弹性力学及有限单元法课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第六章,用有限单元法解平面问题,第六章 用有限元法解平面问题,第五节 单元的结点力列阵与劲度矩阵,第四节 单元的应变列阵和应力列阵,第三节 单元的位移模式与解答的收敛性,第二节 有限单元法的概念,第一节 基本量及基本方程的矩阵表示,概述,第六节 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,第六章 用有限元法解平面问题第五节 单元的结点力列阵与劲,第六章 用有限元法解平面问题,例题,第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程,第十节 计算实例,第九节 计算成果的整理,第八节 解题的具体步骤 单元的划分,第七节 结构的整体分析结点平衡方程组,习题的提示与答案,教学参考资料,第六章 用有限元法解平面问题例题第十一节 应用变分原理导出,第六章 用有限单元法解平面问题,1.,有限元法,（,Finite Element Method,）,FEM,2.,FEM,的特点,概述,（,1,）具有,通用性和灵活性,。,首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用,分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。,简称,F,EM,，,是弹性力学的一种,近似解法。,第六章 用有限单元法解平面问题1.有限元法（Finite,简史,3.,FEM,简史,（,2,）对同一类问题，可以编制出,通用程序,，应用计算机进行计算。,（,3,）只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。,1943,年柯朗第一次提出了,FEM,的概念。,FEM,是上世纪中期才出现，并得到迅速发展,和广泛应用的一种数值解法。,简史3. FEM简史 （2）对同一类问题，可以编,1970,年后，,FEM,被引入我国，并很快地得到应用,和发展。,简史,1956,年，特纳等人提出了,FEM,。,20,世纪,50,年代，平面问题的,FEM,建立，并应用于工程问题。,1960,年提出了,FEM,的名称。,20,世纪,60,年代后，,FEM,应用于各种力学问题和非线性问题，并得到迅速发展。,1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应用简史,导出方法,5.,本章介绍平面问题的,FEM,4.,FEM,的主要导出方法,应用静力方法或变分方法导出。,仅叙述按位移求解的方法。,且一般都以平面应力问题来表示。,导出方法5.本章介绍平面问题的FEM4. FEM的主要导出,6-1,基本量和基本方程的 矩阵表示,本章无特别指明，均表示为,平面应力,问题,的公式。,采用,矩阵表示,可使公式统一、简洁，,且便于编制程序。,6-1 基本量和基本方程的 矩阵表,基本物理量,：,体力,:,基本物理量,位移函数,:,应变,:,应力,:,结点位移列阵,:,结点力列阵,:,面力,:,基本物理量：体力:基本物理量位移函数:应变:应力:结点位移列,物理方程,:,FEM,中应用的方程：,几何方程,:,应用的方程,其中,D,为弹性矩阵，对于平面应力问题是,:,物理方程: FEM中应用的方程：几何方程:应用的方程其中D,-,结点虚位移,;,-,对应的虚应变。,应用的方程,i,j,虚功方程,:,其中,:,在,FEM,中，用结点的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。,-结点虚位移;应用的方程ij虚功方程,3.,整体分析。,6-2,有限单元法的概念,FEM,的概念，可以简述为：,采用有限自由度,的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由,度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数,值计算方法。,其理论基础是分片插值技术与变分原理。,FEM,的概念,1.,将连续体变换为离散化结构；,2.,单元分析；,FEM,的分析过程：,3.整体分析。 6-2 有限单元法的概念,结构力学研究的对象,是,离散化结构,。如桁架，,各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联,系（图（,a,）。