二元函数泰勒展开课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,10.4 二元函数的泰勒公式,就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似计算外, 又为建立极值判别准则作好了准备.,三、极值问题,一、高阶偏导数,二、中值定理和泰勒公式,10.4 二元函数的泰勒公式 就本节自身而言，引,1,一、高阶偏导数,如果它们关于,x,与,y,的偏导数也,导数有如下四种形式:,存在, 说明,具有,二阶偏导数,二元函数的二阶偏,一、高阶偏导数 如果它们关于 x 与 y 的偏导数也 导,2,类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如,的三阶偏导数共有八种情形:,类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 的三阶偏导数共有,3,解,由于,例,1,解 由于,4,因此有,因此有,5,数为,例,2,数为 例2,6,注意,在上面两个例子中都有,注意 在上面两个例子中都有,7,数为,混合偏导数,). 但是这个结论并不对任何函数都,成立，例如函数,它的一阶偏导数为,数相等 (称这种既有关于,x, 又有关于,y,的高阶偏导,数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函,8,的混合偏导数:,的混合偏导数:,9,由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么,在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此,式. 由于,由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么 在什么条,10,因此有,因此有,11,类似地有,这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2),相等的一个充分条件,连续，则,类似地有,12,证,令,于是有,(4),(3),证 令,13,由 (4) 则有,(5),如果令,由 (4) 则有,14,则有,用前面相同的方法, 又可得到,(6),则有,15,在且相等，这就得到所要证明的 (3) 式,合偏导数都与求导顺序无关,注,2,这个定理对,n,元函数的混合偏导数也成立. 例,由定理假设,都在点,连,续, 故当,时, (7) 式两边极限都存,如三元函数,的如下六个三阶混合偏导数,在且相等，这就得到所要证明的 (3) 式,16,若在某一点都连续，则它们在这一点都相等,今后在牵涉求导顺序问题时, 除特别指出外, 一般,都假设相应阶数的混合偏导数连续,复合函数的高阶偏导数,设,数,同样存在二阶连续,若在某一点都连续，则它们在这一点都相等 今后在牵涉求,17,偏导数. 具体计算如下:,偏导数. 具体计算如下:,18,二元函数泰勒展开课件,19,同理可得,同理可得,20,例,3,改写成如下形式:,例3 改写成如下形式:,21,由复合函数求导公式，有,自变量的复合函数所以,由复合函数求导公式，有,22,二元函数泰勒展开课件,23,二、中值定理和泰勒公式,二元函数的中值公式和泰勒公式, 与一元函数的拉,也有相同的公式，只是形式上更复杂一些,先介绍凸区域,若区域,D,上任意两点的连线都含于,D, 则称,D,为凸区域 (图10.3- 6). 这就是说, 若,D,为,一切,恒有,二、中值定理和泰勒公式 二元函数的中值公式和泰勒公式, 与,24,上连续, 在,D,的所有内点都可微, 则对,D,内任意两,定理 8,(,中值定理 ),设,在凸区域,图 10.3 - 6,凸,非凸,上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对 D 内任意两,25,的一元连续函数, 且在 (0, 1) 内可微. 根据一元函数,其中,中值定理，,，使得,(10),的一元连续函数, 且在 (0, 1) 内可微. 根据一元函,26,(9), (10) 两式即得所要证明的 (8) 式,注,若,D,为严格,凸区域，即,，都有,(9), (10) 两式即得所要证明的 (8) 式,27,式成立 ( 为什么? ),公式 (8) 也称为二元函数 (在凸域上) 的中值公式.,它与定理17.3 的中值公式 (12) 相比较, 差别在于这,请读者作为练习自行证明此推论,式成立 ( 为什么? ),28,分析,将上式改写成,例4,对,应用微分中值定,理，证明存在某个,分析 将上式改写成,29,之间应用微分中值定理,计算偏导数:,证,首先, 当, 有,再,之间应用微分中值定理计算偏导数:,30,定理 9,(泰勒定理),若,在点,内任一点,内有直到 阶的连续偏导数, 则对,定理 9 (泰勒定理) 若 在点 内任一点 内有直到,31,其中,其中,32,证,类似于定理8 的证明，先引入辅助函数,(11) 式称为,的,n,阶泰勒公式,并称其中,而首项,也可看作,的情形.,证 类似于定理8 的证明，先引入辅助函数 (1,33,件，于是有,由假设，,上满足一元函数泰勒公式的条,应用复合求导法则, 可求得,的各阶导数如下:,(12),件，于是有由假设， 上满足一元函数泰勒公式的条应用复合求导法,34,公式 (11),将 (13), (14) 两式代入 (12) 式, 就得到所求之泰勒,时的特殊情形.,公式 (11)将 (13), (14) 两式代入 (12),35,此时的,n,阶泰勒公式可写作,则仅需,内存在,n,阶的连续偏导数即可,此时的 n 阶泰勒公式可写作,36,将它们代入泰勒公式 (15)，即有,将它们代入泰勒公式 (15)，即有,37,与1,、,例7 的结果 (1. 32) 相比较，这是更接近于真,微分近似相当于现在的一阶泰勒公式,与1、例7 的结果 (1. 