几种常见的曲面及其方程

几 种 常 见 的 曲 面 及 其方 程二 次 曲 面曲 线 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 第 四 节 曲 面 及 其 方 程 即动 点 为 定 点 为 ，( , , ),M x y z 0 0 0 0( , , )M x y z由 两 点 间 距 离 公 式 得特 别 ,当 M在 原 点 时 ,球 面 方 程 为 定 值 为 Rx yzo M0M表 示 上 (下 )球 面 .2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z R 2 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z R 2 2 2 2x y z R 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 一 、 几 种 常 见 的 曲 面 及 其 方 程1.球 面 2 2 2z R x y 例 1 方 程 2 2 2 4 2 0 x y z x z 表 示 怎 样 的 曲 面 . 解 通 过 配 方 ， 把 原 方 程 写 成2 2 2( 2) ( 1) 5.x y z 对 比 （ 1） 式 知 ， 它 表 示 球 心 在 点 （ 2,0,-1） ,半 径 为的 球 面 .5 x yz三 、 柱 面引 例 . 分 析 方 程表 示 怎 样 的 曲 面 .的 坐 标 也 满 足 方 程解 :在 xoy 面 上 ， 表 示 圆 C, 2 2 2x y R 沿 曲 线 C平 行 于 z 轴 的 一 切 直 线 所 形 成 的 曲 面 称 为 圆故 在 空 间过 此 点 作柱 面 . 对 任 意 z,平 行 z轴 的 直 线 l, 表 示 圆 柱 面 oC在 圆 C上 任 取 一 点 1( , ,0),M x y lM 1M( , , )M x y z点其 上 所 有 点 的 坐 标 都 满 足 此 方 程 , 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2 2 2x y R 2 2 2x y R 2 2 2x y R x yzx yzo l 定 义 3.平 行 定 直 线 并 沿 定 曲 线 C 移 动 的 直 线 l 形 成的 轨 迹 叫 做 柱 面 . 表 示 抛 物 柱 面 ,母 线 平 行 于 z 轴 ;准 线 为 xoy 面 上 的 抛 物 线 . z 轴 的 椭 圆 柱 面 . 2 22 2 1x ya b z 轴 的 平 面 .0 x y 表 示 母 线 平 行 于 C(且 z 轴 在 平 面 上 )表 示 母 线 平 行 于C 叫 做 准 线 , l叫 做 母 线 .x yzo o 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2 2y x 2l一 般 地 ,在 三 维 空 间 柱 面 ,柱 面 ,平 行 于 x 轴 ;平 行 于 y 轴 ;平 行 于 z 轴 ;准 线 xoz 面 上 的 曲 线 l3.母 线 柱 面 ,准 线 xoy 面 上 的 曲 线 l1.母 线准 线 yoz 面 上 的 曲 线 l2. 母 线 ( , ) 0F x y 方 程 表 示( , ) 0G y z 方 程 表 示( , ) 0H z x 方 程 表 示 3l 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 x yz 1lx x y yz z 定 义 2. 一 条 平 面 曲 线3.旋 转 曲 面 绕 其 平 面 上 一 条 定 直 线 旋 转一 周 所 形 成 的 曲 面 叫 做 旋 转 曲 面 .该 定 直 线 称 为 旋 转轴 .例 如 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 建 立 yoz面 上 曲 线 C 绕 z 轴 旋 转 所 成 曲 面 的 方 程 :故 旋 转 曲 面 方 程 为( , , ) ,M x y z当 绕 z 轴 旋 转 时 ,1 1( , ) 0f y z 1 1 1(0, , ) ,M y z C若 点给 定 yoz 面 上 曲 线 C: 1 1 1(0, , )M y z( , , )M x y z 2 21 1,z z x y y 则 有 2 2( , ) 0f x y z 则 有该 点 转 到 ( , ) 0f y z o z yx C 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 思 考 ： 当 曲 线 C 绕 y 轴 旋 转 时 ， 方 程 如 何 ？: ( , ) 0C f y z o yxz 2 2( , ) 0f y x z 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 2 将 面 上 的 椭 圆 z分 别 绕y 轴 和轴 旋 转 ， 求 所 形 成 的 旋 转 曲 面 方 程 。解 绕 轴 旋 转 而 成 的 旋 转 曲 面 方 程 为z即即绕 轴 旋 转 而 成 的 旋 转 曲 面 方 程 为y x yOz aa b 2 2 22 2 1y x za b 2 2 22 2 1x y za b 2 22 2 1y za b 2 2 22 2 2 1x y zb a b 2 2 22 2 2 1x y za a b yoz 例 3 求 面 上 的 抛 物 线 绕 x轴旋 转 所 形 成 的 旋 转 抛 物 面 （ 图 7-28） 的 方 程 。 解 方 程 中 的 x 不 变 ， 换 成便 得 到 旋 转 抛 物 线 的 方 程 为 例 4 求 面 上 的 直 线 绕 z轴旋 转 一 周 而 成 的 圆 锥 面 的 方 程 。 解 所 求 圆 锥 面 的 方 程 为即 xyOz xoy 2 2y z yoz 2 2( )x a y z 2( 0)x ay a 2x ay ( 0)z ky k 2 2z k x y 2 2 2 2( )z k x y 二 、 二 次 曲 面三 元 二 次 方 程 适 当 选 取 直 角 坐 标 系 可 得 它 们 的 标 准 方 程 ,下 面 仅 就 几 种 常 见 标 准 型 的 特 点 进 行 介 绍 .