第二章控制系统的数学模型课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 控制系统的数学模型,2.1 引言,2.2 运动对象的微分方程,2.3 线性微分方程的求解,2.4 控制系统的复域数学模型,2.5 控制系统的结构图,2.6 信号流图和梅逊公式,2.7 数学模型的实验测定,第二章 控制系统的数学模型2.1 引言,1,动力系统的分析可归结为如下几步：,定义系统及其相关的组成部分；,对系统作必要的假设，建立该系统的数学模型；,根据所建立的数学模型写出微分方程；,求解微分方程，得出输出变量的表达式；,对所求得的解进行检验；,根据检验的结果，必要的时候进行重新分析；,动力系统的分析可归结为如下几步：定义系统及其相关的组成部分,2,建立控制系统数学模型的方法有以下两种：,分析法,实验法,所建立的数学模型有如下几种表现形式：,时域表示法,复域表示法,频域表示法,建立控制系统数学模型的方法有以下两种：分析法 所建立的数学,3,列写系统数学模型的步骤可归纳如下,：,分析系统及元部件的工作原理，从中确定系统的输入量和输出量；,根据所分析系统（或元部件）在工作过程中所遵循的物理、化学或其它相关规律，写出它们各自的微分方程；,根据所确定的系统输入量和输出量，消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式即为所求的数学模型,列写系统数学模型的步骤可归纳如下：分析系统及元部件的工作原,4,如下图所示为由 组成的四端无源网络。试列写以 为输入量，为输出量的网络微分方程。,如下图所示为由 组成的四端无源网络。试列写以,5,解：设回路电流为 和 。根据克希霍夫定律可得如下方程：,其中：,解：设回路电流为 和 。根据克希霍夫定律可得,6,可以求得 和 如下所示：,通过计算可以得到以下的数学模型：,可以求得 和 如下所示：通过计算可以得到以下,7,线性微分方程的特性,假设线性系统的微分方程如下：,叠加性,当 时，上述方程的解为 ；而当,时，上述方程的解为 ，则当,时，上述方程的解为,均匀性,假设 （为常数），则方程的解为,线性微分方程的特性假设线性系统的微分方程如下：叠加性 当,8,非线性元件微分方程的线性化,单变量的非线性系统,多变量的非线性函数,非线性元件微分方程的线性化 单变量的非线性系统 多变量的非线,9,传递函数,定义,在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与其输入的拉氏变换的比值,计算,方法,设线性定常系统由下述 阶线性常微分方程描述：,传递函数 定义在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与其输入的拉,10,性质,性质1,传递函数是复变量 的有理真分式函数，且具有复变量函数的所有性质,性质2,传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，而与外部输入形式（如幅值、大小等）无关,性质3,传递函数虽然只与线性系统的结构和参数有关，但它不提供任何关于该系统的具体物理结构,性质4,当一个线性系统的传递函数未知，而又无法从理论上对其进行推导时，可以给系统加上已知的输入信号，根据其输出响应来研究系统的传递函数,性质5,传递函数与微分方程之间存在着如下的关系：如果将用 来 置换，则可将传递函数替换成微分方程,性质6,传递函数 的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应,性质性质1 传递函数是复变量 的有理真分式函数，,11,举例,根据前面介绍的 网络所得到的微分方程：,在初值为零的条件下，对上述方程两边取拉氏变换可得：,系统的传递函数为：,举例 根据前面介绍的 网络所得到的微分方程：,12,典型环节的传递函数,比例环节,式中：为增益；,特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟；,实例：电子放大器、齿轮、感应式变送器等,惯性环节,式中：为时间常数；,特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡；,实例：液体加热系统和轮系结构等等,典型环节的传递函数 比例环节式中：为增益；惯性环节式,13,微分环节,理想微分：,一阶微分：,二阶微分：,特点：,输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势,实例：,测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即属于微分环节,微分环节理想微分：一阶微分：二阶微分：特点：输出量正比,14,积分环节,特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能,实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等均属于积分环节,振荡环节,式中：为阻尼比 ；为固有频率 ；,特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出时会出现振荡,实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数属于该环节,积分环节特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出,15,纯时间延迟环节,式中：为延迟时间；,特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一个固定的时间间隔,实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型一般均包含有延迟环节,纯时间延迟环节式中：为延迟时间；特点：输出量能准确复,16,结构图的基本组成,方框（环节）（,Block Diagram,）,表示输入到输出单向传输间的函数关系，方框中写入元部件或系统的传递函数。