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一元微积分学 高 等 数 学（文文）一元微积分的应用一元微积分的应用一元微积分的应用一元微积分的应用(一一一一)函数的单调性、极值函数的单调性、极值函数的单调性、极值函数的单调性、极值一、函数的单调性观察下面的图形,你能得出什么结论？综上所述,可知:在讨论函数的单调性时，一般先求出函数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点,然后按这些点将所讨论的区间分成小区间,在每个小区间内函数只有一种单调性,利用导数符号判断函数是单调增加还是单调减少.提供了判断函数单调性的方法例1解 列表可使问题明朗化利用函数处理数列例2证例3证明:当 时,证明:设辅助函数原不等式变为证明等号仅在离散点处成立,不影响函数的严格单调性二、函二、函 数数 的的 极极 值值函数的极值是个局部性的概念.我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式:费马定理 可微函数取极值的必要条件函数的单调性判别定理和方法首先考察下列函数的图形首先考察下列函数的图形:定理 费 马Pierre de Fermat(16011665)费马，法国数学家.出身于一个商人家庭.他的祖父、父亲、叔父都从商.他的父亲是当地的第二执政官,经办着一个生意兴隆的皮革商店.费马毕业于法国奥尔良大学，以律师为职.曾任图卢兹议会会员,享有长袍贵族特权.精通 6 种语言.业余爱好数学并在数论、几何、概率论、微积分等领域内作出了创造性的工作.费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡”.极值可疑点判别函数的极值点,主要是判别极值可疑点左、右对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号.两侧函数的单调性.(单调增加)(单调减少)(单调减少)(单调增加)定理列表讨论单调性,判别极值:例5解极小极小极大自己总结求极值的步骤此时应另找其他方法此时应另找其他方法.什么方法？第一判别法？定理例6解怎么办？例7解在工程技术和生产实践中,常常需要考虑在一定条件下,怎样才能使用料最少、费用最省,而效率和效益最高等问题.这些问题反映到数学上就是最优化问题.优化技术应用价值很大三、函三、函 数数 的的 最大、最小值最大、最小值 怎样求函数在一个区间上 的最大、最小值呢？回忆以前学过的知识：取到它的最大值和最小值.取得其最大值和最小值,则这些最值一定是函数的极值.的最大值和最小值可能在区间的端点也可能在区间内部取得.温故而知新温故而知新求一个连续函数在上的最大值和最小值,只要先求出函数一切极值可疑点(驻点和一阶导数不存在的点),然后比较极值可疑点的函数值及区间端点函数值,其中最大者就是函数最小者就是函数求最值的几个特殊情况求最值的几个特殊情况极大(小)值点,则该点就是函数的最大(小)值点.实际判断原则实际判断原则计算函数值:(端点值)例8解 没有什么新的东西用薄铁片冲制圆柱形无盖容器,要求它的容积一定,问应如何选择它的半径和高度才能使用料最省?设容积(体积)为 V,半径为 r,高为 h.用料最省即指容器的表面积 A 最小.应用题例8解又 A 的最小值一定存在,故当要求的容器的容积为 A 时,选择半径 如果不放心,可用二阶导数进行判断.某出版社出版一种书,印刷 x 册所需成本为每册售价 p 与假设书可全部售出,问应将价格 p 定为多少才能使出版社获利最大？例9由经验公式,得于是得唯一极值可疑点解即为 Q 的最大点.从而应将价格 p 定为此时最大获利为极小例11证证例10
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