研 究 二 次 曲 面 特 性 的 基 本 方 法 : 截 痕 法 其 基 本 类 型 有 : 椭 球 面 、 抛 物 面 、 双 曲 面 、 锥 面的 图 形 通 常 为 二 次 曲 面 . 2 2 2Ax By Cz Dxy Eyx Fzx 0Gx Hy Iz J (二 次 项 系 数 不 全 为 0 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 z yx1. 椭 球 面2 2 22 2 2 1 ( , , )x y z abca b c 为 正 数(1)范 围 ： , ,x a y b z c (2)与 坐 标 面 的 交 线 ： 椭 圆2 2 2 2 1,0 x ya bz 2 22 2 1,0y zb cx 2 22 2 10 x za cy 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 黄 绿 红 2 2 22 2 2 1x y za b c 与 1 1( )z z z c 的 交 线 为 椭 圆 ： 1z z(4) 当 a b 时 为 旋 转 椭 球 面 ;同 样 1 1( )y y y b 的 截 痕及也 为 椭 圆 . 当 a b c 时 为 球 面 .(3) 截 痕 :2 22 22 22 2 2 21 1 1( ) ( )a bc cx yc z c z ( , ,abc为 正 数 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 z1 1( )x x x a 2 22 2x y zp q 2.椭 圆 抛 物 面 ( p , q 同 号 ) z yx特 别 ,当 p = q 时 为 绕 z 轴 的 旋 转 抛 物 面 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 三 、 曲 线1.曲 线 方 程空 间 曲 线 可 视 为 两 曲 面 的 交 线 ,其 一 般 方 程 为 方 程 组2S L 0),( zyxF0),( zyxG 1S例 如 ,方 程 组表 示 圆 柱 面 与 平 面 的 交 线 C. x z y1o C2机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ( , , ) 0( , , ) 0F x y zG x y z 2 2 12 3 6x yx z 又 如 ,方 程 组表 示 上 半 球 面 与 圆 柱 面 的 交 线 C. yxz ao 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2 2 22 2 0z a x yx y ax z yx o空 间 曲 线 的 参 数 方 程将 曲 线 C上 的 动 点 坐 标 x, y, z表 示 成 参数 t 的 函 数 :( )( )( )x x ty y tz z t 称 它 为 空 间 曲 线 的 参 数 方 程 .例 如 ,圆 柱 螺 旋 线 , vt b 令 2h b的 参 数 方 程 为上 升 高 度 , 称 为 螺 距 . M 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 cossinx a ty a tz vt cossinx ay az b 2 当 时 ， 例 5 设 一 动 点 M在 圆 柱 面 上 以 角 速 度绕 z 轴 旋 转 ， 同 时 又 以 线 速度 沿 平 行 于 z 轴 的 正 方向 上 升 ( 都 是 常 数 )则 点 M的 几 何 轨 迹 叫 做 螺 旋 线（ 图 7-34） ， 试 图 建 立 其 参 数 方 程 。解 取 时 间 t 为 参 数 ， 设 t=0 时 动 点 在 处 ，动 点 在 点 处 ， 过 点 M 作 xoy 面 的 垂 线 ， 则垂 足 的 坐 标 为 由 于 是 动 点 在 时 间 t内 转 过 的 角 度 ， 而 线 段 的 长 是 时 间 t内 动点 上 升 的 高 度 ， 所 以 经 过 时 间 t， 得2 2 2x y a v,v ( ,0,0)A a ( , , )M x y z( , ,0)M x y AOMMM MM ,AOM t MM vt cos cos ,sin sin ,.x a AOM a ty a AOM a tz MM vt 从 而因 此 螺 旋 线 的 参 数 方 程 为c o s ,sin ,.x a ty a tz vt 2.空 间 曲 线 在 坐 标 面 上 的 投 影设 空 间 曲 线 C 的 一 般 方 程 为( , ) 0H x y 消 去 z 得 投 影 柱 面则 C 在 xoy 面 上 的 投 影 曲 线 C为消 去 x 得 C 在 yoz 面 上 的 投 影 曲 线 方 程消 去 y 得 C 在 zox 面 上 的 投 影 曲 线 方 程( , ) 00H x yz ( , ) 00R y zx ( , ) 00T x zy z yx CC机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ( , , ) 0( , , ) 0F x y zG x y z z yx C1o例 如 ,在 xoy 面 上 的 投 影 曲 线 方 程 为2 22 2 00 x y yz 2 2 22 2 21: ( 1) ( 1) 1x y zC x y z 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 6 求 曲 线 2 2 22 2 1,x y zz x y 关 于 面 的 投 影 柱 面 及 投 影 的 方 程 。解 将 方 程 组 中 的 第 二 个 方 程 代 入 第 一 个 方 程 ， 得曲 线 关 于 面 的 投 影 柱 面 的 方 程 为 2 2 12x y （ 是 圆 柱 面 ） ， 在 面 的 投 影 方 程 为2 2 1 ,20 x yz （ 是 面 上 的 圆 ）xoy xoy xoy xoy