦方程为：,或,模态阻尼矩阵第i阶模态阻尼系数模态力向量则系统解,94,固有频率,模态阻尼,模态力,3.4 阻尼问题,3.4.1 瑞雷阻尼,固有频率模态阻尼模态力3.4 阻尼问题3.4.,95,3.4.2 常阻尼模型,稳态运动条件下：,3.4.2 常阻尼模型稳态运动条件下：,96,3.5 强迫振动,3.5.1 广义坐标解,其中：,3.5 强迫振动3.5.1 广义坐标解其中：,97,3.5.2 时程分析法,3.5.2 时程分析法,98,Wilson-,法,Wilson-法,99,或,Newmark-,法,线性加速度法,平均加速度法,或Newmark-法线性加速度法平均加速度法,100,高等结构动力学课件,101,3.6 耦合振动的应用振动控制问题,3.6.1 主、从系统的动力特性,1、系统固有频率,设：,3.6 耦合振动的应用振动控制问题3.6.1 主、从,102,其中：,质量比,频率错开系数,2、系统耦合特性,质量比的影响,频率错开系数的影响,主从系统强烈耦合,主从系统不耦合,其中：质量比频率错开系数2、系统耦合特性质量比的影响,103,3.6.2 主、从系统的减振问题,3.6.2 主、从系统的减振问题,104,高等结构动力学课件,105,本章小结：,1、运动方程,2、系统动力特性,(1),物理参数,质量矩阵,刚度矩阵,本章小结：1、运动方程2、系统动力特性(1)物理参数质量,106,阻尼矩阵,(1)特征值问题,特征方程,固有频率与振型,第,i,阶固有频率,第,i,阶振型,阻尼矩阵(1)特征值问题特征方程固有频率与振型第i阶,107,标准化振型,其中：,3、系统阻尼问题,(1),瑞雷阻尼,标准化振型其中：3、系统阻尼问题(1)瑞雷阻尼,108,其中：,(2),常阻尼模型,4、广义坐标方程,模态质量矩阵,模态刚度矩阵,其中：,其中：(2)常阻尼模型4、广义坐标方程模态质量矩阵模,109,第,i,阶模态质量,第,i,阶模态刚度,模态阻尼矩阵,式中：,第,i,阶模态阻尼,5、强迫振动问题,广义坐标解解析解,第i阶模态质量第i阶模态刚度模态阻尼矩阵式中：,110,时程分析法数值解,Wilson-,法,其中：,时程分析法数值解Wilson-法其中：,111,Newmark-,法,Newmark-法,112,其中：,其中：,113,m,1,m,2,k,x,1,x,2,例1：,写出图示系统以相对坐标表示的运动方程，并求系统固有频率。,令：,或：,m1 m2 kx1x2例1：写出图示系统以相对,114,其中：,例2：,求图示二层框架的固有频率和振型。,其中：例2：求图示二层框架的固有频率和振型。,115,高等结构动力学课件,116,例3：,求例2二层框架的强迫振动。,已知：,设：,代入得：,解得：,例3：求例2二层框架的强迫振动。设：代入得：解得：,117,稳态响应为：,例4：,求图示结构的固有频率和振型。,解：,稳态响应为：例4：求图示结构的固有频率和振型。解：,118,设：,设：,119,解得：,解得：,120,高等结构动力学课件,121,第4章分布参数系统,第4章分布参数系统,122,4.1 直杆的轴向振动,4.1.1 运动方程,4.1 直杆的轴向振动4.1.1 运动方程,123,4.1.2 等截面均质直杆,其中：,4.1.3 方程的解,令：,4.1.2 等截面均质直杆其中：4.1.3 方程的解令：,124,4.1.4 频率与振型,1、边界条件（两端自由杆）,4.1.4 频率与振型1、边界条件（两端自由杆）,125,2、固有频率,由：,2、固有频率由：,126,得：,3、振型函数,得：3、振型函数,127,4、初始条件,例,：一等截面均质直杆两端自由，初始时，两端的压缩变形量为。,求杆的运动状态。