数学分析之数项级数课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,Chapt 12,数项级数,Chapt 12 数项级数,1,级数是数学分析三大组成部分之一，是逼近理论的基础，是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具. 级数理论的主要内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.,级数是数学分析三大组成部分之一，是逼,2,教学目标：,1.熟练掌握级数的收敛性；,2.熟练掌握正项级数收敛的判别；,3.掌握一般项级数收敛的判别.,教学目标：1.熟练掌握级数的收敛性；,3,数学分析之数项级数课件,4,数学分析之数项级数课件,5,则结果是,1,.两个结果的不同向我们提出了两个基本,问题,:,“无限个数相加”是否存在“和”,;,如果存在,“和”等于什么?,由此可见,“无限个数相加”不能,简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新,的理论.,则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题:“无限,6,1. 计算半径为R圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,1. 计算半径为R圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正,7,常数项级数的概念,1 级数的定义,(常数项)无穷级数,部分和数列,级数的部分和,一般项,常数项级数的概念1 级数的定义(常数项)无穷级数部分和数列,8,2 级数的收敛与发散,2 级数的收敛与发散,9,余项,上述定义很自然，和人们的直观认识是一致的它的不足之处是一些很简单的级数，在此意义下却没有和.例如级数,余项上述定义很自然，和人们的直观认识是一致的它的不足之处是,10,数学分析之数项级数课件,11,数学分析之数项级数课件,12,数学分析之数项级数课件,13,无穷级数收敛性举例：1904年，瑞典数学家科赫（Koch）做出一,雪花曲线,.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对,称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此,类推在每条凸边上都做类似的操作，就得到“Koch雪花曲线”,无穷级数收敛性举例：1904年，瑞典数学家科赫（Koch）做,14,观察雪花分形过程,观察雪花分形过程,15,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推,16,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推,17,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推,18,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推,19,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推,20,周长为,面积为,第 次分叉：,周长为面积为第 次分叉：,21,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,“Koch雪花曲线”的性质：,面积有限而周长无限.,于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,22,不要以为雪花曲线仅仅是人脑想出来的一种“病态”曲线，科学家们发现，这类曲线能应用于研究自然界的许多现象，例如地球大陆的海岸线等.这门新兴的数学学科称为,分形,不要以为雪花曲线仅仅是人脑想出来的一种“病态”,23,解,解,24,收敛,发散,级数,发散,级数,发散,综上,收敛 发散 级数发散 级数发散 综上,25,例,2,讨论数项级数,的收敛性.,解,级数,(*),的第,n,个部分和为,由于,因此级数,(*),收敛,且其和为,1.,例2 讨论数项级数的收敛性.解 级数(*)的第n个部分和为,26,解,解,27,数学分析之数项级数课件,28,注,由于级数,(1),的收敛或发散,(,简称敛散性,),是由它,的部分和数列,来确定, 因而也可把级数(1),作为,数列,的另一种表现形式. 反之, 任给一个数列, 如果把它看作某一数项级数的部分和数列, 则,这个数项级数就是,这时数列,与级数 (5),具有相同的敛散性, 且当,收敛时,其极限值就是级数,(5),的和.,注 由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它 的部分,29,数学分析之数项级数课件,30,Cauchy收敛准则是一个普遍的原则,它适用于一切级数,而不考虑某些级数的特殊规律.正因为如此,用它去判别某些具体级数的敛散性并不方便.因此,我们必须针对某些级数的特殊规律,给出相应的判别法.,Cauchy收敛准则是一个普遍的原则,它适用于一,31,例4,运用级数收敛的柯西准则证明级数,收敛.,证,由于,例4 运用级数收敛的柯西准则证明级数 收敛.证 由于,32,因此,当,mN,及任意正,整数,p,由上式可得,收敛.,注,级数,的收敛性已由例2,的证明过程所,显示.,因此,当mN及任意正 整数 p,由上式可得 收敛. 