显然，方框的输出等于方框的输入与传递函数的乘积，即 ，如下图所示,结构图的基本组成方框（环节）（Block Diagram）,17,信号线(Signal line),信号线为带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数（如下图所示）,信号线(Signal line)信号线为带有箭头的直线，箭,18,比较点（或综合点）（Summing Point）,比较点表示两个或两个以上的输入信号进行加减运算。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写（如下图所示）。需要注意的是进行相加或相减的量，必须具有相同的量刚,比较点（或综合点）（Summing Point）比较点表示,19,引出点（或测量点）（Branch Point）,引出点表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号，在数值和性质方面完全相同（如下图所示）,引出点（或测量点）（Branch Point）引出点表示信,20,结构图的基本连接方式,串联连接,特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量,简化结果：简化后环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积，即：,结构图的基本连接方式 串联连接 特点：前一环节的输出量就是后,21,并联连接,简化结果：并联连接简化后环节的等效传递函数等于所有传递函数之和，即：,推而广之，对于,个环节并联，则简化后的等效传递函数为：,并联连接 简化结果：并联连接简化后环节的等效传递函数等于所有,22,反馈连接,负反馈连接,正反馈连接,反馈连接 负反馈连接正反馈连接,23,结构图的简化,引出点的移动,引出点前移,引出点后移,结构图的简化 引出点的移动 引出点前移引出点后移,24,比较点的移动,比较点前移,比较点后移,比较点的移动 比较点前移比较点后移,25,信号流图的基本术语,信号流图示意图如下图所示：,信号流图的基本术语 信号流图示意图如下图所示：,26,节点（,Node,）,代表方程式中的变量，以小圆圈表示（如示意图中的,1,，,2,，,6,均为节点）,支路,（,Branch,）,表示信号流图中单方向的一条通路，它连接了输入输出两个变量，其上标以输入和输出之间的增益，所以支路相当于乘法器，如示意图中的 等均为支路，而数字,等为相应支路的增益,节点（Node）代表方程式中的变量，以小圆圈表示（如示意图,27,源节点,(Source Node),在源节点上，只有信号输出的支路而没有信号输入的支路。源节点一般代表系统的输入变量，故也被称为输入节点，如示意图中的 节点即为源节点,阱节点（,Sink Node,）,在阱节点上，只有输入的支路而没有输出的支路。阱节点一般代表系统的输出变量，故也被称为输出节点，如示意图中的 节点即为阱节点,混合节点（,Mixed Node,）,在混合节点上，既有输入支路又有输出支路，如示意图中的 等节点就是混合节点,源节点(Source Node)在源节点上，只有信号输出的,28,前向通路(Forward Pass),信号从源节点到阱节点传递时，每个节点只通过一次的通路，被称之为前向通路。前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益。一般用 表示。根据这个定义，如示意图中的系统一共有如下几条前向通路：,前向通路(Forward Pass)信号从源节点到阱节点传,29,回路（,Loop,）,信号的起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。回路中所有支路的乘积称为回路增益，用 表示。如示意图中的系统一共有如下几条回路：,回路（Loop）信号的起点和终点在同一节点，并与其它节点相,30,不接触回路（,Nontouching Loop,）,当两个回路之间没有公共节点时，这两个回路就叫做不接触回路。在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。如示意图中的系统一共有如下几条不接触回路：,不接触回路（Nontouching Loop）当两个回路之,31,信号流图的性质,信号流图适用于线性系统,支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，它起到乘法器的作用，信号只能沿支路上的箭头单向传递，当信号从一个节点传递到另一个节点时，将被乘以支路增益变成另一个信号,节点标志系统的变量，一般节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示,对于混合节点而言，可以通过增加一个具有单位增益的支路把它作为阱节点来处理,对于一个给定的系统，节点变量的设定是任意的，因此，信号流图不是唯一的,信号流图的性质 信号流图适用于线性系统,32,从 到 的第 条前向通路传递函数,梅逊公式介绍,R-C:,称为系统特征式,其中:,所有单独,回路增益,之和,L,a,L,b,L,c,所有两两互不接触回路增益乘积之和,L,d,L,e,L,f,所有三个互不接触回路增益乘积之和,k,称为第k条前向通路的余子式,求法:,去掉第k条前向通路后所求的,从 到 的第,33,举例,利用梅,逊增益公式,求如下图所示系统的闭环传递函数,举例利用梅逊增益公式求如下图所示系统的闭环传递函数,34,该系统共有,3,个前向通路，分别为：,该系统共有,4,个单独回路，分别为：,该系统共有3个前向通路，分别为：该系统共有4个单独回路，分,35,系统只有一对互不接触回路，其不接触回路增益为：,故根据,Mason,公式，可得系统的闭环传递函数为：,系统只有一对互不接触回路，其不接触回路增益为：故根据Mas,36,