微分方程的基本概念课件

,30,/,31,安徽财经大学,Anhui University of Finance& Economics,1959,微积分,十,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,5.1,微分方程的基本概念,Basic concept of differential equations,三、微分方程的解,一、问题的提出,二、微分方程的定义,微,积,分,电,子,教,案,5.1 微分方程的基本概念Basic concept of,引例,一曲线通过点,(1,2),且在该曲线上的任一点,M,(,x,y,),处的切线的斜率为,2,x,求该曲线的方程。,解,：,设所求曲线方程为：,y,=,f,(,x,),两边对,x,求积分,：,即,y,=,x,2,+,C,将,x,=1,y,=2,代入，得,：,2=1+C,即,C,=1,故所求曲线为,：,y,=,x,2,+1,一、问题的提出,由题意得：,引例 一曲线通过点(1,2), 且在该曲线上的任一点M(x,定义,1,含有未知函数的导数,(,或微分,),的方程。,2.1,、,微分方程,二、微分方程的定义,定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。2.1、微分方,定义,1,含有未知函数的导数,(,或微分,),的方程。,如：,2.1,、,微分方程,二、微分方程的定义,未知函数是多元函数，即,含有偏导数的微分方程，,称为,偏微分方程,未知函数是一元函数的微分方程,常微分方程,定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。如：2.1、微,定义,2,微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为,微分方程的阶,。,二阶微分方程,n,阶微分方程的一般形式为：,F,(,x,，,y,，,y,，,y,，,，,y,(,n,),)=0,一阶微分方程,二、微分方程的定义,2.2,、微分方程的阶,定义2 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为微分,二、微分方程的定义,2.3,、微分方程的分类,分类,1,:,常微分方程,偏微分方程,.,一阶微分方程,高阶,(,n,),微分方程,分类,2:,分类,3,:,线性,(,未知函数及其导数都是一次,),非线性微分方程,分类,4,:,单个微分方程,与微分方程组,.,二、微分方程的定义2.3、微分方程的分类分类1: 常微分方程,定义,3,若将某函数及其导数代入微分方程,可使方程成为恒等式,则称此函数为微分方程的解,三、微分方程的解,3.1,、微分方程的解,定义3 若将某函数及其导数代入微分方程, 可使方程成为恒,三、微分方程的解,例,1,验证下列函数都是微分方程,y,2,y,+,y,=0,的解,.,解,:,代入原方程,是原方程的解,.,代入原方程：,是原方程的解,.,三、微分方程的解例1 验证下列函数都是微分方程 y2y,三、微分方程的解,例,1,验证下列函数都是微分方程,y,2,y,+,y,=0,的解,.,解,:,代入原方程：,是原方程的解,.,解的线性组合也是解,y,=0,也是解。,均为解，有何区别？,三、微分方程的解例1 验证下列函数都是微分方程 y 2y,通解：,微分方程的解中含有,任意常数,，这些常数相互独立,(,即不能合并了,),，且,个数与微分方程的阶数相同,，这样的解称为微分方程的通解。,3.2,、通解与特解,三、微分方程的解,特解：,确定了通解中任意常数的解。,例,1,中：,通解,特解,既非通解，也非特解，是个解。,奇解（但不是特解，不研究）,通解：通用的解，含有任意常数；特解：特殊的解，不含有任意常数, 通解： 微分方程的解中含有任意常数，这些常数相,通解：,微分方程的解中含有,任意常数,，这些常数相互独立,(,即不能合并了,),，且,个数与微分方程的阶数相同,，这样的解称为微分方程的通解。,3.2,、通解与特解,三、微分方程的解,特解：,确定了通解中任意常数的解。,特解可以从通解中通过,某个条件,求出常数得到特解,称为定解条件，也称为初始条件,一般地，,n,阶微分方程就有,n,个定解条件, 通解： 微分方程的解中含有任意常数，这些常数相,三、微分方程的解,求特解步骤：先求通解，代入初始条件，确定通解中任意常数的值，可得特解。,微分方程,微分方程的通解,定解条件,如引例,求解得：,微分方程的特解,三、微分方程的解求特解步骤：先求通解，代入初始条件，确定通解,三、微分方程的解,解的图像,:,微分方程的积分曲线,.,通解的图像,:,积分曲线族,.,3.3,、微分方程解的几何意义,过定点的积分曲线,;,一阶,:,二阶,:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,.,初值问题,:,求微分方程满足初始条件的特解的问题,.,三、微分方程的解解的图像: 微分方程的积分曲线.通解的图,解,例,3,验证,:,函数 是微分,方程 的解,.,并求满足初始条件,的特解,.,三、微分方程的解,解例3 验证:函数,所求特解为,练习：,为微分方程的,特,解,.,三、微分方程的解,函数 是微分方程 的解吗？