,弹力研究的对象,，是,连续体,（图（,b,）,),。,结构离散化,1.,结构离散化,将连续体变换为离散化结构,结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架，弹力研究的对,将连续体变换为离散化结构,（图（,c,）：,即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，,并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构,成所谓,离散化结构。,结构离散化,将连续体变换为离散化结构（图（c）：结构离散化,图（,c,）与图,(,a,）相比，两者都是离散,化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而,图（,c,）的单元是三角形块体（注意：三角,形单元内部仍是连续体）。,结构离散化,例如,：,将深梁划分为许多三角形单元，这,些单元仅在角点用,铰,连接起来。,图（c）与图( a）相比，两者都是离散结构离散化例如：,2.,单元分析,求解方法,每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。因单元内,部仍是连续体，应按弹性力学方法进行分析。,取各结点位移 为基本未知量,。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用 来表示。,2.单元分析 求解方法 每个三角形单元仍然假定为连续,（,1,）,应用插值公式,由单元结点位移,，求单元的位移函数,求解方法,这个插值公式称为单元的,位移模式,，为：,单元分析的主要内容：,（1）应用插值公式, 由单元结点位移求解方法这个插值公式称,（,4,）应用虚功方程，由单元的应力 ，,求出,单元的结点力,，表示为,（,3,）应用物理方程，由单元的应变 ，,求出,单元的应力,，表示为,（,2,）应用几何方程，由单元的位移函数,d,，,求出,单元的应变,，表示为,求解方法,（4）应用虚功方程，由单元的应力 ，（3）应用物理方程，,单元对结点的,作用力，与 数,值相同,方向相反，,作用于结点。,-,结点对单元的作用力，作用,于单元，称为结点力，以正标向为正。,求解方法,单元对结点的,（,5,）将每一单元中的各种外荷载，按虚功,等效原则移置到结点上，化为,结点荷,载,，表示为,求解方法,（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功求解方法,为已知值,是用结点位移表示的值。,通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求出各单元的应变和应力。,各单位移置到,i,结点上的结点荷载,其中 表示对围绕,i,结点的单元求和；,求解方法,3.,整体分析,各单元对,i,结点的结点力,作用于结点,i,上的力有：,为已知值, 是用结点位移表示,求解方法,3.,整体分析,2.,对单元进行分析,1.,将连续体变换为离散化结构,归纳起来，,FEM,分析的主要步骤,：,（,1,）单元的位移模式,（,2,）单元的应变列阵,（,4,）单元的结点力列阵,（,5,）单元的等效结点荷载列阵,建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。,（,3,）单元的应力列阵,求解方法 3.整体分析 2.对单元进行分析,思考题,1.,桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性力学方法求解，为什么？,2.,在平面问题中，是否也可以考虑其它的单,元形状，如四边形单元？,思考题 1.桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体，在,应用插值公式，可由 求出位移 。,首先必须解决：,由,单元的结点位移,来求出单元的位移函数,FEM,是取结点位移 为基本未知数的。问题是如何求应变、应力。,这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，因此称为,位移模式,。,6-3,单元的位移模式与 解答的收敛性,位移模式,应用插值公式，可由 求出位移 。 首先,插值公式（,a,）在结点 应等于结点位移值 。由此可求出,泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。