变分法数值求解资料

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,第九小组,变分法,主讲内容,变分法的原理,变分法解基础例题,变分法波函数的选取,变分法研究势场中存在束缚态的条件,变分法解氦原子,微扰论虽然是量子力学近似最有效的方案之一，但它也有很多局限性。,首先要在哈密顿量,H,中分出,H0,和微扰,H,，而且,H0,的本征值和本征函数也要给定。其次，如果要算高级近似，其计算工作量实际上非常大。,另外，在量子场论的微扰计算中，往往出现发散困难，即虽在计算最低级近似时，微扰论的结果收敛，但在计算二级或高级修正后，微扰矩阵元的积分发散。为克服发散困难，通常要用重整法或维数规则化等方法。,事实上，微扰级数的收敛性质是很难证明的。往往只计算一级或二级修正，再将所得结果与实验结果比较来看它的符合程度。,（1）变分法的引入,经典力学中,变分原理 =,哈密顿方程,量子力学中,变分原理 =,薛定谔方程,(1),薛定谔方程的变分原理,由,及归一化条件,另外由于 是复数，与 可视为独立变量，在的约束条件下的极值条件得,其中是约束条件(2)的,拉格朗日不定乘子,。,(1),薛定谔方程的变分原理,由(3)及 的厄米性，得,由(4)得 及,由(5)可知，拉格朗日不定乘子实际上是体系的本征能量。,(1),薛定谔方程的变分原理,薛定谔方程,在归一化条件下,对波函数作一微小的变动,则归一化条件变为,即,(2),相应于本征态的本征能量取极小值,相应的 态的平均能量或能量本征值 的变化为,利用（,10,）及 得,(2),相应于本征态的本征能量取极小值,从而证实，满足薛定谔方程的本征函数，使本征能量,取最小值,(2),相应于本征态的本征能量取极小值,变分法-解基态,具体做法：,1、尝试波函数的选取,2、计算能量平均值,3、将 对,取极小值,4、将得到的带回 和 ,即得到基态能量E,0,和波函数的近似值。,变分法-解第一激发态,做法,1、给尝试波函数加上条件,2、重复上述2、3、4步骤，即得到第一激发态能量和波函数的近似值。,变分法小结,变分法只给出能量的上限,优点：计算简单,缺点：无法估计误差大小,变分法可采用单参数，也可采用多参数,重中之重在于,波函数的选取,例题无限深势阱,题目：粒子在无限深势阱（-ax0中运动，试用变分法求基态能级的上限，并和精确值比较，试探波函数取下列几种类型：（a）（b）（c）,解：基态应该是偶宇称，三种试探波函数显然都符合这个条件。,那么具体是怎样选择试探波函数了？下面我们来分析一下。,首先题中给出的势场V（x)=g|x|，满足,V(x)=V(-x),这样哈密顿量,在宇称变换P下不变，一维定态问题的束缚态并不简并，应有确定的宇称，其中基态无节点必为偶宇称态。,再根据节点交错定理和宇称交错定理，第一激发态有一个节点为奇宇称态。此外，由于势函数没有奇异性，束缚定态的波函数还应该满足波函数以及一阶导数连续的条件。,根据以上的考虑，基态的波函数我们可以考虑选,等的形式。,而第一激发态的试探波函数则可以考虑选择,等的形式。,我们先来看看计算结果，是否符合这样的判断。,现在取试探波函数,来计算基态波函数及其能量。,按照变分法，先计算在,下的能量的期望值：,（1）,而波函数的模平方,（2）,粒子的哈密顿量,按照（1），（2）式可得，能量期望值为：,上式中的,的计算如下给出：,以及计算有;,又因为有：由极值条件求得最佳的 及能量的最小值为：,可以解得：,同理：对于试探波函数,容易求得,由极值条件 求得结果如下为：,带入波函数中，即得基态能级的上限为：,对于波函数,a为变分参数，N为归一化常数，容易求出,由极值条件 求得最佳a及E（a）最小值为,基态能级的精确值为：,（a）,(b),(c),三种变分法结果以（b）结果为最好，比精确值高0.5%；,（c）结果比精确值高6%；（a）结果最差，比精确值高,17%。究其原因，主要在于：真正的基态波函数，在x=0,处 及 均应连续，而且由于 为偶宇称，,三种试探波函数中只有（b）满足这些条件，在 处,（概率最大的区域）的性质比较接近真实情况，因此所,得能量值更接近于真实的基态能级。,下面来求基态能量的精确值。,在经典容许的区域（|x|E/g），能量的本征函数可写为：,其中,当,能级取决于 处 的边界条件。