数列无穷小

#,第一章 无穷小与极限,1.1,无穷小,数列无穷小,1,函,数无穷小,无穷小性质与无穷大,1.1.1,数列无穷小,1.,数列的定义,数列,是指定义在正整数集上的函数,依按自变量增大的次序,数列的对应值可以排成,2,称为数列的,通项,(,或一般项,),数列简记为,如,简记为,简记为,简记为,简记为,3,2.,数列的几何表示法,数列中可看作数轴上的一个动点,.,表示,n,无限增大的过程,.,3.,数列的变化过程包含两个相关的无限过程：,自变量,n,的主动变化过程,:,不断增大,(,每次加,1 ),可以大于每个固定的正数,.,4,即 与,0,的距离可以,如果,n,可以大于任意给定的正数,那么,就可以小于任意给定的正数,.,我们称 无限接近于,0.,任意小,因变量的被动变化过程,:,数列 的变化趋势可以概述为：,无论给定一个多么小的正数,都可以有,只要 即可,.,数列 是无穷小,.,此时我们称当,n,无限增大时,5,定义,1.1 (,数列无穷小,),如果对于任意给定的正数,都存在正整数,N,使得当 时，,不等式,成立,，,记为,或,则称,数列 是无穷小,.,设 为数列，,6,几何解释,:,只有有限个,(,至多有,N,个,),落在其外,.,定义,:,7,定理,1.1 (,无穷小比较定理,1),证,由定义,故,也是无穷小,.,设 为无穷小,则,也是无穷小,.,使得对于所有正整数,n,如果存在正数,C,8,例,1,证明,:,如果,则 为无穷小,.,证,则 也是确定数,.,因 是无穷小,所以,即,是无穷小,.,(,由幂函数,在 上单调增加,),9,例,2,证明下列数列都是无穷小：,证 因,10,(4),因为,是无穷小,注意到,根据,定理,1.1,及例,1,可知上述四个数列,都是无穷小,.,11,解 因,且,因此,不是,无穷小,.,例,3,设 则数列 不是,无穷小,.,注,:,12,