所以,三角形单元的位移模式,，可取为：,三角形单元,（,a,）,插值公式（a）在结点 应,将式（,a,）按未知数 归纳为,:,其中 包含,三角形单元,或用矩阵表示为,:,（,b,）,将式（a）按未知数 归纳为: 其中 包,N,称为形（态）函数矩阵。,三角形单元,（,c,）,N 称为形（态）函数矩阵。三角形单元（c）,A,为三角形 的面积（图示坐标系中，,按逆时针编号），有：,其中,:,三角形单元,A为三角形 的面积（图示坐标系中，其中,三结点三角形单元的位移模式，略去了,2,次以,上的项，因而其,误差量级是,且其中只包含,了 的,1,次项，所以在单元中 的分布如图,（,a,）所示， 的分布如图（,b,）、（,c,）所示。,三角形单元,(a),(b),(c),1,三结点三角形单元的位移模式，略去了2次以三角形单元(,所以当单元趋于很小时，即 时，为了使,FEM,之解逼近于真解。则为了,保证,FEM,收敛性,位移模式应满足下列条件：,FEM,中以后的一系列工作，都是以位移,模式为基础的。,收敛性条件,所以当单元趋于很小时，即,因为当单元 时，单元中的位移和应变都趋近于基本量,刚体位移和常量位移。,（,1,）位移模式必须能反映单元的刚体位移。,收敛性条件,（,2,）位移模式必须能反映单元的常量应变。,因为当单元 时，单元中的位移和应变都趋,收敛性条件,可见刚体位移项在式（,a,）中均已反映。,与刚体位移相比，,将式（,a,）写成,收敛性条件可见刚体位移项在式（a）中均已反映。与刚体位移相比,（,3,）,位移模式应尽可能反映位移的连续性。,即应尽可能反映原连续体的位移连续,性。在三角形单元内部，位移为连续；在两单元边界,ij,上， 之间均为线性变化，也为连续。,对式（,a,）求应变，得：,收敛性条件,可见常量应变也已反映。,（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。对式（a）求应变，得,（,1,）和（,2,）是必要条件，而加上（,3,）就为充分条件。,收敛性条件,为了保证,FEM,的收敛性：,（1）和（2）是必要条件，而加上（3）就为充分条,思考题,1.,应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么必须从低次项开始选取？,2.,试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，它使得单元,(,连续体,),内部的分析工作都有可能进行了。,思考题1.应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么必须从低次项,6-4,单元的应变列阵和应力列阵,位移函数,其中，,单元中的位移函数,用位移模式表示为,6-4 单元的应变列阵和应力列阵 位移函数其中， 单元中,应用,几何方程,，求出,单元的应变列阵：,应变,应用几何方程，求出单元的应变列阵：应变,应变,S,称为,应力转换矩阵,，,写成分块形式为,再应用,物理方程，,求出,单元的应力列阵：,B,称为,应变矩阵,，用分块矩阵表示，,应变S称为应力转换矩阵，写成分块形式为再应用物理方程，求,对于线性位移模式，求导后得到的应变和应力，均成为常量，因此，称为,常应变（应力）单元,。应变和应力的误差量级是 其精度比位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。,应力,对于线性位移模式，求导后得到的应变和应,思考题,1.,如果在位移模式中取到泰勒级数中的二次幂项，略去 高阶小量，试考虑位移、应变和应力的误差量级。,思考题1.如果在位移模式中取到泰勒级数中的二次幂项，略去,6-5,单元的结点力列阵与劲度矩阵,现在来考虑其中一个单元：,模型,在,FEM,中，首先将,连续体变换为离散化结构的模型。,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵 现在来考虑其,（,2,）单元与周围的单元在边界上已没有联,系，只在结点 互相联系。,（,1,）将作用于,单元上的各种外荷载,，按静,力等效原则移置到结点上去，,化为等,效结点荷载。,故单元内已没有外荷载。,（2）单元与周围的单元在边界上已没有联（1）将作用于单元上的,假想将单元与结点,i,切开，则：,其数值与 相同，而方向相反。,结点力,以沿正坐标向为正。,对单元而言，这是作 用于单元上的“外力”。,结点作用于单元上的力,，称为,结点力,，,单元作用于结点的力，,为：,假想将单元与结点i 切开，则： 其数值与 相同，而方,按,虚功方程，在虚位移上，,外力的虚功等于应力的虚功,。