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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,作为学科的数学,思维的抽象性,推理的严谨性,应用的广泛性,第1页/共43页,作为学科的数学第1页/共43页,1,回顾数学自身的发展，,数学的,实际应用,和,理性探索,构成数学发展的两个互不可缺的原动力。,第2页/共43页,第2页/共43页,2,数学的教育特征,数学是理性的音乐,是锻炼思想的体操,.,第3页/共43页,数学的教育特征第3页/共43页,3,数学的教育特征,数学是生活的必须,是最后致胜的法宝,第4页/共43页,数学的教育特征第4页/共43页,4,传统的数学教学模式,“,烧中段”,+,“,练习题”,第5页/共43页,传统的数学教学模式第5页/共43页,5,两千年来掌握数学知识已被视为每个受教育者必须具备的智力，,数学在教育中这种特殊的地位今天出现了严重的危机。,数学教学逐渐地流于无意义的单纯的演算习题的训练。,忽视应用、忽视数学同其它学科的联系，这种情况丝毫不能说明完全形式化方法的正确性。,固然这可以发展演算能力，,但无助于学生对数学的真正理解，无助于提高独立思考的能力。,什么是数学,，库朗，,1944,修订版，,1995,第6页/共43页,两千年来掌握数学知识已被视为每个受教育者必须具备的智力，第6,6,中学数学课外科技活动,高中数学奥林匹克竞赛,高中数学知识应用竞赛,丘成桐中学数学奖,青少年科技创新大赛,“明天小小科学家”奖励活动,Intel,国际科学与工程大奖赛,北京市青少年科技创新学院翱翔计划,北京市青少年科技俱乐部,北京市科协后备人才培养计划,第7页/共43页,中学数学课外科技活动第7页/共43页,7,数学模型,通过抽象和化简，,使用数学语言，,对实际问题的一个近似描述，,以便于人们更深刻地认识所研究的对象,第8页/共43页,数学模型第8页/共43页,8,例,1,某学校有块矩形空地，南北向长,100m,，东西向宽,90m,。,欲建有,4,条宽为,1m,的并排跑道，且内圈周长为,300m,的操场。,请你给出较为简单的设计原则及具体设计方案。,第9页/共43页,例1 某学校有块矩形空地，南北向长100m，东西向宽90m。,9,分析：,1.,内圈的范围；长,100-8=92m,宽,90-8=82m,周长,(92+82)2=348m,2.,半圆加直道：,823.14+102=277.5m,3.300m,框,92m,58m,第10页/共43页,分析：第10页/共43页,10,操场的模型,直道,弯道,直道与弯道相切,圆弧的半径尽量长,已知：操场范围,x=92,，,58y,82,跑道长度为,300m,求： 圆弧半径,r,2(x-2r)+2(y-2r)+2,r=300,92-(4-,)r+y=150,(4-,)r = y - 58,(,圆弧,),第11页/共43页,操场的模型(圆弧)第11页/共43页,11,例,2,下表的数据记录了在某个航线上的一架飞机在时刻,t,飞行的水平速度,v,（千米,/,小时） （,177,组，,350,分）,请回答下列问题：,(1),绘制出这架飞机在不同的时刻飞行速度的变化图,(2),根据飞行速度的变化图描述这架飞机在整个航程中航行的状态,(3),估算这次航行的里程,第12页/共43页,例2 下表的数据记录了在某个航线上的一架飞机在时刻t飞行的水,12,t,9:30,9:35,9:37,9:38,9:39,9:40,9:41,9:43,9:46,9:48,9:49,9:50,v,0,329,331,465,472,503,590,688,729,744,774,783,t,9:51,9:52,9:53,9:54,9:55,9:56,9:59,10:01,10:02,10:03,10:04,10:05,v,813,818,870,877,895,916,916,914,929,927,924,922,t,10:06,10:07,10:08,10:09,10:10,10:11,10:12,10:13,10:14,10:15,10:16,10:17,v,920,926,927,926,922,922,896,890,883,885,887,875,t,10:18,10:19,10:20,10:21,10:22,10:23,10:24,10:25,10:26,10:27,10:28,10:29,v,883,885,888,888,885,885,887,887,885,881,872,870,t,10:30,10:31,10:32,10:33,10