正射影和三垂线定理课件

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,三垂线定理,三垂线定理,1,p,O,自一点向平面引垂线，,垂足,叫做这点在这个平面上的,射影,；,这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的,垂线段,。,Q,(1)射影,pO 自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平,2,一条直线和一个平面,相交,，但,不和这个平面垂直,，这条直线叫做这个平面的,斜线,，斜线和平面的交点叫做,斜足,。,斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的,斜线段,。,A,C,B,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做,斜线在这个平面上的射影,；,垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的,斜线段在这个平面上的射影,。,斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。,一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，,3,A,C,B,D,E,垂线段比任何一条斜线段都短,从平面外一点,向这个平面所引的垂线段和斜线段,AB,、,AC,、,AD,、,AE,中，那一条最短？,ACBDE 垂线段比任何一条斜线段都短 从平面外一,4,A,C,B,O,OB=OC,AB=AC,OB,OC,AB,AC,AB=AC,OB=OC,AB,AC,OB,OC,射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长,相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长,从平面外一点,向这个平面所引的垂线段和斜线段,及其它们在该平面内的射影：,ACBOOB=OC AB=ACOBOC ,5,A,C,B,O,定理,从平面外,一,点,向这个平面所引的,垂线段和斜线段中，,（1）,射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长,（2）,相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长,（3）,垂线段比任何一条斜线段都短,ACBO 定理 从平面外一（1）射影相等的两条斜,6,O,a,A,P,已知,PO、PA,分别是平面,的垂线、斜线，,OA,是PA在平面上的射影。a,，,a,OA,。,求证：,a,PA,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条,斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,（2）三垂线定理,OaAP 在平面内的一条直线，如果和这个,7,三垂线定理,：,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,O,a,A,P,PO,a,a,PA,OA,a,a,平面,PAO,PO,a,PA,平面,PAO,1,2,3,证明：,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线,8,P,A,O,a,三垂线定理包含几种垂直关系？,线射垂直,P,A,O,a,线面垂直,线斜垂直,P,A,O,a,直,线,和,平,面,垂直,平面内的直,线,和平面一条斜线的,射,影垂直,平面内的直,线,和平面的一条,斜,线垂直,PAOa三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直PAOa,9,P,A,O,a,b,c,d,e,三垂线定理,是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：,相交直线,异面直线,使用三垂线定理还应注意些什么？,解题指导,PAOabcde三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂,10,三垂线定理解题的关键：找三垂！,怎么找？,一找直线和平面垂直,二找平面的斜线在平面,内的射影和平面内的,一条直线垂直,注意：,由,已知,一垂、二垂,推出,第三垂，,并不是三垂都作为已知条件,P,A,O,a,解题指导,三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找,11,例3、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角,器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？,解：在道边取一点C，,使BC与道边所成水平角等于90，,再在道边取一点D，,使水平角CDB等于45，,测得C、D的距离等于20m,B,A,C,90,D,45,例3、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角,12,B,A,C,90,D,45,BC是AC的射影 且CDBC CDAC,CDB=45，CDBC，CD=20m BC=20m，,在直角三角形ABC中,AC,2,=AB,2,+BC,2,，AC=15,2,+20,2,=25(m),答：电塔顶与道路的距离是25m。