,结点力,而其内部有,应力作用，,考察已与结点切开后的单元 ，则此,单元上作用有外力结点力 ，,应用,虚功方程，,求单元的结点力：,按虚功方程，在虚位移上，外力的虚功等于应力的虚,假设发生一组,结点虚位移,则单元内,任一点（,x,y,）的虚位移为 单元内,任一点（,x,y,）的虚应变为 代入虚,功方程：在单元中，,外力（结点力 ）在虚,位移（结点虚位移 ）上的虚功，等于应,力 在虚应变 上的虚功，,即：,虚功方程,假设发生一组结点虚位移 则单元内虚功方程,其中 与 无关，故式,(a),成为,式,(,b,),是,由应力求结点力的一般公式,。,因为 是独立的任意的虚位移，虚功方程对任意的 均应满足，可得出,代入,(,b,),其中 与 无关，故式(a) 成为式(b)是由,式（,c,）是,由结点位移求结点力的一般公式，,称为单元的劲度矩阵,K,其中：,再将应力公式代入上式，得,单元劲度矩阵,（,c,）,（,d,）,式（c）是由结点位移求结点力的一般公式，K其中：再将应力公式,对于三角形单元，,B,矩阵内均为常数， 有,代入,B,，,D,，得出,k,如书中（,6-37,）及（,6-38,）所示。,对于三角形单元，B 矩阵内均为常数， 有 代入,（,1,） 是,66,的方阵， 中每一个元素都表示,单元各结点沿坐标方向发生单位位移时所,引起的结点力。,（,2,）由反力互等定理， 所以 是对称,矩阵，以对角线为对称轴。,单元劲度矩阵,k,的性质,：,（,3,）当单元作刚体平移时，如,三角形内不产生应力和应变，结点力也为,0,。,（1） 是66的方阵， 中每一个元素都表示（2）由反,（,4,）由（,3,）可导出行列式 。,（,5,） 的元素与 单元的形状和方位等,有关，但与单元的大小和刚体的平动以及作,度转动无关。,即有： 中每一行（或列）的元素之和为零（其中第,1,、,3,、,5,元素之和或,2,、,4,、,6,元素之和也为,0,）。,（4）由（3）可导出行列式 。（5） 的元素,（书中,P.117,页），以直角三角形单元为例，计算了应力转换矩阵,S,和单元劲度矩阵 。,从例题中可以看出，将单元边界上的应力向结点移置，化为作用于结点上的力，正好就是结点力。在,FEM,中，单元边界之间的联系和相互作用力，都向结点简化，归结成为结点的铰结和结点力。,思考题,例题,试求出书中例题的位移模式。,（书中P.117页），以直角三角形单元为例，,6,6,荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,在,FEM,中，须将作用于单元中的外荷载向结点移置，,化为,等效结点荷载,，,66荷载向结点移置 单元的结,（,2,）,变形体静力等效原则,在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等。,1,、,等效原则,（,1,）,刚体静力等效原则,使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩也相同。,移置原则,刚体静力等效原则只从运动效应来考虑，得出移置荷载不是唯一的解；变形体的静力等效原则考虑了变形效应，在一定的位移模式下，其结果是唯一的，且也满足了前者条件的。,所以在,FEM,中，采用变形体的静力等效原则,。,（2）变形体静力等效原则在任意的虚位移上，使原荷载与移置,假设发生一组结点虚位移 ，则点的,虚位移为 。使移置荷载的虚功等,于原荷载的虚功：,2,、,集中力的移置公式,原荷载 作用于单元中任一,点 为单位厚度上的作用力；移置荷载,作用于结点,集中力,假设发生一组结点虚位移 ，则点的,3,、,单元边界 上面力 的移置公式,应用式 ，将 代之为 并在边界 上积分，得,:,对于任意的虚位移 ，虚功方程都,必须满足，得：,面力,3、单元边界 上面力 的移置公式,应用式 ，将 代之为 并对单,元域,A,积分，得,4,、单元内体力 的移置公式,体力,当位移模式为线性函数时，由虚功方程得出的移置荷载，与按刚体静力等效原则得出的结点荷载相同。,应用式 ，将 代之为 并对单4、单元,思考题,1.,试导出书中例题的荷载移置公式,。,思考题1. 试导出书中例题的荷载移置公式。,在单元分析中，从单元的结点位移,求位移分布,求应变,求应力,求结点力，为单元的内力分析；外荷载移置到结点荷载，为单元的外力分析。,6,7,结构的整体分析 结点平衡方程组,假设将结点,i,与周围的单元切开，则围绕,i,结,点的,每个单元,对,i,结点有结点力,(,）的作用,也有外荷载移置的结点荷载（ ）的作用。