注,33,三、收敛级数的基本性质,结论,级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,结论,收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,三、收敛级数的基本性质结论 级数的每一项同乘一个不为零的常,34,定理12.2,则对任意常,数,c,d,，,亦收敛，且,根据级数收敛的柯西准则, 级数,的收敛与否与,级数前面有限项的取值无关.从而可得到以下定理.,定理,12.3,去掉、增加或改变级数的有限项并不改变,级数的敛散性.,定理12.2 则对任意常 数c, d，亦收敛，且根据级数收敛,35,证,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,证 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数,36,注,去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级,数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的.,由定理,12.3,知,其和为,S,则级数,第,n,个余项(简称余项),它表示以部分和,S,n,代替,S,时所产生的误差.,注 去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级数的敛散性，但在,37,定理,12.4,在收敛级数的项中任意加括号,既不改变,级数的收敛性,也不改变它的和.,证,设,括号后的级数,收敛, 且其和也是,定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变 级数,38,注,从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号,于是, 若,为收敛级数,的部分和数列, 则级数,时也收敛.,例如,收敛, 但级数,却是发散的.,注 从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号 于是, 若,39,性质4 （级数收敛的,必要,条件）,证,级数收敛,性质4 （级数收敛的必要条件）证级数收敛,40,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,2.必要但不充分.,该级数发散.,注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;2.必要但不充,41,讨论,这是不可能的,讨论这是不可能的,42,8项,4项,2项,2项,项,由性质4推论,调和级数发散.,同时还可以做以下证明：,8项4项2项2项 项由性质4推论,调和级数发散.同时,43,例5,判断级数,的敛散性.,解,因为,所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.,例5 判断级数 的敛散性. 解 因为 所以由级数收敛的必,44,四、小结,常数项级数、 收敛、发散的基本概念,3.,级数收敛的判别方法,2,. 收敛级数的性质,四、小结常数项级数、 收敛、发散的基本概念3. 级数收敛的,45,练习题,练习题答案,练习题练习题答案,46,作业,习题 1、4、5、7,作业,47,2,正项级数,收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.,2 正项级数 收敛性是级数研究中最基本的问题, 本,48,一、正项级数收敛性的一般判别原则,若数项级数各项的符号都相同,则称它为同号级数.,对于同号级数,只须研究各项都是由正数组成的级,数,(,称正项级数,),.若级数的各项都是负数,则它乘以,-,1,后就得到一个正项级数,它们具有相同的敛散性.,定理12.5,收敛的充要条件是,:部分和,有界, 即存在某正数,M,对一切正整数,n,有,一、正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同,49,证,所以,S,n,是递增数列.而,单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界,定理).这就证明了定理的结论.,仅靠定义和定理,12.5,来判断正项级数的收敛性是不,容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收,敛性判别法则.,证 所以Sn是递增数列.而 单调数列收敛的充要条件是该,50,定理12.6,(比较原则),级数,如果存在某正数,N,对一切,n N,都有,则,证,因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛,散性,因此不妨设不等式,(1),对一切正整数都成立.,定理12.6 (比较原则) 级数, 如果存在某正数N, 对一,51,由(1),式可得,对一切正整数,n,都有,则由(2)式对一切,n,有, 即正项级数,的部分和数列,有,界, 由定理12.5,级数,收敛, 这就证明了(i).,(ii),为,(i),的逆否命题,自然成立.,由(1)式可得,对一切正整数 n, 都有 则由(2)式对,52,例1,解,因为正项级数,收敛 , 故由,比较原则和定理12.3, 级数,也收敛.,例1 解 因为正项级数 收敛 , 故由 比较原则和定理1,53,例2,若级数,证,因为, 而级数,收敛，,根据比较原则, 得到级数,收敛.,在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便.,推论,(比较原则的极限形式),设,是两个,正项级数,若,则,例2 若级数证 因为 , 而级数 收敛， 根据比较原则,54,证,(i),由,(3),存在某正数,N,当,n N,时,恒有,或,证 (i) 由(3) 存在某正数N, 当 n N时,恒有,55,由比较原则及(4),式得,时, 级数,与,同时收敛或同时发散. 