定积分的定义课件

1.5.3 定积分的概念,1.5.3 定积分的概念,1.定积分的概念,（1）定积分的定义式,(2)积分下限_，积分上限_，积分区间_，被积函,数_,积分变量x,被积式_.,a,b,a,b,f(x),f(x)dx,积分上限,积分号,积分下限,被积函数,1.定积分的概念aba,bf(x)f(x)dx积分上限积,2.定积分的几何意义,如果在区间a,b上函数f(x)连续且恒有_，那么定,积分 表示由直线_和曲线_所围,成的曲边梯形的面积.,f(x)0,x=a,x=b,y=0,y=f(x),2.定积分的几何意义f(x)0 x=a,x=b,y=0y=f,3.定积分的性质,（1）（k为常数).,（2）,（3）,3.定积分的性质,二、定积分的运算性质,正确理解定积分的性质，思考下列问题：,探究1:,定积分的性质（2）能推广到多个函数和或差的定积分,运算吗？,提示:,能.推广公式为,二、定积分的运算性质,探究2:,定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和,吗？,提示:,能.推广公式为,探究2:定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和,【探究提升】,定积分的运算性质的关注点,（1）线性运算：定积分的性质（1）（2）称为定积分的线性运算，等式两边积分区间保持不变.,(2)区间可加性：定积分的性质（3），称为定积分对积分区间的可加性，等式右边任意两个积分区间的交集都是空集，各个积分区间的并集等于左边的积分区间.,【探究提升】定积分的运算性质的关注点,类型 一,利用定义求定积分,1.利用定积分的定义求 的值.,类型 一 利用定义求定积分,【技法点拨】,用定义法求积分的步骤,（1）分割：将积分区间a,bn等分.,（2）近似代替：取点,i,x,i-1,x,i,，可取,i,=x,i-1,或者,i,=x,i,.,（3）求和：,（4）求极限：,【技法点拨】用定义法求积分的步骤,【变式训练】,利用定积分的定义计算 的值.,【解析】,把区间1,2分成n等份,每个小区间的长度为,在 上取,所以,作积求和,所以,【变式训练】利用定积分的定义计算 的值.,类型 二,定积分几何意义的应用,根据定积分的几何意义结合函数图象求解定积分的值，,并总结用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤.,1.利用定积分的几何意义填空.,(1),(2),2.定积分 的几何意义是什么？,类型 二 定积分几何意义的应用,【解题指南】,1.根据定积分的几何意义,通过求相应图形的面,积求定积分的值.,2.弄清被积函数的图象，结合定积分的几何意义作答.,【解析】,1.（1）表示的是图（1）中阴影所示长方形的,面积，由于这个长方形的面积为2，所以,答案:,2,【解题指南】1.根据定积分的几何意义,通过求相应图形的面,(2)表示的是图（2）中阴影所示梯形的面积，由于这个,梯形的面积为 所以,答案:,(2)表示的是图（2）中阴影所示梯形的面积，由于这,2.被积函数 的图象是以原点为圆心，半径r=3的圆,位于x轴上方的部分（包括与x轴的交点）.由积分的几何意,义可知，定积分 表示此半圆的面积.,2.被积函数 的图象是以原点为圆心，半径r,【互动探究】,本题2若改为“求定积分 的值”，,结果怎样？,【解题指南】,根据定积分的几何意义，通过求规则图形的面,积求定积分的值.,【互动探究】本题2若改为“求定积分 的,【解析】,被积函数 的图象是以原点为圆心，半径,r=3的圆位于x轴下方的部分（包括与x轴的交点）.由积分的,几何意义可知，定积分 表示此半圆的面积S=,的相反数，故,【解析】被积函数 的图象是以原点为圆心，,【技法点拨】,用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤,（1）准确画出各曲线围成的平面区域.,（2）把平面区域分割成容易表示的几部分，同时注意x轴下方有没有区域.,（3）解曲线组成的方程组确定积分的上、下限.,（4）根据积分的性质写出结果.,【技法点拨】用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤,类型 三,定积分性质的应用,熟练根据定积分的性质进行相关的运算，并总结利用定,积分的性质求定积分的策略.,1.已知 则 (),2.已知,类型 三 定积分性质的应用,【解题指南】,1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积分的和.,2.直接利用定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积分的差,然后再根据定积分的几何意义求解.,【解题指南】1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定,【解析】,1.选C.由定积分的性质可知,2.,因为 表示x=0,x=2,y=0,y=2x围成的图形的面积，,所以,所以,=84=4.,答案:,4,【解析】1.选C.由定积分的性质可知,【技法点拨】,利用定积分的性质求定积分的策略,（1）利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合,对于每一个积分都可以利用定积分的几何意义求出,从而得到所求定积分的值.,（2）求分段函数的定积分，可先把每一段的定积分求出后再相加.,提醒：,要注意合理利用函数的奇偶性、对称性求解.,【技法点拨】利用定积分的性质求定积分的策略,【拓展延伸】,奇函数、偶函数在对称区间上的积分,（1）若f（x）为偶函数，且在-a,a上图象连续不断，,则,（2）若f（x）为奇函数，且在-a,a上图象连续不断，,则,【拓展延伸】奇函数、偶函数在对称区间上的积分,【变式训练】,已知函数f(x)为偶函数.证明,【证明】,由定积分的性质可知,由定积分的几何意义及偶函数的图象特征可知,所以,【变式训练】已知函数f(x)为偶函数.证明,1.若在区间1,2上,f(x)0恒成立,则 的符号(),A.一定为正 B.一定为负,C.可能为正,也可能为负 D.不能判断,【解析】,选A.由定积分的概念可知,的值为曲边梯形,的面积.而该曲边梯形始终在x轴的上方,故其值为正.,1.若在区间1,2上,f(x)0恒成立,则,2.求曲线y=e,x,直线x=2,y=1围成的图形的面积时,若选择x为,积分变量,则积分区间为(),A.0,e,2,B.0,2 C.1,2 D.0,1,【解析】,选B.因为y=1时，由1=e,x,，所以x=0，所以根据围成,图形的形状及积分变量可知,积分区间为0,2.,2.求曲线y=ex,直线x=2,y=1围成的图形的面积时,若,3.已知 则(),【解析】,选D.由定积分的性质可知,3.已知 则(),4.计算,【解析】,答案:,4,4.计算,5.由 所围成的图形的面积写成定积,分的形式为_.,【解析】,由定积分的定义和几何意义可知,答案:,5.由 所围成的图形的,6.已知,求：（1）,（2）,（3）,6.已知,