资源描述
单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、函数项级数的一致收敛性,幂级数在收敛区间上的性质类似于有限项函数求和,但一般函,数项级数则不一定有这么好的特点.,例如,级数,每项在 0,1 上都连续,其前,n,项之和为,和函数,该和函数在,x,1,间断,.,的性质,一、函数项级数的一致收敛性幂级数在收敛区间上的性质类似于有限,因为对任意,x,都有,:,所以它的收敛域为,(,) ,但逐项求导后的级数,其一般项不趋于0,所以对任意,x,都发散,.,又如,函数项级数,问题,:,对什么样的函数项级数才有,:,逐项连续,和函数连续;,逐项求导 = 和函数求导;,逐项积分 = 和函数积分,因为对任意 x 都有: 所以它的收敛域为(, ) ,函数序列的一致收敛,回忆,定义,函数序列的一致收敛回忆定义,证明：,反之，,定理,证明：反之，定理,例,.,证明：,例.证明：,例,.,解：,一致收敛,故在,(0,1),上不一致收敛,.,例.解：一致收敛故在(0,1)上不一致收敛.,定义,.,设,S,(,x,),为,若对,都有一个只依赖于,的自然数,N,使,当,n,N,时,对区间,I,上的一切,x,都有,则称该级数在区间,I,上一致收敛于和函数,S,(,x,) .,在区间,I,上的和函数,任意给定的, 0,显然,在区间,I,上,一致收敛于和函数,S,(,x,),部分和序列,一致收敛于,S,(,x,),余项,一致收敛于 0,定义.设 S(x) 为 若对 都有一个只依赖于 的自然数,几何解释,:,(,如图,),当,n,N,时,曲线,总位于曲线,之间.,几何解释 : (如图) 当n N 时,曲线 总位于曲线之,定理,(,柯西收敛原理,),推论,逆否命题,:,例,定理(柯西收敛原理)推论逆否命题:例,例,1.,研究级数,在区间 0, +) 上的收敛性.,解,:,例1.研究级数 在区间 0, +) 上的收敛性.解:,余项的绝对值:,因此,任给, 0,取自然数,则当,n,N,时有,这说明级数在 0, +) 上一致收敛于,余项的绝对值:因此, 任给 0, 取自然数 则当n,例,2.,证明级数,在 0,1 上不一致收敛 .,证,:,取正数,对无论多么大的正数,n,因此级数在 0, 1 上不,一致收敛 .,例2.证明级数 在 0,1 上不一致收敛 . 证: 取正,说明,:,对任意正数,r, 0,欲使,只要,因此取,只要,即级数在, 0,r,上一致收敛,.,说明:对任意正数 r ,N,时,对任意正整数,p,都有,由条件,1),对,x,I,有,故函数项级数,在区间,I,上一致收敛,.,证毕,证:由条件2), 根据柯西审敛原理, 当 n N 时,推论,.,若幂级数,的收敛半径,R, 0 ,则此级,数在,(,R,R,),内任一闭区间,a,b,上一致收敛,.,证,:,则对,a,b,上的一切,x,都有,由Abel定理(第三节定理1) 级数,绝对收敛 ,由Weierstrauss判别法即知推论成立.,说明,:,若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛,区间可包含此端点.,证毕,推论.若幂级数的收敛半径 R 0 ,则此级 数在 (R,例,3.,证明级数,在,(,),上 一致收敛,.,证,:,而级数,收敛,由Weierstrauss判别法知所给级数,在,(,),上 一致收敛,.,例3.证明级数在(, ) 上 一致收敛 .证: 而级,说明,:,Weierstrauss,判别法不仅能判别级数的一致收,敛性,而且能判别其绝对收敛性.,当不易观察到不等式,可利用导数求,例如,级数,用求导法可得,已知,收敛,因此原级数在, 0,),上,一致,收敛,.,说明:Weierstrauss判别法不仅能判别级数的一致收,二、一致收敛级数的基本性质,定理,1.,若级数,证,:,只需证明,由于,二、一致收敛级数的基本性质定理1. 若级数 证:只需证明由于,因为级数,一致收敛于,S,(,x,) ,使当,n,N,时,有,对这样选定的,n,从而必存在, 0 ,从而得,证毕,因为级数一致收敛于S (x) , 使当 n N 时, 有,说明,:,(1) 定理1 表明, 对一致收敛的级数,极限运算与无限,求和运算可交换,即有,(2) 若函数项级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.,例如,级数,在区间 0 , 1 上处处收敛,而其和函数,在,x,= 1,处不连续,.,说明:(1) 定理1 表明, 对一致收敛的级数, 极限运算与,例,.,（,内闭一致收敛）,证明：,例.