这就证得了(i),.,(ii),当,l,= 0,时,由,(4),式右半部分及比较原则可得,若,级数,收敛, 则级数,也收敛.,则对于正数1,存在相应的正,数,N,当,n N,时,都有,于是由比较原则知道, 若级数,发散, 则级数,也发散.,由比较原则及(4)式得,时, 级数 与同时收敛或同时发散.,56,例3,级数,是收敛的, 因为,以及等比级数,收敛, 根据比较原则的极限形,例3 级数 是收敛的, 因为以及等比级数 收敛, 根,57,例4,正项级数,是发散的, 因为,根据比较原则的极限,形式以及调和级数,发散, 得到级数,也发,散.,例4 正项级数 是发散的, 因为 根据比较原则的极限,58,证,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,重要参考级数:,几何级数, P-级数, 调和级数.,证比较审敛法的不便:须有参考级数. 重要参考级数: 几何级数,59,二、比式判别法和根式判别法,本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象,而得到的,但在使用时只要根据级数一般项本身的,特征就能作出判断.,定理12.7,(,达朗贝尔判别法, 或比式判别法),设,为正项级数, 且存在某正整数,二、比式判别法和根式判别法 本段所介绍的两个方法是以等比级数,60,则级数,收敛.,证,则级数 收敛.证,61,把前,n,-1,个不等式按项相乘后,得到,由于当0, q ,1,时,根据比较,原,则及上述不等式可得,把前n-1个不等式按项相乘后,得到由于当0 q N,时, 有,推论1(比式判别法的极限形式) 若 为正项级 数，且则证,63,由上述不等,式,的右半部分及比式判别法的 (i),得正项级数,是收敛的.,根据上述不等式的左半部分,及比式判别法的 (ii), 可得级数,是发散的.,由上述不等式的右半部分及比式判别法的 (i), 得正项级数,64,例6,级数,由于,根据推论,1,，级数收敛.,例6 级数由于 根据推论1，级数收敛.,65,例7,讨论级数,的敛散性.,解,因为,根据推论,1,当,0, x ,1,时级数发,散; 而当,x =,1,时, 所考察的级数是, 它显然也是,发散的.,例7 讨论级数 的敛散性.解 因为 根据推论1,当,66,性作出判断. 例如级数,它们的比式极,却是发散的.,若某级数的,(7),式的极限不存在,则可应用,上、下极,限,来判别收敛性.,若,(7),中,q,=,1,这时用比式判别法不能对级数的敛散,性作出判断. 例如级数它们的比式极 , 却是发散的.若某级数,67,定理12.8,(,柯西判别法, 或根式判别法),设,为正,项级数, 且存在某正数,定理12.8(柯西判别法, 或根式判别法) 设 为正 项级,68,于情形(ii), 由(10)式可得,不可能以零为极限, 因而由级数,收敛的必要条件可知, 级数,是发散的.,证,由(9)式有,因为等比级数,故由比较原则,这时级数,也收敛,对,于情形(ii), 由(10)式可得 不可能以零为极限, 因,69,则,证,由(11),式,存在某正数,N,对一切,n N, 有,于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论.,推论1,(,根式判别法的极限形式),设,为正项级,数,且,若(11),式的极限不存在, 则可根据根式,的上极限,来判断.,则 证 由(11)式,存在某正数 N,对一切 n N,70,例8,研究级数,的敛散性.,解,由于,所以级数是收敛的.,若在,(11),式中,l =,1,则根式判别法仍无法对级数的敛,散性做出判断. 例如,都有,发散的.,例8 研究级数的敛散性.解 由于所以级数是收敛的.若在(11,71,解,解,72,比值审敛法失效, 改用比较审敛法.,比值审敛法失效, 改用比较审敛法.,73,例,10,判别下列级数的敛散性：,解,(i) 因为,由比式判别法，原级数为收敛.,例10 判别下列级数的敛散性：解 (i) 因为 由比式判别法,74,(ii) 因为,由根式判别法, 原级数为收敛.,注,由于极限,很难求, 所以上例中的 (i),不采用根式法.,(ii) 因为由根式判别法, 原级数为收敛.,75,三、积分判别法,由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局,限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法.,定理12.9,(积分判别法),设,上非负减函数,那么正项级数,同时,收敛或同时发散.,证,由假设,上非负减函数, 对任何正数,A,f,在,1,A,上可积,于是,三、积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局,76,依次相加可得,若反常积分收敛,则由,(12),式左边,对任何正整数,m,有,根据定理12.5, 级数,收敛.,依次相加可得若反常积分收敛,则由(12)式左边,对任何正整数,77,反之, 若,为收敛级数, 则由(12)式右边, 对任,一正整数,m,(,1),有,因为,f,(,x,)为非负减函数, 故对任何正数,A, 都有,用同样方法,可以证明,是同时,发散的.,反之, 若为收敛级数, 则由(12)式右边, 对任 一正整数,78,例11,讨论,解,函数,上是非负减函,时发散. 