,4、初始条件例：一等截面均质直杆两端自由，初始时，两端的压缩,128,讨论：,讨论：,129,4.1.5 任意直杆振型的正交性,代入：,证明：,4.1.5 任意直杆振型的正交性代入：证明：,130,得：,由边界条件,固定边界,自由边界,得：,上式右端项分部积分得,得：由边界条件固定边界自由边界得：上式右端项分部积分得,131,因此,同理：,两式相减得：,代入：,得：,因此同理：两式相减得：代入：得：,132,4.2 圆截面直杆的扭转振动,4.2 圆截面直杆的扭转振动,133,其中：,设：,则：,式中：,其中：设：则：式中：,134,4.3 高腹梁的剪切振动,则：,4.3 高腹梁的剪切振动则：,135,代入上式得：,等截面均质梁,其中：,设：,则：,式中：,代入上式得：等截面均质梁其中：设：则：式中：,136,4.4 梁的弯曲振动,4.4.1 纯弯曲振动,1、运动方程,式中：,4.4 梁的弯曲振动4.4.1 纯弯曲振动1、运动方程式,137,代入上式得：,均质等截面梁,2、动力特性,设：,代入上式得：,代入上式得：均质等截面梁2、动力特性设：代入上式得：,138,分离变量,得：,其中：,设：,代入得：,解得：,分离变量得：其中：设：代入得：解得：,139,则：,由Eular公式：,可得：,简支梁固有频率与振型,则：由Eular公式：可得：简支梁固有频率与振型,140,频率方程：,则：,简支梁纯弯曲固有频率：,简支梁纯弯曲振型：,简支梁纯弯曲自由振动,频率方程：则：简支梁纯弯曲固有频率：简支梁纯弯曲振型：简支梁,141,设：,则：,悬臂梁固有频率与振型,设：则：悬臂梁固有频率与振型,142,得频率方程：,解得前三阶频率：,得频率方程：解得前三阶频率：,143,振型函数：,由边界条件：,得：,代入得：,其中：,3、克雷洛夫函数,振型函数：由边界条件：得：代入得：其中：3、克雷洛夫函数,144,高等结构动力学课件,145,固端梁固有频率与振型,固端梁固有频率与振型,146,解得前三阶频率：,由边界条件：,得：,代入得：,解得前三阶频率：由边界条件：得：代入得：,147,其中：,4、标准振型的正交性,设：,由虚功原理有：,代入得：,将,其中：4、标准振型的正交性设：由虚功原理有：代入得：将,148,整理得：,5、纯弯曲梁的强迫振动,设：,代入得：,标准振型满足：,整理得：5、纯弯曲梁的强迫振动设：代入得：标准振型满足：,149,代入得：,上式两端乘 ，并积分,整理得：,其中：,引入阻尼：,或,代入得：上式两端乘 ，并积分整理得：其中：,150,例1：,求图示简支梁的强迫振动。,P,y,l,x,1,x,解：已知简支梁振型函数,振型力：,振型质量：,例1：求图示简支梁的强迫振动。 P ylx1x解：已知简,151,例2：,求图示固端梁在简谐荷载作用下的强迫振动。,y,x,l=,240,例2：求图示固端梁在简谐荷载作用下的强迫振动。 yxl=,152,令：,令：,153,4.4.2 考虑轴向力的弯曲振动,M+dM,Q+dQ,N,N,M,Q,dy,dx,P,(,x,t,),f,I,1、运动方程,4.4.2 考虑轴向力的弯曲振动M+dMQ+dQNNMQd,154,2、动力特性,设：,2、动力特性设：,155,其中：,设：,其中：设：,156,其中：,例4：,求轴向压力作用下的简支梁的固有频率和振型。,代入：,其中：例4：求轴向压力作用下的简支梁的固有频率和振型。代入：,157,由,得：,代入,由得：代入,158,得：,将,代入得：,振型函数：,位移函数：,得：将代入得：振型函数：位移函数：,159,4.4.3 Timoshenko梁的弯曲振动,1、运动方程,由,dx,平衡条件,得：,4.4.3 Timoshenko梁的弯曲振动1、运动方程由,160,式中：,将,代入得：,再将变形协调关系,代入得：,式中：将代入得：再将变形协调关系代入得：,161,将,代入,求导得：,由,解出,代入,将代入求导得：由解出代入,162,得：,整理得：,将,代入得：,得：整理得：将代入得：,163,2、动力特性,设：,设：,2、动力特性设：设：,164,4.4.4 