如是解，请问是什么解,?,所求特解为练习：为微分方程的特解.三、微分方程的解函数,5.2,一阶微分方程,Basic concept of differential equations,三、齐次方程,一、一阶微分方程的形式,四、一阶线性微分方程,微,积,分,电,子,教,案,二、可分离变量的微分方程,5.2 一阶微分方程Basic concept of di,一般形式:,F,(,x,y,y,) =0,正规型:,微分型:,f,(,x,y,)d,x,+,g,(,x,y,)d,y,=0,正规型,可化为,如：,下面只讨论一阶微分方程中最常见的几种类型及解法,包括：,可分离变量的微分方程,、,齐次微分方程,、,线性齐次微分方程,、,线性非齐次微分方程,。,一、一阶微分方程的形式,y,=,f,(,x,y,),一般形式: F(x, y, y ) =0正规型:,形式：,即,变量,x,的函数和微分,与,变量,y,的函数和微分,已分离在等式两边（或已分离开来）.,解法：,直接积分。,例1,、,求通解,：,解：,两边积分,故原方程的通解为：,2.1、已分离变量的微分方程,二、可分离变量的微分方程,形式：即变量x的函数和微分与变量y的函数和微分已分离在等式,例2,求通解,：,解,：两边积分得：,二、可分离变量的微分方程,故原方程的通解为：,结论1:,通解既可用显函数表示,也可用隐函数表示.,例2 求通解：解：两边积分得：二、可分离变量的微分方程故,形式：,二、可分离变量的微分方程,2.2、,可分离变量的微分方程,解法：,先分离变量，再两边积分即可。,或,形式：二、可分离变量的微分方程2.2、可分离变量的微分方程,例3,解微分方程,解:,先分离变量，,二、可分离变量的微分方程,再两边积分,故原方程的通解为,例3 解微分方程解:先分离变量，二、可分离变量的微分方程再,二、可分离变量的微分方程,若积分后出现对数,则可将任意常数写成,ln,C,的形式,以利化简.,说明:,在解微分方程时,对形如,积分,可直接得,ln,x,ln,y,不必加绝对值；,dx,x,1,dy,y,1,例3,解题过程可简化为：,先分离变量：,再两边积分,二、可分离变量的微分方程若积分后出现对数,则可将任意常数写,解：,二、可分离变量的微分方程,例4,求方程,满足初始条件,y,(1)=2,的特解.,分离变量,积分得：,故通解为,:,将,x,=1,y,=2,代入通解,故所求特解为,：,得：,C,=10,解：二、可分离变量的微分方程例4 求方程满足初始条件y(1),例5,已知某商品的需求量,Q,对价格,p,的弹性为,e,p,=,-,0.02,p,且该商品最大需求量为,240,求需求函数,Q,=,Q,(,p,).,解,: 依题意,得:,二、可分离变量的微分方程,整理得：,积分得:,将,p,=0,Q,=240,代入, 得:,C,=240,故求需求函数为：,例5 已知某商品的需求量Q对价格p的弹性为ep=-0.02p,例6,设,f,(,x,),在,(-，+),连续,且满足:,求,f,(,x,).,注：,积分方程求导后化为微分方程;,注意隐条件.,二、可分离变量的微分方程,+,=,x,dt,t,f,x,x,f,0,),(,2,),(,解,：原方程对,x,求导：,即：,分离变量得：,两端积分得：,由原方程可知：,f,(0)=0,代入通解,C,=2,故,例6 设f (x)在(-，+)连续,且满足:求f(x),解：,f,(,tx,ty,)=50(,tx,)(,ty,),2,=50,t,3,xy,2,=,t,3,f,(,x,y,),故是,齐次函数,且是,3,次,齐次函数,;,故是,齐次函数,且是,0,次,齐次函数,.,三、齐次方程,复习,:,证明函数,f,(,x,y,)=50,xy,2,;,都是齐次函数,并说明是几次齐次函数,.,y,x,y,x,y,x,f,+,-,=,),(,),(,),(,y,x,f,y,x,y,x,ty,tx,ty,tx,ty,tx,f,=,+,-,=,+,-,=,3.1,、齐次方程的引入,解：f(tx,ty)=50(tx)(ty)2=50t3x,3.2,、齐次方程及其解法,解法：,化标准形式；,变量替换 ；,分离变量；,求通解；,回代。,标准形式：,常见形式：,如,三、齐次方程,化为标准形式,定义,:,微分方程,中,若,为,0,次齐次函数,则称该方程为,齐次微分方程,简称为,齐次方程,.,3.2、齐次方程及其解法解法：化标准形式；变量替换,关于,y,的微分方程,代入原方程,得：,关于,u,的微分方程,分离变量,得：,积分、整理得,通解,：,回代,得：,是的解。,三、齐次方程,关于y的微分方程代入原方程, 得：关于u的微分方程分,解：,分离变量得：,三、齐次方程,例,1.,求微分方程,的通解,.,代入原方程,得：,两边积分得：,故原方程的通解为：,解：分离变量得：三、齐次方程例1. 求微分方程,例,2,.,求,的通解,.,分离变量得：,三、齐次方程,解：,原方程为：,代入原方程,得：,积分得,:,即通解为：,例2. 求,感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，,如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！,感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，,31,