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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,上页,下页,铃,结束,返回,首页,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等院校本科数学课程,空间解析几何,大 学 数 学,（,一,）,第十讲 平面曲线的方程,空间,曲面的方程,空间,曲,线的方程,脚本编写：,教案制作：,高等院校本科数学课程 空间解析几何 大 学,一、,平面,曲线与方程：,（,1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标；,（2）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程；,则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为,方程的图形。,曲线的方程常表示为：,F(x,y)=0 或 y=f(x),y,x,o,xy=2,第一节 平面曲线的方程,定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：,一、平面曲线与方程：（1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一,例1、求,平面上,圆心在原点，半径为,2,的圆的方程。,向,量式方程,|OM|=,2,解：,x,2,+y,2,=,4,普通方程,例1、求平面上圆心在原点，半径为2的圆的方程。向量式方程|,1,、向量函数,当动点按某种规律运动时,与它对应的向径也随着时间,t,的不同而改变（模长与方向的改变），这样的向径称为,变向量,，记为r,。,y,x,o,xy=2,如果变数t(a,tb)的每一个值对应于变矢,r的一个完全的值（模长与方向）,，则称,r,是变数t的,向量函数,，记为,r,=,r,(t),(a,tb).,1、向量函数 当动点按某种规律运动时,与它对应的向径也,2,、,向量,函数的分量表示,设平面上取定的标架为,O;,e,1,e,2,则,向量,函数可,表示为,r,(t)=x(t),e,1,+y(t),e,2,(a,tb).（1）,其中,x(t),y(t)是,r,(t),的分量,它们分别是变数,t,的函数,。,y,x,O,r(t),P(x(t),y(t),2、向量函数的分量表示 设平面上取定的标架为O;e1,3,、,向,量式参数方程,若取,(a,tb),的一切可能值，由,的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这径矢可由t的某一值t,0,(,a,t,0,b)通过（1）完全确定，则称表达式（1）为曲线的,向,量式参数方程,，其中t为参数。,表示的向径r(t),r,(t)=x(t),e,1,+y(t),e,2,(a,tb).（1）,y,x,O,r(t),A,B,P(x(t),y(t),3、向量式参数方程 若取(atb)的一切可能值，由,4,、坐标式参数方程,曲线的参数方程,又,常可以写成下列形式：,称为曲线的,坐标式参数方程。,y,x,O,r(t),r(a),r(b),A,B,P(x(t),y(t),4、坐标式参数方程曲线的参数方程又常可以写成下列形式：称为曲,一、,定义:若空间中的曲面,S,与三元方程,F,(,x,y,z,)=0,有如下关系:,(1),S,上任一点的坐标满足方程,F,(,x,y,z,)=0;,(2)不在,S,上点的坐标都不满足方程,F,(,x,y,z,)=0;,那末,方程,F,(,x,y,z,)=0叫做,曲面,S,的方程,而曲面,S,叫做方程,F,(,x,y,z,)=0,的图形.,F,(,x,y,z,)=0,S,x,y,z,o,第二节,空间,曲面的方程,2,x,+3,y,4,z,19=0.,在空间解析几何中,曲面被看成,空间点的几何轨迹,一、定义:若空间中的曲面S与三元方程F(x,y,z),(,x,x,0,),2,+(,y,y,0,),2,+(,z,z,0,),2,=,R,2,称,此,方程为,球面的标准方程,.,特别:当球心在原点,O,(0,0,0),时,球面方程:,x,2,+,y,2,+,z,2,=,R,2,例3、求,三维空间中,球心为,M,0,(,x,0,y,0,z,0,),半径为,R,的球,面,的方程,.,解：,对于球面上任一点,M,(,x,y,z,),都有|,M,M,0,|,2,=,R,2,.即,M,0,M,R,F,(,x,y,z,)=0,上半球面,(x x0)2+(y y0)2+(z z0,解:原方程可改写为,(,x,1,),2,+(,y,+2,),2,+,z,2,=5,故:原方程表示球心在,M,0,(1,2,0,),半径为 的球面.,例5:方程,x,2,+,y,2,+,z,2,2,x,+4,y,=0,表示怎样的曲面?,解:原方程可改写为(x 1)2+(y+2)2,面,F,(,x,y,z,)=0,:,面F(x,y,z)=0:,例6,方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,例6 方程,以上几例表明研究空间曲面有,两个基本问题,：,（2）已知,曲面方程,，研究曲面形状,（1）求曲面方程,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知曲面方程，,二、曲面的参数方程,1、双参数向量函数,在两个变数u,v的变动区域内定义的函数,r,=,r,(u,v)或,r,(u,v)=x(u,v),e,1,+y(u,v),e,2,+z(u,v),e,3,(2),称为双参数向量函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变向量,r,(u,v)的分量，它们都是变数u，v的函数,。