:34,10:35,10:36,10:37,10:38,10:39,10:40,10:41,v,870,870,870,866,864,863,861,863,864,864,864,864,t,10:42,10:43,10:44,10:45,10:46,10:47,10:48,10:49,10:50,10:51,10:52,10:53,v,859,859,855,851,846,842,833,825,822,820,818,816,t,10:54,10:56,10:57,10:58,11:01,11:20,11:22,11:24,11:26,11:28,11:34,11:36,v,816,794,792,800,807,846,855,868,885,913,942,948,第13页/共43页,t9:309:359:379:389:399:409:419,13,第14页/共43页,第14页/共43页,14,例,2.,北京天安门广场的国旗,每天伴着太阳升起，伴着太阳降落,下表是天安门广场,2003,年部分日期的升旗时刻,:,日 期 升旗时刻 日 期 升旗时刻 日 期 升旗时刻 日 期 升旗时刻,1,月,1,日,7:36 4,月,9,日,5:46 7,月,9,日,4:53 10,月,8,日,6:17,1,月,21,日,7:31 4,月,28,日,5:19 7,月,27,日,5:07 10,月,26,日,6:36,2,月,10,日,7:14 5,月,16,日,4:59 8,月,14,日,5:24 11,月,13,日,6:56,3,月,2,日,6:47 6,月,3,日,4:47 9,月,2,日,5:42 12,月,1,日,7:16,3,月,22,日,6:15 6,月,22,日,4:46 9,月,20,日,5:59 12,月,20,日,7:31,第15页/共43页,例2. 北京天安门广场的国旗第15页/共43页,15,请回答下面的问题：,(1),建立坐标系，将表,1,数据描在坐标系中,(2),根据已给数据建立数学模型，估算,2004,年“五一”国际劳动节的升旗时间；,(3),如果你打算在“五一”观看升旗，选择什么时间到达观看点？,第16页/共43页,请回答下面的问题：第16页/共43页,16,解：,(1),将数据描在坐标系中，,第17页/共43页,解：(1) 将数据描在坐标系中，第17页/共43页,17,(2),天体运动具有很强的周期性，所以日出日落时间成周期变化,再观察,2003,年的图象，,整体来看与余弦函数相像,模型：,t = A cos(2,/T) d +, + B,周期：,T = 365,天，,振幅：,A = (7.64.76)/2 = 2.84/2 = 1.42,高度：,B = (7.6+4.76)/2 = 6.18,初相：,= 0,有,t,= 1.42 cos(0.01721d) + 6.18,第18页/共43页,(2) 天体运动具有很强的周期性，所以日出日落时间成周期变化,18,结论：,5,月,1,日相当于,d=122,t = 1.42 cos(0.01721,122,) + 6.18,= 1.42 cos(2.1) + 6.18,= 5.46 = 5,：,28,验证：,2003,年的情况：,4,月,28,日升旗时间,5,：,19,，,5,月,16,日升旗时间,4,：,59,。,计算结果比实际情况推迟了至少十分钟！,第19页/共43页,第19页/共43页,19,第20页/共43页,第20页/共43页,20,例,3,国际乒联为了增加乒乓球比赛的观赏性，,希望降低球的飞行速度。,现制比赛用球直径是,38 mm,。,1996,年国际乒联接受了一项关于对直径,40mm,乒乓球进行试验的提案,提案要求球的质量不变。,试估算若采用,40mm,乒乓球，,使小球从球台这端飞往另一端所需的时间将增加多少？,第21页/共43页,例3 国际乒联为了增加乒乓球比赛的观赏性，第21页/共43页,21,为简化讨论，,假设,空气对球的阻力与球的直径平方成正比，,小球沿水平方向作直线飞行。,根据中国乒协调研组提供的资料，,扣杀,38mm,乒乓球时，,击球速度约为,26.35m/s,球的平均飞行速度约为,17.8m/s,。,第22页/共43页,为简化讨论，第22页/共43页,22,分析,由于打乒乓球时小球的运动情况是比较复杂的。,题目本身对为题进行了简化：,假设了乒乓球作水平方向的直线运动，,并且还假设小球运动时所受的空气阻力与球的直径的平方成正比。,这样，可知：只受一个力（空气阻力）的作用。,在直线的轨道上，在阻力的作用下做匀减速运动,因此使用数学解决这个问题时必须要将它当作一个物理现象来处理。