连续体系的离散化,令：,1、动刚度矩阵,代入：,得：,4.4.4 连续体系的离散化令：1、动刚度矩阵代入：得：,165,或,或,或或,166,式中：,式中：,167,2、传递矩阵,场矩阵,解得：,2、传递矩阵场矩阵解得：,168,其中：,其中：,169,点矩阵,设：,则：,因此：,点矩阵设：则：因此：,170,其中：,例：,求两端自由梁的频率和振型,其中：例：求两端自由梁的频率和振型,171,边界条件：,频率方程：,边界条件：频率方程：,172,例：,求一端固定一端简支梁的频率和振型,边界条件：,例：求一端固定一端简支梁的频率和振型边界条件：,173,频率方程：,频率方程：,174,例：,求串联多自由度系统的传递矩阵,由弹簧平衡条件得：,写成矩阵形式：,例：求串联多自由度系统的传递矩阵由弹簧平衡条件得：写成矩阵形,175,令：,场矩阵,由质点动平衡条件得：,设：,写成矩阵形式：,则：,令：场矩阵由质点动平衡条件得：设：写成矩阵形式：则：,176,令：,点矩阵,传递矩阵：,其中：,传递矩阵：,单自由度系统的固有频率：,边界条件：,代入得：,令：点矩阵传递矩阵：其中：传递矩阵：单自由度系统的固,177,展开第二式得：,4.5 薄板的弯曲振动,t,O,a,b,x,y,z,4.5.1 薄板弯曲运动方程,展开第二式得：4.5 薄板的弯曲振动tOa bx y,178,1、应力应变分量,薄板弯曲假定,直法线假定,x,z,z,dx,O,不计挤压应力,刚性中面假定,y,x,xy,yx,yz,zy,x,y,z,应力、应变分量,1、应力应变分量薄板弯曲假定直法线假定xzzdxO不计挤压,179,2、弯曲运动方程,应变与位移关系,（几何方程）,同理：,由：,得：,2、弯曲运动方程应变与位移关系（几何方程）同理：由：得：,180,积分得：,由刚性中面假定,得：,则：,积分得：由刚性中面假定得：则：,181,应力与位移关系（物理方程）,内力与位移关系,应力与位移关系（物理方程）内力与位移关系,182,其中：,平衡条件,x,y,z,O,其中：平衡条件xyzO,183,高等结构动力学课件,184,略去高阶小量得：,同理可得：,代入：,得：,将,略去高阶小量得：同理可得：代入：得：将,185,代入,得：,或,其中：,4.5.2 简支板固有频率和振型,1、边界条件,代入得：或其中：4.5.2 简支板固有频率和振型1、边界条,186,由,得：,由,得：,2、固有频率,设：,代入方程得：,由得：由得：2、固有频率设：代入方程得：,187,解出,本章小结,1、杆的轴向振动,其中：,解出本章小结1、杆的轴向振动其中：,188,分离变量：,频率方程,振型方程,振型函数：,两端自由杆：,频率方程：,得：,分离变量：频率方程振型方程振型函数：两端自由杆：频率,189,频率：,振型：,2、梁的弯曲振动,横向动力平衡,截面弯矩平衡,纯弯曲,振型方程：,频率：振型：2、梁的弯曲振动横向动力平衡截面弯矩平衡,190,振型函数：,横向动力平衡,截面弯矩平衡,轴力影响,振型方程：,振型函数：,其中：,振型函数：横向动力平衡截面弯矩平衡轴力影响振型方程,191,横向动力平衡,Timshenko,梁的横向振动,截面弯矩平衡,由：,得：,横向动力平衡Timshenko梁的横向振动截面弯矩,192,应力-位移关系(物理方程),3、薄板的弯曲振动,应变-位移关系(几何方程),应力-位移关系(物理方程)3、薄板的弯曲振动应变-位移关,193,内力-位移关系,平衡方程,运动微分方程,或,内力-位移关系平衡方程运动微分方程或,194,第5章 离散多自由度系统,第5章 离散多自由度系统,195,高等结构动力学课件,196,高等结构动力学课件,197,5.1 系统自由度,5.1.1 结点自由度,1、平面桁架,系统自由度,节点位移向量,2、空间桁架,系统自由度,节点位移向量,5.1 