,当u,v取遍变动区域的一切,值时，向径,OM,=,r,(u,v),=x(u,v),e,1,+y(u,v),e,2,+z(u,v),e,3,的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v),所画的轨迹一般为一张曲面。,M,o,z,x,y,S,二、曲面的参数方程1、双参数向量函数在两个变数u,v的变动区,2、曲面的向量式参数方程,定义：若取u,v(a,ub,cvd)的一切可能值，由,(,2,),表示的径矢,r,(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的向径，而这径矢可由u,v的值,(a,ub,cvd)通过,(,2,),完全决定，则称,(,2,),式为曲面的,向量式参数方程,，其中u,v为参数。,3、曲面的坐标式参数方程,因为径矢r(u,v)的分量为x(u,v),y(u,v)z(u,v),所以曲面,的参数方程也常写成,表达式,(,3,),称为曲面的,坐标式参数方程,。,r,(u,v)=x(u,v),e,1,+y(u,v),e,2,+z(u,v),e,3,(2),2、曲面的向量式参数方程 定义：若取u,v(au,例5 求,空间中球,心在原点，半径为r的球面的参数方程,。,M,r,x,y,z,P,Q,解：设M(x,y,z)是球面上任一点，,M在xOy 坐标面上的射影为P，而,P在x轴上的射影为Q，又设在坐标,面上的有向角,(,i,OP)=,与,Oz轴的交角MOZ=,，则,r,=OM=OQ+QP+PM,且,PM=(rcos,),k,所以,r,=(rsin,cos,),i,+,(,rsin,sin,),j,+(rcos,),k,(4),此即为中心在原点，半径为r的球面的向量式参数方程,。,QP=(|OP|sin,),j,=(rsin,sin,),j,OQ=(|OP|cos),i,=(rsin,cos,),i,例5 求空间中球心在原点，半径为r的球面的参数方程。M r,球,心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为,(4),(5),中的,为参数，其取值范围分别是,0,与-,。,r,=(rsin,cos,),i,+,(,rsin,sin,),j,+(rcos,),k,(4),M,r,x,y,z,P,Q,球心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为 (,M,x,y,z,P,Q,M,r,x,y,z,P,Q,0,与-,。,M xyzPQ M rxyzPQ0与-,x,y,z,x,y,z,O,R,x,y,z,O,O,xyzxyzORxyzOO,例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。,解：如图,有,P,x,y,z,o,o,M,Q,r,r,=OM=OQ+QP+PM,而OQ=(Rcos,),i,QP,(Rsin),j,PM=u,k,所以,r,=(Rcos,),i,+,(Rsin),j,+u,k （,6,）,此即为圆柱面的向量式参数方程。,其坐标式参数方程为,(,6,),(,7,),式中的,，u为参数，其取值范围是,-,，-u+,例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。解：如,x,y,z,x,y,z,x,y,z,柱面坐标系的三组坐标面,O,O,O,xyzxyzxyz柱面坐标系的三组坐标面OOO,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,设空间曲线C为空间两曲面的交线，则空间曲线C,特点,：,2.1空间曲线的一般方程,第二章,轨迹与方程（空间曲线）,的一般方程为,空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方,例,1,方程,表示什么样的曲线？,例1 方程 表示什么样的曲,例1,方程 表示什么样的曲线？,解,交线如图:,例1 方程 表示什么样的曲线,消去变量,z,后得：,称为曲线,C,关于,xOy,的,投影柱面.,设空间曲线,C,的一般方程：,三、空间曲线在坐标面上的投影,称为曲线,C,在,xOy,面上的,投影曲线.,投影柱面与,xOy,面的交线：,消去变量z后得：称为曲线C关于xOy的投影柱面.设空间曲线C,25,如图:投影曲线的研究过程.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面,26,类似地：,可定义空间曲线在其他坐标面上的投影.,面上的,投影曲线:,面上的,投影曲线:,空间曲线在 面上的,投影曲线,类似地：面上的投影曲线:面上的投影曲线:空间曲线在 面,27,例4,求曲线 在坐标面上的投影.,解,（1）消去变量,z,后得,在,xOy,面上的投影为,例4 求曲线 在坐标面上的投,28,所以在,xOz,面上的投影为线段.,（3）同理在,yOz,面上的投影,也为线段.,（2）因为曲线在平面 上，,所以在xOz面上的投影为线段.（3）同理在yOz面上的投影（,29,空间曲线的参数方程,二、,空间曲线,的参数方程,y,x,z,0,空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程yxz0,动点从,A,点出发，经过,t,时间，运动到,M,点,螺旋线的参数方程,取时间,t,为参数，,解,动点从,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要,性质,：,上升的高度与转过的角度成正比,即,上升的高度,螺距,螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过,作业,P,139,1.,2.,5.(2)(3),作业 P1391.2.5.(2)(3),
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