,结合物理学的知识来解决它。仅仅使用数学是不够的。,第23页/共43页,分析第23页/共43页,23,例,4.,商场打折酬宾的数学,4.1,三个商店打折促销：,甲店打七折销售,乙店满一百送四十劵，,丙店满一百送三十，循环送。,哪个店的折扣对顾客更合算？,甲店：买,100,元的货，用,70,元。折扣率,70%,乙店：买,140,元的货,用,100,元。折扣率,71.4%,丙店,:,越多买折扣率月底,但是在,76.9%,70%,之间,折扣率,=,购货金额,/,货物价值,第24页/共43页,例4. 商场打折酬宾的数学4.1 三个商店打折促销：第24,24,4.2.,买一百返二十,整百购买,折扣率,=100n/(100+20)n=0.83,非整百购买,折扣率,=100n+x / (100+20)n+x,nx,0 50 99,1 0.83 0.88 0.91,2 0.83 0.86 0.88,3 0.83 0.85 0.87,10 0.83 0.84 0.846,20 0.83 0.837,0.84,第25页/共43页,第25页/共43页,25,nx,0 50 99,1 0.83 0.88 0.91,2 0.83 0.86 0.88,3 0.83 0.85 0.87,10 0.83 0.84 0.846,20 0.83 0.837,0.84,第26页/共43页,nx 0 50,26,4.3.,买一百返一百,整百购买,折扣率,=100n/(100+100)n=0.50,非整百购买,折扣率,=100n+x/ 200n+x,nx 0 50 99,1 0.50 0.60 0.667,2 0.50 0.55 0.599,3 0.50 0.54 0.571,9 0.50 0.513,0.526,20 0.50 0.506,0.512,第27页/共43页,4.3. 买一百返一百第27页/共43页,27,4.4,买一百返一百，价格提高到原价的,r,倍,整百购买,折扣率,=100n/(100+100)n/r=0.50 r,非整百购买,折扣率,=100n+x/ (200n+x) r,r = 1.5,nx 0 50 99,1 0.75 0.90 1,2 0.75 0.825 0.898,3 0.75 0.81 0.856,9 0.75 0.765 0.789,20 0.75 0.759 0.768,第28页/共43页,4.4 买一百返一百，价格提高到原价的 r 倍第28页/共,28,4.5.,买一百返二十,循环送,购买方式：每次以可得返券的最少支出购物,次数,1 2 3 4,支出,100 80 80 80 ,购物,100+20 80+20 80+20 80+20 ,购买,n+1,次所得到的折扣，,r,n+1,随着,n,的增加从,0.8333,开始逐渐减小。,当,n,时，,r,n,将趋近于极限值,0.8,第29页/共43页,4.5. 买一百返二十, 循环送第29页/共43页,29,5,国庆节某商场打折促销,全场每买,100,元商品，就返给,100,元购物券。,一个顾客看中了一件上衣，标价是,350,元。,他很犹豫，因为花,350,元买这件上衣虽然价格较高，,但是再加上返,300,元的购物券相当于打了,350/650=54%,折,还是挺合算的。,可是这位顾客又一想，,我又没有别的需求，得到的,300,元的购物券做什么用呢？,第30页/共43页,5 国庆节某商场打折促销第30页/共43页,30,这时有一人过来说：,如果你打算买这件上衣，,350,元打,54,折是,189,元，,你出,55,折的价钱,192,元，,其余的,158,元钱由我来补上。我帮你把这件上衣买定，,但是那,300,元的购物券就给我了。,这位顾客觉得很合算就同意了。,之后这人又帮另外两位顾客各买了一条标价为,150,元的裤子,这样的裤子加上返券，相当于打了六折，,即每条裤子只需,90,元。,这个人要求他们各自以标价,150,元的六二折，,即每人付给他,93,元由他帮忙把这两条裤子买下。,于是，这位朋友得到了这两个人每人,93,元，合计,186,元。,第31页/共43页,这时有一人过来说：第31页/共43页,31,这时他并没有真的自己贴钱去买裤子，,而是使用前面挣到的,300,元的购物券将这条裤子买了下来。,最后的结果是这位朋友将得到的,186,元扣除为前面那位顾客垫付的,158,元，,就多收入了,28,元。,可是买商品的三位顾客每人只比应该的折扣价多花了,3,元钱。,请你用数学的方法帮忙分析这位朋友多收入的,28,元钱是哪里挣来的？