至于,的情形, 则可由收敛的必要条件,知它也是发散的.,例11 讨论解 函数上是非负减函 时发散. 至于的情形, 则,79,解,由图可知,解由图可知,80,例12,讨论下列级数,的敛散性.,解,例12 讨论下列级数的敛散性.解,81,推得级数 (ii) 在,p ,1时收敛, 在,时发散.,积分判别法,特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.,推得级数 (ii) 在 p 1时收敛, 在 时发散.,82,思考题解答,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,思考题,思考题解答由比较审敛法知 收敛.反之不,83,练 习 题,练 习 题,84,数学分析之数项级数课件,85,练习题答案,练习题答案,86,作业,习题 1、2、4、6、8、9,作业,87,由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题要比正项级数复杂得多,所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论.,3,一般项级数,由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问,88,一、交错级数,若级数的各项符号正负相间, 即,则称为,交错级数,.,定理,12.11,(,莱布尼茨判别法,),若交错级数,(1),满足:,则级数(1)收敛.,一、交错级数若级数的各项符号正负相间, 即则称为交错级数.定,89,证,考察交错级数,(1),的部分和数列,S,n,它的奇数项,和偶数项分别为,由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的,从而, ,S,2,m,S,2,m-,1, ,是一个区间套.由区间套定理,存,证 考察交错级数(1)的部分和数列Sn,它的奇数项和偶数,90,推论,若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛,级数(1)的余项估计式为,对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易,检验,它们都是收敛的:,在惟一的实数,S,使得,推论 若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(,91,数学分析之数项级数课件,92,解,原级数收敛.,解原级数收敛.,93,收敛, 则称原级数(5)为,绝对收敛级数,.,各项绝对值组成的级数,定理,12.12,绝对收敛的级数一定收敛.,证,由于级数,(6),收敛,根据级数的柯西收敛准则,对,二、绝对收敛级数及其性质,若级数,收敛, 则称原级数(5)为绝对收敛级数.各项绝对值组成的级数,94,由于,因此由柯西准则知级数(5)也收敛.,对于级数,(5),是否绝对收敛,可引用正项级数的各种,判别法对级数,(6),进行考察.,整,数,r, 有,由于 因此由柯西准则知级数(5)也收敛.对于级数(5)是否绝,95,绝对收敛级数和条件收敛级数有十分显著的差别.,有限个数相加时,被加项可以任意交换次序而不影响其和.无限多个数相加时,情况就不同了.当然,如果只交换级数中有限多项的次序,那么既不改变级数的收敛性,也不会改变它的和.但若交换级数中无穷多项的次序,在级数是条件收敛的情况下,就有可能改变级数的和,甚至使其发散.而绝对收敛级数则可以任意改变其项的次序而不影响级数的绝对收敛性,也不改变其和.,绝对收敛级数和条件收敛级数有十分显著的,96,的各项绝对值所组成的级数是,因此, 所考察的级数对任何实数,都绝对收敛.,例2,级数,的各项绝对值所组成的级数是因此, 所考察的级数对任何实数,97,原数列的重排. 相应地称级数,为级数(5)的重,作,定理12.13,设级数(5)绝对收敛, 且其和等于,S, 则任,意重排后所得到的级数,(7),绝对收敛且和也为,S,.,称为正整数列的重排, 相应地对于数列,下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质.,1,.级数的重排,我们把正整数列,1,2,n, ,到它自身的一一映射,原数列的重排. 相应地称级数 为级数(5)的重 作 定理1,98,第一步,设级数(5)是正项级数, 用,S,n,表示它的第,n,个,部分和. 用,表示级数(7)的第,m,个部分和. 因为级数(7)为级数(5),的重排, 所以每一,应等于某一,*,证,只要对正项级数证明了定理的结论,对绝对收,敛级数就容易证明定理是成立的.,第一步 设级数(5)是正项级数, 用Sn表示它的第 n 个,99,即级数(7)收敛, 且其和,由于级数,(5),也可看作级数,(7),的重排, 所以也有, 从而得到,. 这就证明了对正项级数定,理成立.,第二步,证明,(7),绝对收敛.设级数,(5),是一般项级数,且绝对收敛,则由级数,(6),收敛第一步结论, 可得,收敛, 即级数(7)是绝对收敛的.,则对于任何,即级数(7)收敛, 且其和由于级数(5)也可看作级数(7),100,要把一般项级数(5)分解成正项级数的和. 