32) 相比较，这是更接近于真,38,三、极值问题,多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应,用, 这里仍以二元函数为例进行讨论.,有定义. 若,极大值点、极小值点统称,极值点,的,极大,(或极小),值点.,极大值、极小值统称,极值; 极,三、极值问题 多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应,39,注意,这里讨论的极值点只限于定义域的内点,点, 是,g,的极大值点, 但不是,h,的极值点这是因,注意 这里讨论的极值点只限于定义域的内点 点,40,同极值;,也取相同极值,. 于是,得到二元函数取极值的必要条件如下:,定理,10,(极值的必要条件),若函数,在点,值 (,注,由定义可见, 若,在点,取极值, 则当固,存在偏导数, 且在,取得极值, 则必有,同极值; 也取相同极值. 于是 得到二元函数取极值,41,的,稳定点,.,上述定理指出,:,偏导数存在时,极值点必是稳定点,.,但要注意,:,稳定点并不都是极值点,在例 6,中,之所,以只讨论原点, 就是因为原点是那三个函数的惟一,稳定点；而对于函数,h, 原点虽为其稳定点,但却不,是它的极值点.,与一元函数的情形相同, 多元函数在偏导数不存在,原点没有偏导数, 但,的稳定点. 上述定理指出: 偏导数存在时, 极值点必是稳定,42,(17),定点, 则有如下结论:,(17)定点, 则有如下结论:,43,于是有,证,由,在,的二阶泰勒公式，并注意到条件,于是有,44,二次型,连续函数 ( 仍为一正定二次型 ),首先证明:,当,正定时，,在点,取得极小,值这是因为，此时对任何,恒使,二次型,45,极大值,由于,因此,在此有界,闭域上存在最小值,，于是有,即,在点,取得极小值,极大值由于 因此在此有界 闭域上存在最小值 ，于是有即,46,亦取,则沿着过,的任何直线,最后证明:,当,为,不定矩阵时,在点,不,亦取 则沿着过 的任何直线,47,极小值, 则将导致,必须是正半定的. 也就是,的或负半定的，这与假设相矛盾,这表明,必须是负半定的. 同理, 倘若,取,系，定理11又可写成如下比较实用的形式,根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关,若,如定理11 所设，则有如下结论:,极小值, 则将导致 必须是正半定的. 也就是 的或负半定,48,是否取得极值,解,由方程组,例,7,取得极小值;,取得极大值;,是否取得极值 解 由方程组,49,例8,讨论,是否存在极值,例8 讨论 是否存在极值,50,得极值?,因,，故原点不是,的,极值点. 又因,处处可微，所以,没有极值点.,解,容易验证原点是,的稳定点, 且,故由定理11 无法判断,在原点是否取得极值,但因为在原点的任意小邻域内, 当,时,得极值?因 ，故原点不是 的 极值点. 又因 处处可微，,51,由极值定义知道, 极值只是函数的一个,局部性概念.,想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值, 方法,与一元函数问题一样：需先求出在该区域上所有稳,定点、无偏导数点处的函数值, 还有在区域边界上,的这类特殊值；然后比较这些值, 其中最大 (小)者,即为问题所求的最大 (小) 值,以,f,(0, 0) = 0,不是极值 ( 参见图10.3-7 ),由极值定义知道, 极值只是函数的一个局部性概念.想求出函数在,52,例,10,证明: 圆的所有外切三角形中, 以正三角形的,面积为最小,证,如图10.3- 8 所示,设圆的半径为,a,任一外切三角,图10.3-8,图10.3-7,例10 证明: 圆的所有外切三角形中, 以正三角形的,53,式为,其中,. 为求得稳定点, 令,形为,ABC,三切点处的半径相夹的中心角分别为,式为 其中 . 为求得稳定点, 令,54,在定义域内, 上述方程组仅有惟一解:,的二阶偏导数:,在定义域内, 上述方程组仅有惟一解:,55,此稳定点处取得极小值,因为 , 面积函数,S,在定义域中处处存在偏,正三角形的面积为最小,解 (i),求稳定点：,解方程组,导数，而具体问题存在最小值，故外切三角形中以,此稳定点处取得极小值 因为,56,因此,得稳定点,(ii),求极值：,由于,的黑赛矩阵为,(iii),求在,上的特殊值:,当,因此 得稳定点 (ii) 求极值：由于 的黑赛矩阵为,57,当,，,当,，,当，当，,58,算出,单调增, 算出两端值,算出 单调增, 算出两端值,59,图形, 上面的讨论都能在图中清晰地反映出来,一点与一元函数是不相同的，务请读者注意！,注,本例中的,上虽然只有惟一极值, 且为极,小值，但它并不因此成为,上的最小值这,图形, 上面的讨论都能在图中清晰地反映出来,60,图 10.3 - 9,图 10.3 - 9,61,例,12,( 最小二乘法问题 ) 设通过观察或实验得到一,上，即大体上可用直线,方程来反映变量,x,与,y,之间的对应关系 ( 参见,图10.3-10 ). 现要确定一,直线, 使得与这,n,个点,的偏差平方之和为最小,( 最小二乘方 ),图 10.3 - 10,例12 ( 最小二乘法问题 ) 设通过观察或实验得到一 上,62,解,设所求直线方程为,为此令,解 设所求直线方程为,63,把这组关于,a,b,的线性方程加以整理并求解，得,把这组关于 a, b 的线性方程加以整理并求解，得,64,二元函数泰勒展开课件,65,并由实际意义可知这极小值即为最小值.,并由实际意义可知这极小值即为最小值.,66,复习思考题,试比较本节的中值公式 (8) 与1、 里的中值公式,(12)，两者的条件与结论有何区别？,2.,对于函数,下列记号,各表示什么意义？,复习思考题 试比较本节的中值公式 (8) 与1、 里的,67,什么不可以推广到多元函数中来？,什么不可以推广到多元函数中来？,68,