（内闭一致收敛）证明：,定理,2.,若级数,则该级数在,a,b,上可逐项积分,且上式右端级数在,a,b,上也一致收敛,.,证,:,因为,定理2.若级数 则该级数在 a, b 上可逐项积分, 且,所以只需证明对,任意,一致有,根据级数的一致收敛性,使当,n,N,时,有,于是,当,n,N,时,对,一切,有,因此定理结论正确.,证毕,所以只需证明对任意 一致有 根据级数的一致收敛性, 使当 n,说明,:,若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.,例如,级数,它的部分和,因此级数在 0 , 1 上,收敛于,S,(,x,) = 0 ,所以,但是,对级数定理结论不成立的原因:,说明:若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立. 例如, 级,级数,的余项,可见级数在 0, 1 上不一致收敛 ,此即定理2 结论,对级数不成立的原因.,级数的余项 可见级数在 0, 1 上不一致收敛,定理,3.,若级数,且可逐项求导, 即,证,:,先证可逐项求导.,根据,定理,2,定理3.若级数 且可逐项求导, 即 证: 先证可逐项求导.,上式两边对,x,求导,得,再证,根据,而,定理,2,上式两边对 x 求导, 得 再证根据而定理2,所以,级数一致收敛并不保证可以逐项求导.,例如, 例3中的级数,说明,:,在任意区间上都一致收敛,但求导后的级数,其一般项不趋于 0,所以对任意,x,都发散,.,证毕,所以级数一致收敛并不保证可以逐项求导. 例如, 例3中的级数,例,4.,证明函数,对任意,x,有连续导数,.,解,:,显然所给级数对任意,x,都收敛,且每项都有连续,导数,而逐项求导后的级数,故级数在,(,),上一致收敛,故由定理3可知,再由定理1可知,定理,1,定理,3,例4. 证明函数 对任意 x 有连续导数.解: 显然所给级数,定理,4,.,若幂级数,的收敛半径,则其和函,在收敛域上,连续,且在收敛区间内可,逐项求导,与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同,即,证,:,由,Weierstrauss,判别法的推论及定理,1, 2,可知,和函数连续、级数逐项可积；,级数逐项可导分两步证：,内收敛,.,定理4 . 若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收,则,由比值审敛法知,因此存在,M, 0 ,使得,由比较审敛法可知,从而在,(,R,R,),内任一闭区间,上一致收敛,故原级数,上满足定理3 条件,定理,3,则由比值审敛法知 因此存在 M 0 , 使得 由比较审敛,从而可逐项求导,再由,a,b,的任意性,即知,再证,的收敛半径,R, =,R,.,前面已证,定理,3,逐项积分, 得,证毕,因逐项,积分所得级数的收敛半径不会缩小,综上所述,从而可逐项求导, 再由a, b 的任意性, 即知 再证,幂级数,(,R,R,),内有任意阶导数,且有,其收敛半径都为,R,.,推论,:,的和函数,S,(,x,),在收敛区间,第七节,幂级数 (R, R ) 内有任意阶导数, 且有 其收敛半,设幂级数,的收敛半径为,(Abel,第二定理,),定理,连续性定理,设幂级数的收敛半径为(Abel第二定理)定理连续性定理,当,收敛,当收敛,作业,(6-13),P307 1; 2; 4,(2), (3), (5),作业(6-13),定义,定义,以下部分是阅读材料,不做要求,!,定义定义以下部分是阅读材料,(1),(2),证明：,定理,(Dirichlet,判别法,),(1)(2)证明：定理(Dirichlet判别法),由柯西收敛原理，,证毕,!,由柯西收敛原理，证毕!,例,证明,：,即部分和序列一致有界，,例证明：即部分和序列一致有界，,定理,3.4(Abel,判别法,),类似,Dirichlet,判别法可证，这里从略,.,定理3.4(Abel判别法)类似Dirichlet判别法可证,例,解：,例解：,维尔斯特拉斯,(1815 1897),德国数学家,.,他的主要贡献是在函数,论及分析学方面,.,1854,年,他解决了椭圆,以后还建立了椭圆函,数的新结构,.,他在分析学中建立了实数,理论,引进了极限的, ,定义,定义及性质,还构造了一个处处不可微的连续函数,:,积分的逆转问题,给出了连续函数的严格,为分析学的算术化作出了重要贡献,.,维尔斯特拉斯 (1815 1897)德国数学家. 他的主,
展开阅读全文