,下面考虑,整体分析,。,在单元分析中，从单元的结点位移求位移分布求应变,对某一个单元 ，,其中 是对围绕,i,结点的单元求和。,i,结点的平衡条件,为,结点平衡条件,对某一个单元 ，其中 是对围绕i 结点,是单元结点的,局部编号；,是整体结点的,整体编号,。,代入式 ，可表示为,将式 按整体结点编号排列，得,整个结构的平衡方程组。,是单元结点的局部编号； 代入式 ，可表,考虑结构的约束条件后，从式 求出,，就可以求出各单元的位移和应力。,整体结点位移列阵，,整体结点荷载列阵，,整体劲度矩阵。,结点平衡方程组,考虑结构的约束条件后，从式 求出,例,2,例,1,列出图示结构,i,结点的平衡条件。,（见书中,P.121,）,例2例1列出图示结构i 结点的平衡条件。（见书中P.121）,有限单元法的具体计算步骤：,6,8,解题的具体步骤 单元的划分,1,、,划分单元网格，对单元和结点编号,。,2,、,选定直角坐标系，按程序要求填写和输入有关信息。单元内的,ijm,的局部编,号应按书中规定的右手规则编号。否则会使三角形的面积出现负号等问题。,有限单元法的具体计算步骤： 68解题的具,3,、,使用已编好的程序进行,上机计算。,事先须将有限单元法的公式，计算方法和步骤都编入程序,。,4,、,对成果进行,整理、分析。,对第,1,和第,4,步的工作，也尽可能让计算机执行，以减少人工的工作量。如自动划分网格，整理成果等,。,3、使用已编好的程序进行上机计算。事先,关于,单元的划分，注意几点：,（,8,）结构具有凹槽或孔洞等应力集中处等。,（,1,）单元大小问题；,（,2,）单元在不同部位的合理布置问题；,（,3,）三角形三个内角最好较接近；,（,4,）利用对称性和反对称性；,（,5,）厚度突变之处和材料不同之处；,（,6,）载荷作用（集中力或突变分布载荷）处；,（,7,）水利闸坝工程问题；,关于单元的划分，注意几点：（8）结构具有凹槽或孔洞等应力集,在有限单元法中，位移的精度较高，,其误差量级是，即与单元尺度的二次幂成正比。应力的误差量级是，即与单元的大小成正比。,6,9,计算成果的整理,在有限单元法中，位移的精度较高，69计,三结点三角形单元的应力的成果，不但应力的精度较低，而且还产生了所谓,应力的波动性,。,对于结点位移的成果，可以直接采用。,三结点三角形单元的应力的成果，不但应力的精度较低，而,应力的波动性在三结点三角形单元中较为显著。 由于计算出的应力的精度较低。假设,单元的应力成果为 ，其中 为真解，,为误差。则由于在结点都列出了平衡方程并令其满足，从而使相邻的,单元的应力趋近于 。这就产生了应力的波动性。,原因是,，,应力的波动性在三结点三角形单元中较为,为了提高应力的精度，,解决应力波动性问题，可以采用两种应力成果的整理方法,：,一般地讲，两,相邻单元平均法的精度较好，因为它涉及的区域范围较小。,（,1,）,两相邻单元平均法。,（,2,）,绕结点平均法。,为了提高应力的精度，解决应力波动性问题，可,在受面力边界线附近，求得的应力误差较大。可采用,向外插值的方法,（例抛物线插值）来解决。,在受面力边界线附近，求得的应力误差较大。可采用向,为了提高应力的精度，可以采用,两种,方法。,是加密网格，减少单元的尺寸，以提高应力的精度。,是可以采用较多结点的单元，,并使,位移模式中包含一些高幂次的项，从而提,高位移和应力的精度。,二,一,为了提高应力的精度，可以采用两种方法。二一,书中应用三结点三角形单元，计算了下列例题：,6,10,计算实例,1.,楔形体受自重及齐顶水压力。,2.,简支梁受均布荷载。,3.,圆孔附近的应力集中。,书中应用三结点三角形单元，计算了下列例题：,在整理应力成果时，读者应注意，应用三角形单元时，,（,1,）采用,两单元平均法和绕结点平均法,的,应力成果比较接近，但前者的精度略,好于后者。,（,2,）边界面的应力，宜采用,向外插值,的方,法求出。,在整理应力成果时，读者应注意，应用三角形单元,在,FEM,中，将连续体变换为离散化结构之后，有,两种导出,FEM,公式的主要方法,：,6,11,应用变分原理导出 有限单元法基本方程,在FEM中，将连续体变换为离散化结构之后，有两种导出F,（,2,）建立单元的位移模式，求出单元中的,位移分布，,1.,按静力方法导出,FEM,公式,（,1,）取结点位移为基本未知数；,（,3,）,由几何方程求出单元的应变,，,（,4,）,由物理方程求出单元的应力,，,按结构力学方法导出,FEM,公式,（2）建立单元的位移模式，求出单元中的1.