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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,直 角 三 角 形,本章内容,第,1,章,直角三角形的性质 和判定（,）,本课内容,本节内容,1.1,在前面，我们已经学习了三角形边与边，边与角，角与角之间的一些性质，直角三角形作为一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，它还具有哪些特殊性质呢？,如图1-1，在Rt,ABC,中，,C,=90,，,两锐角的和等于多少呢？,说一说,图,1-1,在Rt,ABC,中，因为,C,=90,，,由三角形内角和定理,，,可得,A,+,B,=90,.,结论,直角三角形的两个锐角互余,.,由此得到：,议一议,议一议,议一议,议一议,议一议,议一议,有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？,如图1-2，在,ABC,中，,A,+,B,=90,， 那么,ABC,是直角三角形吗？,在,ABC,中，因为,A,+,B,+,C,=180,，,又,A,+,B,=90,，,所以,C,=90,. 于是,ABC,是直角三角形,.,图,1-2,结论,有两个角互余的三角形是直角三角形,.,由此得到：,探究,如图1-3，画一个Rt,ABC,， 并作出斜边,AB,上的中线,CD,，比较线段,CD,与线段,AB,之间的数量关系，你能得出什么结论？,图,1-3,我测量后发现,CD = AB,.,线段,CD,比线段,AB,短,.,图,1-3,是否对于任意一个Rt,ABC,，都有,CD =,成立呢？,图,1-4,如图1-3， 如果中线,CD = AB,，则有,DC,A,=,A,.,由此受到启发,，,在图1-4,的Rt,ABC,中，过直角顶点,C,作射线,交,AB,于 ，使 ，,=,A,则,.,图,1-3,A,+,B,=90,，,又,，,故得,点 是斜边上的中点，即 是斜边 的中线,.,从而,CD,与 重合，且,图,1-4,结论,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,.,由此得到：,举,例,例,1,已知：如图,1-5,，,CD,是,ABC,的,AB,边上的中,线，且,.,求证：,ABC,是直角三角形,.,图,1-5,证明：,因为 ，,所以,1=,A,，,(,等边对等角,),2=,B,.,图,1-5,根据三角形内角和性质，有,A,+,B,+,ACB,=180,，,即得,A+,B,+,1+,2=180,，,2,(,A,+,B,),=180,.,所以,A+,B,=90,.,根据直角三角形判定定理，所以,ABC,是直角三角形.,练习,1.在Rt,ABC,中，斜边上的中线,CD,=2.5cm ，则斜边,AB,的长是多少？,解,AB,=2,CD,=22.5=5(cm).,2.,如图，,AB,CD,，,BAC,和,ACD,的平分线相交于,H,点，,E,为,AC,的中点，,EH,=2.,那么,AHC,是直角三角形吗？为什么？若是，求出,AC,的长,.,解,因为,AB,CD,，所以,BAC,+,DCA=,180,.,又 ， ，,所以,所以,AHC,是直角三角形.,在Rt,AHC,中，,EH,为斜边上的中线，,所以有 ，,由,EH,=2易知,AC,=4.,如图,1-,6,，在,Rt,ABC,中，,BCA,=90,，,如果,A,=30,，,那么直角边,BC,与斜边,AB,有什么关系呢,?,动脑筋,图,1-,6,如图,1-6,，取线段,AB,的中点,D,，连接,CD,.,BDC,为等边三角形,.,B,=60,.,图,1-,6,CD,是,Rt,ABC,斜边,AB,上的中线，,BCA,=,90,，,且,A,=30,，,在直角三角形中，如,果一个锐角等于,30,，那,么它所对的直角边等于斜,边的一半,.,如图,1-7,，在,Rt,ABC,中，,BCA,=90,，如果,，那么,A,=30,吗？,动脑筋,图,1-7,如图,1-7,，取线段,AB,的中点,D,，连结,CD,，,即,CD,为,Rt,ABC,斜边上的中线,，,则有,又已知 ，,所以,CD=BD=BC,，即,BDC,为等边三角形,.,所以,B,=60,.,所以,A,=30,.,又,A+,B=,90,，,图,1-7,举,例,如图,1-8,所示，在,A,岛周围,20,海里,(,1,海里,=1852m,),水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到,O,处时，,发现,A,岛在北偏东,60,的方向，且与轮船相距,海里，若该船继续保持航向不变，有触暗礁的,危险吗？,图,1-8,例,2,解,轮船在航行过程中，,如果与,A,岛的距离始终大于,20,海里，,则轮船就不会触暗礁,.,在图,1-8,中，过,A,点作,AD,OB,，垂足为,D,.,北,东,B,D,60,图,1-8,所以轮船不会触礁,.,在,Rt,AOD,中，,海里，,AOD,=30,.,于是,20,（,海里,）,练习,1,.,如图是某商店营业大厅电梯示意图,.,电梯,AB,的倾斜角为,30,，大厅两层之间的距离,BC,为,6,米,.,你能算出电梯,AB,的长度吗？,解：,在,Rt,ABC,中,BC,=6 ,BAC,=30,AB,=2,BC,=26=12,(,m,),.,故电梯,AB,的长度为,12m.,A,B,C,2,.,如图，在,Rt,ABC,中，,ACB,=,90,，,CD,垂直于,AB,，垂足为点,D,， ，求,A,的度数,.,又在,Rt,A,BC,中，,ACB,=90,，,解：,在,Rt,BDC,中，,B,DC,=,9,0,， ，,BCD,=30,.,A,=,9,0,-,60= 30,.,B=,60,.,中考 试题,例,如图所示，在锐角三角形,ABC,中，,CD,，,BE,分别是,AB,，,AC,边上的高，且,CD,，,BE,交于一点P，若,A,=50,，则,BPC,的度数是,（ ）,.,A,.,150,B.130,C.120,D.100,因为,BE,，,CD,是,ABC,的高，,所以,BDP,=90,，,BEA,=90,.,又,A,=50,，,所以,ABE,=90,-,A,=90,-,50,= 40,.,所以,BPC,=,ABE,+,BDP,= 90,+ 40,= 130,.,故应选择,B,.,解,B,结 束,
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