为此令,第三步,证明绝对收敛级数,(7),的和也等于,S,.,根据第,一步的证明,收敛的正项级数重排后和不变,所以先,要把一般项级数(5)分解成正项级数的和. 为此令第三步 证明,101,对于级数(5)重排后所得到的级数(7), 也可按(8)式的,办法, 把它表示为两个收敛的正项级数之差,其和不变, 从而有,由级数(5)绝对收敛, 及(9)式, 知,都是收,敛的正项级数. 因此,对于级数(5)重排后所得到的级数(7), 也可按(8)式的,102,注,定理12.13只对绝对收敛级数成立. 条件收敛级,数重排后得到的新级数,不一定收敛,即使收敛,也,不一定收敛于原来的和.,更进一步,条件收敛级数,适当重排后, 既可以得到发散级数,也可以收敛于,任何事先指定的数.,例如级数,(2),是条件收敛的,设,其和为,A, 即,注 定理12.13只对绝对收敛级数成立. 条件收敛级 数,103,将上述两个级数相加, 得到的是(2)的重排:,也可以重排(2)使其发散.,2.,级数的乘积,由定理12.2知道, 若,为收敛级数,a,为常数, 则,将上述两个级数相加, 得到的是(2)的重排:也可以重排(2),104,由此可以立刻推广到收敛级数,与有限项和的乘,积,即,那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质?,将级数(11)与(12)中每一项所有可能的乘积列成下,设有收敛级数,由此可以立刻推广到收敛级数 与有限项和的乘 积,即那么无穷级,105,表:,可以按各种方法排成不同的级数, 常,用的有按正方形顺序或按对角线顺序,.,表: 可以按各种方法排成不同的级数, 常 用的有按正方形顺,106,数学分析之数项级数课件,107,数学分析之数项级数课件,108,定理12.14,(柯西定理),若级数(11)、(12)都绝对收敛,依次相加,于是分别有,和,则对(13)中,按任意顺序排列所得到的级数,也绝对收敛, 且其和等于,AB.,*证,定理12.14 (柯西定理) 若级数(11)、(12)都绝对,109,则必有,的部分和数列,都是有界的.,由定理条件,级数(11)与(12)都绝对收敛, 因而,则必有的部分和数列都是有界的. 由定理条件,级数(11)与(,110,于是由不等式(16)知,是有界的, 从而级数,绝对收敛. 下面证明,的和,由于绝对收敛级数具有可重排的性质, 即级数的和,与采用哪一种排列的次序无关,为此,采用正方形,顺序并对各被加项取括号, 即,将每一括号作为一项, 得到新级数,于是由不等式(16)知 是有界的, 从而级数 绝对收敛.,111,同收敛, 且和相同. 用,表示(17)的,与,部分和, 则,有关系式:,从而,例3,等比级数,是绝对收敛的. 将,按(15)的顺序排列, 则得,到,同收敛, 且和相同. 用表示(17)的 与部分和, 则有关系,112,解,故由定理知原级数绝对收敛.,解故由定理知原级数绝对收敛.,113,三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法,下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.,引理,(,分部求和公式,也称阿贝尔变换,),则有如下分部求和公式成立:,证,分别乘以,三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法下面介绍两个判别一般项级数收,114,整理后就得到所要证的公式(18).,推论,(阿贝尔引理),若,证,由(i)知,都是同号的. 于是由分部求和公式及条件(ii)推得,整理后就得到所要证的公式(18).推论 (阿贝尔引理) 若,115,现在讨论形如,级数的收敛性的判别法.,现在讨论形如级数的收敛性的判别法.,116,Dirichlet判别法,Abel判别法,Dirichlet判别法Abel判别法,117,且级数,收敛, 则级数(20)收敛.,证,由于数列,单调有界,故存在,(,阿贝尔引理条件,(i).,又由于级数,收敛,依柯西,准则,对任给正数,存在正数,N,使当,n N,时,对,任,一正整数,p, 都有,(阿贝尔引理条件(ii). 应用(19)式得到,定理,12.15,(,阿贝尔判别法,),若,为单调有界数列,且级数收敛, 则级数(20)收敛.证 由于数列单调有界,故,118,这就说明级数(20)收敛.,定理,12.16,(,狄利克雷判别法,),若数列,a,n,单调递减,且,又级数,的部分和数列有界, 则级,数,(20),收敛.,证,由于,部分和数列,有界,故存在正,数,M,使,因此当,n,p,为任何正整数时,这就说明级数(20)收敛.定理12.16 (狄利克雷判别法),119,又由于数列,单调递减, 且,对,有了阿贝尔判别法就知道: 若级数,收敛, 则,又由于数列单调递减, 且 对有了阿贝尔判别法就知道: 若级数,120,数学分析之数项级数课件,121,例5,若数列,a,n,具有性质:,都收敛.,解,因为,例5 若数列an具有性质:都收敛.解 因为,122,所以级数,的部分和数列当,时有,所以级数的部分和数列当时有,123,作为例3 的特殊情形, 得到级数,例6,级数,收敛但不绝对收敛.,解,由于,的绝对值级数,作为例3 的特殊情形, 得到级数例6 级数收敛但不绝对收敛.,124,数学分析之数项级数课件,125,所以级数,为条件收敛.,所以级数 为条件收敛.,126,作业,习题 1、2、3,作业,127,数学分析之数项级数课件,128,