系统自由度5.1.1 结点自由度1、平面桁架系统,198,3、平面刚架,系统自由度,节点位移向量,2、空间刚架,系统自由度,节点位移向量,3、平面刚架系统自由度节点位移向量2、空间刚架系统自由,199,5.2 桁架结构动力分析,5.2.1 杆的刚度、质量特性,1、型函数,由：,积分得：,代入杆端参数得：,代入,l,y,5.2 桁架结构动力分析5.2.1 杆的刚度、质量特性1、,200,得：,其中：,型函数,将,代入得,又,代入得,得：其中：型函数将代入得又代入得,201,2、刚度矩阵,由位移法方程,令：,则：,由虚位移原理：,设：,由,得：,2、刚度矩阵由位移法方程令：则：由虚位移原理：设：由得：,202,代入得：,同理可得：,代入位移法方程,写成矩阵形式,代入得：同理可得：代入位移法方程写成矩阵形式,203,或,其中：,杆单元刚度矩阵,3、质量矩阵,集中质量矩阵,惯性力方程,或其中：杆单元刚度矩阵3、质量矩阵集中质量矩阵惯性力方,204,令：,则：,令：,由虚位移原理：,则：,令：,由虚位移原理：,令：则：令：由虚位移原理：则：令：由虚位移原理：,205,则：,同理：,展开得：,或,其中：,集中质量矩阵,则：同理：展开得：或其中：集中质量矩阵,206,一致质量矩阵,令：,令：,由虚位移原理：,同理：,一致质量矩阵令：令：由虚位移原理：同理：,207,其矩阵形式,或,一致质量矩阵,其中：,其矩阵形式或一致质量矩阵其中：,208,5.2.2 平面桁架的动力分析,1、桁架结构的受力特点,2、坐标变换,矩阵形式,5.2.2 平面桁架的动力分析1、桁架结构的受力特点2、坐,209,或,其中：,则：,或,单元局部坐标方程：,其中：,3、整体坐标方程,或其中：则：或单元局部坐标方程：其中：3、整体坐标方程,210,单元整体坐标方程：,将,代入,得：,左乘变换矩阵得：,其中：,系统运动方程：,单元整体坐标方程：将代入得：左乘变换矩阵得：其中：系统运,211,其中：,代入单元整体坐标方程得：,整理得：,其中：,其中：代入单元整体坐标方程得：整理得：其中：,212,例：,求图示平面桁架的固有频率和振型,1,3,2,1,3,2,例：求图示平面桁架的固有频率和振型132132,213,坐标变换,坐标变换,214,高等结构动力学课件,215,高等结构动力学课件,216,高等结构动力学课件,217,高等结构动力学课件,218,由约束条件得：,设：,代入并求和,设：,由约束条件得：设：代入并求和设：,219,3,1,3,2,3,2,1,1,1,3,2,3,2,1,2,3,1,2,3,5.2.3 空间桁架的动力分析,1、单元矩阵,(1)刚度矩阵,31323211132321231235.2.3 空间桁架,220,(2)质量矩阵,(3)坐标变换矩阵,(2)质量矩阵(3)坐标变换矩阵,221,高等结构动力学课件,222,5.3 框架结构动力分析,5.3.1 梁单元动力特性,1、型函数,由,积分得：,或,5.3 框架结构动力分析5.3.1 梁单元动力特性1、型函,223,令：,则：,代入得：,整理得：,整理得：,同理：,令：则：代入得：整理得：整理得：同理：,224,2、刚度矩阵,由位移法方程,其中：,令：,则：,2、刚度矩阵由位移法方程其中：令：则：,225,由虚位移原理,令：,则：,代入得：,将,由虚位移原理令：则：代入得：将,226,写成矩阵的形式,2、质量矩阵,(1)集中质量矩阵,写成矩阵的形式2、质量矩阵(1)集中质量矩阵,227,(2)一致质量矩阵,其中：,或,令：,则：,(2)一致质量矩阵其中：或令：则：,228,令：,由虚位移原理,将,代入得：,令：由虚位移原理将代入得：,229,3、等效结点荷载,设梁上作用分布荷载,p,(,x,t,)，等效结点荷载表示为：,令：,由虚位移原理,则：,将,代入得：,3、等效结点荷载设梁上作用分布荷载p(x,t)，等效结点荷载,230,均布荷载：,4、几何刚度,均布荷载：4、几何刚度,231,高等结构动力学课件,232,5.3.2 