,第32页/共43页,这时他并没有真的自己贴钱去买裤子，第32页/共43页,32,例,4.,人,狗,鸡,米 过河问题,某人带狗,鸡,米摆渡过河,.,除了船需要人划外,最多只能带一物过河,.,当人不在时,狗要咬鸡,鸡要吃米,.,如何才能安全过河,.,第33页/共43页,例4. 人, 狗, 鸡, 米 过河问题第33页/共43页,33,状态转移,:,状态：,人、狗、鸡、米在准备过河的岸边的状况。,用一个取值,0,或,1,的数组,x,1,x,2,x,3,x,4,表示,.,x,1,=1,表示人在此岸,x,2,=0,表示狗不在此岸,例如,(1,1,0,1),表示人,狗,米在此岸,鸡在对岸,(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,1,0,0),(1 0 0 1) (1 0 0 0),(1 0 1 1) (1 0 1 0),(0 0 0 0) (0 0 0 1) (0 0 1 0),(0 0 1 1) (0 1 1 0) (0 1 1 1),(0 1 0,0),(0,1,0,1),第34页/共43页,状态转移: 第34页/共43页,34,状态的转移：,每次由渡船往返过河所引起的,此,岸状态的变化为安全起见，转移过程中,当人不在时不能将狗与鸡,鸡与米单独放在一起或狗、鸡与米共同在一起,容许的状态：,除,(0,1,1,0)(0,0,1,1)(0,1,1,1),及其对偶状态,(1,0,0,1)(1,1,0,0)(1,0,0,0),外的,所有取值,0,或,1,的,4,维向量，共十个。,第35页/共43页,状态的转移：第35页/共43页,35,相邻的状态,:,一次渡河所能够相互实现的状态。,模型,:,以容许状态为顶点,用线把相邻的状态连接起来,就构成了人,狗,鸡,米 过河问题的状态转移图,.,问题,:,寻求转移图中,(1,1,1,1),点到,(0,0,0,0),点的通路,第36页/共43页,相邻的状态:第36页/共43页,36,图模型：,(1,1,1,1),(0,0,0,0),(1,1,1,0),(0,0,0,1),(1,1,0,1),(0,0,1,0),(1,0,1,1),(0,1,0,0),(1,0,1,0),(0,1,0,1),第37页/共43页,图模型：第37页/共43页,37,例,5,在,2010,年,2,月,8,日北京晚报“智力休闲”,栏目中有这样一,个趣题：,根据图上的规律，,指出,A,、,B,、,C,、,D,四个选项中,哪个最适合问号处的图形,。,请你回答下面的,问题,：,（,1,）完成上面的趣题；,（,2,）指出上面的趣题中“规律”，并作出数学表达,A,B,C,D,？,第38页/共43页,例5 在2010年2月8日北京晚报“智力休闲”ABCD？第3,38,我们称图中每个圆圈内可能出现的符号,为元素，,共五个,.,圆,圈,内的元素组成的图为子图,并将第,i,行第,j,个子图记,作,A,ij,可以用数学符号表为,A,ij,=x,ij1,x,ij2,x,ij3,x,ij4,x,ij5,其中,x,ijk,=1,表示子图,A,ij,中包含元素,k,，,否则,x,ijk,=0,A,B,C,D,？,第39页/共43页,我们称图中每个圆圈内可能出现的符号 ABCD？第39页/共4,39,则右图就可以数学地表示为,A,41,=,？,A,31,=1,0,1,0,0,A,32,=0,0,0,1,1,A,21,=1,1,0,0,1,A,22,=0,1,1,0,1,A,22,=0,1,1,1,0,A,11,=1,1,0,0,0,A,12,=0,0,0,0,1,A,13,=0,1,1,0,0,A,14,=0,0,0,1,0,A,21,=A,11,A,12,=x,111,x,121,x,112,x,122,x,113,x,123,x,114,x,124,x,115,x,125,其中,00,=,0,01,=,1,10,=,1,11,=,0,异或 不可兼或,A,B,C,D,？,1,0,1,1,1,第40页/共43页,则右图就可以数学地表示为ABCD？1 0 1 1,40,日常生活中数学问题的特点,1.,问题来源于实际，,2.,问题的提法不常规,3.,问题的数学背景不明确,4.,问题的解法不入流,5.,问题的计算不寻常,6.,问题的求解有实用价值,第41页/共43页,第41页/共43页,41,中学数学课外科技活动,高中数学奥林匹克竞赛,高中数学知识应用竞赛,丘成桐中学数学奖,青少年科技创新大赛,“明天小小科学家”奖励活动,Intel,国际科学与工程大奖赛,北京市青少年科技创新学院翱翔计划,北京市青少年科技俱乐部,北京市科协后备人才培养计划,第42页/共43页,中学数学课外科技活动第42页/共43页,42,感谢您的观看！,第43页/共43页,感谢您的观看！第43页/共43页,43,