按静力方法导出FE,（,5,）,由虚功方程求出单元的结点力,，,（,6,）,由虚功方程求出单元的结点荷载,，,（,7,）,建立结点平衡方程组,，,按结构力学方法导出,FEM,公式,（5）由虚功方程求出单元的结点力，（6）由虚功方程求出单元的,（,1,）,变分原理中的极小势能原理,是,2.,按变分方法导出,FEM,公式,保留上述（,1,）,-,（,4,）步骤，然后应用极小势能原理导出,FEM,基本方程。,按变分法导出,FEM,公式,对于,平面问题，,（1）变分原理中的极小势能原理是2. 按变分方法导出FEM公,对于连续体,变分的宗量是位移函数 变分方程 可表示为总势能 对 的导数等于,0,，即,对于连续体,变分的宗量是位移函数 变分方程 可表,变分宗量,由 变换成,（,2,）,将经典变分原理应用到离散化结构,，,则,总势能、形变势能和外力势能,，可以用单元的势能之和来表示,变分宗量由 变换成（2）将经典变分原理应用到离散化结构,其中 为三角形单元的面积。应用前面记号,内力势能,为,其中 为三角形单元的面积。应用前面记号,内力势能为,其中 为三角形单元的受面力边界。引用,前面记号,外力势能,为,总势能,为,其中 为三角形单元的受面力边界。引用外力势能为 总,故,总势能极小值条件 变换为,（,3,）对于离散化结构，泛函数 的宗量变,换为,则式,(,n,),成为,引用矩阵运算公式，,故总势能极小值条件 变换为（3）对于离散化结构，泛函数,其中,其中,代入式,(,o,),，,得出与结构力学方法导出的相同方程，,从物理意义上讲，将连续体的经典变分原 理,(g),或,(i),应用到离散化结构，成为式,(p),。,代入式(o) ，得出与结构力学方法导出的相同,比较物理意义：,凡是与微分方程对应的变分原理存在的任何问题，均可应用变分法导出,FEM,。,式,(,p,),表示,总势能在所有结点处的极值条件,。,式,(,g,),表示,总势能的整体极值条件,;,比较物理意义： 凡是与微分方程对应的变分原理存在的任何问,第六章例题,例题,1,例题,2,例题,3,例题,4,例题,第六章例题例题1例题2例题3例题4例题,例题,1,平面问题中采用的,四结点矩阵单,元，,如图所示。该单元的结点位移列阵是,第六章例题,b,a,例题1 平面问题中采用的四结点矩阵单第六章,采用的位移模式是,其中的系数,由四个结点处的位,移值,应等于结点位,移值,的条件求出。,a,b,采用的位移模式是其中的系数 ,ab,读者试检查其收敛性条件是否满足？并估计位移和应力的误差量级。,第六章例题,第六章例题,例题,2,平面问题中采用的,六结点三角形单,元,，如图所示。,该单元的结点位移列阵为,其位移模式取为,第六章例题,例题2 平面问题中采用的六结点三角形单第,可以相似地表示。然后由六个结点处的条件求出,读者试检查其位移模式的收敛性，并估计其位移和应力的误差量级。,可以相似地表示。然后由六个结点处的条件求,在空间问题中,，采用的最简单的单元，是如图所示的,4,结点四面体单元，,其位移模式是,例题,3,第六章例题,在空间问题中，采用的最简,试考虑如何求出其系数 并检查位移模式的收敛性条件,并估计其位移和应力的误差量级。,试考虑如何求出其系数 并检查位移模式的,例题,4,图（,a,）所示的深梁，在跨中受集中力,F,的作用，若取 试用有限单元法求解跨中的位移。,第六章例题,例题4 图（a）所示的深梁，在跨中受集,第六章例题,第六章例题,解,1.,将图 划分网格，化为离散化结构，如图（,b,）所示。由于结构具有对称性，可取 部分进行分析，如 所示。,（,a,）,图（,c,）,解（a）图（c）,2.,中，只有两个未知结点位移,其余的结点位移均为零。,未知的结点位移列阵,是,对应的结点荷载列阵,是,3.,下面我们直接来建立,对应于未知结点,位移的平衡方程式，,第六章例题,图（,c,）,2.,4.对于三角形单元，按照结点的局部编号,结点力一般公式是,第六章例题,4.对于三角形单元，按照结点的局部编号第六章,当 且结点的局部编号如图,时，单元 的单元劲度矩阵均如,书中 所示。,对于 单元，结点的局部编号与整体编号的关系是 将书中 的,k,和结点编号代入式 ，有,第六章例题,当 且结点的局部编号如图,其中 由上式，得出,I,单元中 不存在，而,第六章例题,其中,对于 单元，结点的局部编号与整体编号,的关系是 。再将书中,的,k,代入式（,c,），得,第六章例题,对于 单元，结点的局部编号与整体,其中 由上式，可得 单元,的结点力,5.,将各单元的结点力代入式 得,从上两式解出,结点位移值，,第六章例题,其中,显然，位移,第六章例题,显然，位移第六章例题,