平面框架动力分析,1、框架单元的结点位移和结点力,2、框架单元的刚度矩阵,(1)拉压刚度矩阵,5.3.2 平面框架动力分析1、框架单元的结点位移和结点力,233,(2)弯曲刚度矩阵,(3)框架单元刚度矩阵,3、框架单元的质量矩阵,(1)集中质量矩阵,杆单元质量矩阵,(2)弯曲刚度矩阵(3)框架单元刚度矩阵3、框架单元的质量矩,234,梁单元质量矩阵,框架单元质量矩阵,梁单元质量矩阵框架单元质量矩阵,235,(2)一致质量矩阵,杆单元质量矩阵,梁单元质量矩阵,框架单元质量矩阵,(2)一致质量矩阵杆单元质量矩阵梁单元质量矩阵框架单元质量矩,236,4、坐标变换,(1)线位移变换矩阵,(2)角位移变换矩阵,(3)框架单元变换矩阵,4、坐标变换(1)线位移变换矩阵(2)角位移变换矩阵(3)框,237,例：,用一致质量矩阵计算图示框架的前三阶固有,频率和阵型。,1,2,解：,求系统刚度矩阵和质量矩阵,例：用一致质量矩阵计算图示框架的前三阶固有 1 2解：求系统,238,高等结构动力学课件,239,高等结构动力学课件,240,代入频率方程,解得：,代入方程,求得：,代入频率方程解得：代入方程求得：,241,5.3.3 空间框架动力分析,1、框架单元的结点位移和结点力,2、,框架单元的刚度矩阵,3、,框架单元的一致质量矩阵,4、坐标变换,5.3.3 空间框架动力分析1、框架单元的结点位移和结点力,242,其中：,令：,其中：令：,243,高等结构动力学课件,244,d,= 0,的情况,d = 0的情况,245,5.4 自由度凝聚,5.4.1 静力凝聚法,1、刚度矩阵凝聚,5.4 自由度凝聚5.4.1 静力凝聚法1、刚度矩阵凝聚,246,由,得：,代入,得：,由得：代入得：,247,2、变换矩阵的计算,例：,2、变换矩阵的计算例：,248,3、质量矩阵凝聚,例：,解：,凝聚自由度1,3、质量矩阵凝聚例：解：凝聚自由度1,249,矩阵分块,矩阵分块,250,解出：,例：,解出：例：,251,凝聚自由度1和3,凝聚自由度1和3,252,由,得：,由得：,253,高等结构动力学课件,254,5.4.2 动力凝聚法,1、凝聚矩阵,设：,其中：,5.4.2 动力凝聚法1、凝聚矩阵设：其中：,255,2、质量矩阵和刚度矩阵凝聚,3、解特征值问题,由,解出：,例：,解：,求凝聚矩阵和动力矩阵,2、质量矩阵和刚度矩阵凝聚3、解特征值问题由解出：例：解：求,256,高等结构动力学课件,257,由,得：,代回,得：,由得：代回得：,258,由,得：,将,由得：将,259,代入,得：,消元得：,代入得：消元得：,260,由,得：,代回,由得：代回,261,得：,消元得：,得：消元得：,262,由,得：,由得：,263,5.4.3 改进的动力凝聚法,5.4.3 改进的动力凝聚法,264,由,得：,将,代入,求得：,由得：将代入求得：,265,由,得：,5.4.4 里兹法(能量法),或,设：,由得：5.4.4 里兹法(能量法)或设：,266,则：,令：,其中：,代入得：,其中：,则：令：其中：代入得：其中：,267,由能量驻值原理,得：,5.4.5 子空间迭代法,令：,其中：,由能量驻值原理得：5.4.5 子空间迭代法令：其中：,268,其中：,迭代格式,其中：迭代格式,269,5.4.6 模态综合法,1、固定界面法,5.4.6 模态综合法1、固定界面法,270,高等结构动力学课件,271,高等结构动力学课件,272,例：,例：,273,高等结构动力学课件,274,高等结构动力学课件,275,高等结构动力学课件,276,模态综合法,直接计算,2、自由界面法,模态综合法直接计算2、自由界面法,277,其中：,其中：,278,例：,例：,279,由,得：,解出：,由得：解出：,280,高等结构动力学课件,281,第6章 