,奇宇称态边界条件为：,偶宇称态边界条件为：,如令 ,除一个常数因子外，能量的本征函数可写为;,利用贝塞尔函数的递推公式,因此 处边界条件可以表示为：,由贝塞尔函数查表得到上式的第一个根（相当于基态）为：,O(_)O,谢谢,氦原子基态的讨论,郑飞鹏,交流安排,单参数求解氦原子基态,1,双参数求解氦原子基态,2,四参数求解氦原子基态,3,单参数情况,（一）哈密顿算符,动能项,势能项,相互作用项,假设两电子耦合很弱,（二）尝试波函数的选择,由于耦合存在，尝试波函数改写为,（三）计算能量平均值,A 动能项,B 势能项,C 相互作用能,（四）求极值确定确定基态能量,（五）.结果分析,变分法,微扰近似,实验值,在该问题上，变分法优于微扰论,两个处于基态,1s1s的电子,库仑相互作用,较大,看成微扰,误差较大,电子处于基态,电子屏蔽效应,有效电荷数应,在1与2之间,结果是有效电荷数1.688，合理！,随着1电子,远离基态,库仑相互,作用减小,电子屏蔽,效应减弱,有效电荷,数增加,组态的能量,也就增加,与函数图,像吻合,E虽然像是有效电荷Z的,函数，但仅在E取极值的,时候有意义,（3）轨道贯穿原子实极化,+,-,-,1.电子靠近内层，其产生的电场作用于原子实，造成原,子实正负电荷中心偏移，产生电偶极矩，反过来对价,电子作用，造成能量减少,2.电子贯穿原子实，与带正电荷的原子核作用较,强，能量减少,二.两参数变分法模型,模型较为粗糙，因为两电子所感受到,的电子屏蔽是否相同，我们无从得知,当x=y时，右边的尝试波函数就退化为单参数模型,二元函数的优化计算问题,definetely,x=y,退化成单参数模型，这点我们也可以,理解，处于基态的两个电子的地位是相同的，彼此感受到的电子屏蔽效应是一样的,（三）四参数变分模型,刚才理论的计算值-2.84766与实验值-2.9033还是有一定的差距的，那么问题出在何处？,电子是玻色子，上述尝试波函数未考虑,全同粒子波函数的交换对称性要求,manual work,利用Mathematica7.0寻找最优解,理论探讨,双参数变分模型,四参数变分模型,实验值,-2.84766,-2.87566,-,2.9033,后者试探波函数更符合实际情况，因此精度高,若用同样方法考虑类氦原子，如,等，精度将更高！,目前，有人利用39个变分参数，计算出-2.9037，,与实验值-2.9033更接近,Thank You!,Q&A,我们可以直接由薛定谔方程求解势场中存在束缚态的精确条件，但是当定态方程不能求解析解的时候，用变分法相对简单些。,下面我们比较变分法求解势场中存在束缚态问题与精确解法的区别。,用变分法研究势场 中存在束缚态的条件,研究对象,1.,2.,3.,4.,5.,6.,首先变分法登场,1.用变分法求中心力场存在束缚态的条件,设中心力场V(r)满足条件V(r)1.95,5.对 得到,将代入式（5）得1/41/8，无论e取何值，都存在束缚态,6.对,无极大值，得=0，这表示此势场中不能形成束缚态,下面讨论束缚态的精确解,令l=0的束缚定态波函数与能量为,u(r)满足如下方程和条件,(22),对 方程（22）和它的解为,r=a处的边界条件为,以上两式相比得,其中x=2ka,上式可用作图法求x,从而得到能量E.此方程有解的条件是,对 方程（22）为,令 ，其中与为待定系数，做变换 ，方程变为,选择参数,方程变为m阶贝塞尔方程,其解为m阶贝塞尔函数 由条件u（0）=0，u()=0，得由贝塞尔函数的性质分析知，因此f0.7228,对,得到的束缚态条件分别是f0.84与f1.34,对,无论e取何值，均有解，,对,无论A取何值，均无解,讨论,(1),用变分法得到势场,V(r),中存在束缚态的条件是充分条件,不是必要条件。当条件满足时,束缚态一定存在,;,当条件不满足时,束缚态不一定不存在。,(2),变分法比较简单,特别是当定态方程不能求解析解时,要用数值计算,这种计算很复杂。,(3),当势场一定存在或一定不存在束缚态时,用变分法得到的结果同精确结果相同。,(4),由于变分法比较简单,虽然由它得到的束缚态的条件是充分条件,不是必要条件,它仍是适用的。,人有了知识，就会具备各种分析能力，,明辨是非的能力。,所以我们要勤恳读书，广泛阅读，,古人说“书中自有黄金屋。,”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，,培养逻辑思维能力；,通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，,培养文学情趣；,通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。,有许多书籍还能培养我们的道德情操，,给我们巨大的精神力量，,鼓舞我们前进,。,