非线性振动,第6章 非线性振动,282,6.1,工程中的非线性振动问题,6.1.1 非线性系统,1、系统方程,m,mg,2、单摆,3、系泊系统,6.1 工程中的非线性振动问题6.1.1 非线性系统1、系统,283,4、船舶横摇,横浪恢复力,迎浪恢复力,6.1.2 非线性振动的特点,1、系统频率,与振幅有关、强迫振动频率不等于扰力频率,2、系统响应,与初始条件有关,6.1.3 非线性振动的解法,1、定性方法,几何法、解析法,2、定量方法,数值方法,4、船舶横摇横浪恢复力迎浪恢复力6.1.2 非线性振动的特点,284,6.2,非线性方程的无量纲化,6.2.1 弱非线性项,6.2.2 无量纲化,初始条件：,系统物理常数,设：,引入无量纲因变量和自变量,线性系统固有周期,6.2 非线性方程的无量纲化6.2.1 弱非线性项6.2.2,285,例：,解：,初始条件,取无量纲时间和长度变量,取无量纲时间和长度变量,例：解：初始条件取无量纲时间和长度变量取无量纲时间和长度变量,286,其中：,6.3 周期解及小参数法,6.3.1 自治系统的泊松小参数法(正规摄动法),设：,则：,其中：6.3 周期解及小参数法6.3.1 自治系统的泊松小,287,展开：,代入方程得：,例：,解：,设：,展开：代入方程得：例：解：设：,288,代入方程得：,由第一式解得：,代入第二式得：,解得：,永年项：,代入方程得：由第一式解得：代入第二式得：解得：永年项：,289,6.3.2 L-P法（Lindstedt-Poincare ）,设：,代入,展开：,6.3.2 L-P法（Lindstedt-Poincare,290,例：,解：,由第一式解得：,代入第二式得：,例：解：由第一式解得：代入第二式得：,291,令：,则：,解出：,近似解：,6.3.3 非自治系统的小参数法,令：则：解出：近似解：6.3.3 非自治系统的小参数法,292,其中：,派生系统,派生解,1、非共振情况,设：,代入得,派生解为：,其中：派生系统派生解1、非共振情况设：代入得派生解为,293,2、共振情况,方法一：,则：,设：,代入得,派生解：,方法二：,且：,2、共振情况方法一：则：设：代入得派生解：方法二：且：,294,设：,且：,例：,求Duffing方程主共振情况的近似周期解,解：,引入,令：,则：,设：,代入得：,设：且：例：求Duffing方程主共振情况的近似周期解解：引,295,解出：,代入第二式得：,由,解出：代入第二式得：由,296,令：,解的第一次近似：,频率响应曲线,令：解的第一次近似：频率响应曲线,297,6.4 单自由度系统的平均法,6.4.1 自治系统的平均法,或,1、振幅,a,和相位,为变量的微分方程,当 时,其中：,6.4 单自由度系统的平均法6.4.1 自治系统的平均法,298,当 时,设：,由,得：,比较两式得：,由,当 时设：由得：比较两式得：由,299,得：,代入,得：,联立求解,得：,得：代入得：联立求解得：,300,2、近似解,一次近似解,例：,求解Duffing方程,2、近似解一次近似解例：求解Duffing方程,301,初始条件：,解：,将,代入,得：,近似解：,初始条件：解：将代入得：近似解：,302,6.4.2 等效线性化方法,由平均法的近似解,令：,则：,6.4.2 等效线性化方法由平均法的近似解令：则：,303,由,得：,由得：,304,6.5 单自由度系统的参数振动,6.5.1 参数振动的实例,Mathieu,设：,代入方程得：,6.5 单自由度系统的参数振动6.5.1 参数振动的实例,305,其中：,设：,则：,其中：设：则：,306,高等结构动力学课件,307,高等结构动力学课件,308,第3章 串联多自由度系统,m,n,n,m,第3章 串联多自由度系统mnnm,309,