,因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。,BAC90D45 BC是AC的射影 且CDBC,13,P,C,B,A,O,练习1 已知,P,是平面,ABC,外一点，,PA,平面,ABC,，,AC,BC,，,求证：,PC,BC,证明：,P,是平面,ABC,外一点,PA,平面,ABC,PC,是平面,ABC,的斜线,AC,是,PC,在平面,ABC,上的射影,BC,平面,ABC,且,AC,BC,由三垂线定理得,PC,BC,PCBAO练习1 已知P 是平面ABC 外一点，PA,14,练习2 直接利用三垂线定理证明下列各题：,(1),已知：,PA,正方形,ABCD,所在平面，,O,为对角线,BD,的中点,求证：,PO,BD,，,PC,BD,(3)已知：,在正方体,AC,1,中，求证：,A,1,C,B,1,D,1,，,A,1,C,BC,1,(2)已知：,PA,平面,PBC,，,PB=PC,，,M,是,BC,的中点，,求证：,BC,AM,A,D,C,B,A,1,D,1,B,1,C,1,(1),(2),B,P,M,C,A,(3),P,O,A,B,C,D,练习2 直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)已知：PA,15,(1),PA,正方形,ABCD,所在平,面，,O,为对角线,BD,的中点，,求证：,PO,BD,，,PC,BD,P,O,A,B,C,D,证明:,ABCD,为正方形,O,为,BD,的中点,AO,BD,又,AO是PO在ABCD上的射影,PO,BD,同理，,AC,BD,AC是PC在ABCD上的射影,PC,BD,(1)PA正方形ABCD所在平POABCD证明:ABC,16,P,M,C,A,B,(2)已知：,PA,平面,PBC,，,PB=PC,，,M,是,BC,的中点，,求证：,BC,AM,BC,AM,证明:,PB,=,PC,M,是,BC,的中点,PM,BC,PA,平面,PBC,PM是AM在平面PBC上的射影,PMCAB(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，BC,17,(3),在正方体,AC,1,中，,求证：,A,1,C,BC,1,，,A,1,C,B,1,D,1,在正方体,AC,1,中,A,1,B,1,面,BCC,1,B,1,且,BC,1,B,1,C,B,1,C,是,A,1,C,在面,BCC,1,B,1,上的射影,C,B,A,1,B,1,C,1,A,D,D,1,证明：,C,B,A,1,B,1,C,1,A,D,D,1,同理可证，,A,1,C,B,1,D,1,由三垂线定理知,A,1,C,BC,1,(3)在正方体AC1中，在,18,P,M,C,A,B,P,A,O,a,A,1,C,1,C,B,B,1,O,A,a,P,我们要学会从纷繁的已知条件中找出,或者创造出符合三垂线定理的条件,解题回顾,，怎么找？,PMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP,19,直线,a,在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。,P,A,O,a,例如：当,b,时，,b,OA,注意,：,如果将定理中,“,在平面内,”的条件,去掉，结论仍然成立,吗？,b,但,b,不垂直于,OP,解题回顾,直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一,20,若,a,是平面的斜线，直线,b,垂直于,a在平面内的射影，则 a,b,（）,若a是平面的斜线,b,直线,b,垂直于a在平面内的射影，,则 a,b,（）,若a是平面的斜线，直线,b,且,b,垂直于a在另一平面内的射,影则a,b,（）,若 a是平面的斜线，平面内,的直线,b,垂直于a在平面内的射,影，则 a,b,（）,练习3：,判断下列命题的真假：,面,ABCD,面,直线,A,1,C,斜线 a,直线,B,1,B,垂线,b,A,D,C,B,A,1,D,1,C,1,B,1,面,ABCD,面,面,B,1,BCC,1,面,直线,A,1,C,斜线 a,直线,AB,垂线,b,面,ABCD,面,直线,A,1,C,斜线 a,直线,B,1,B,垂线,b,若a是平面的斜线，直线b垂直于若a是平面的斜线,21,线射垂直,线斜垂直,P,A,O,a,P,A,O,a,平面内的一条直,线,和平面的一条斜线在平面内的,射,影,垂直,平面内的一条直,线,和平面的一条,斜,线,垂直,（3）三垂线定理的逆定理,？,线射垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直线和平面的,22,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一,条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,P,A,O,a,已知：,PA，PO,分,别是平面,的垂线和斜,线，,AO,是,PO,在平面,的射影,a,a,PO,求证：,a,AO,三垂线定理的逆定理,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一PAO,23,三垂线定理的逆理,：,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理,：,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,线射垂直,线斜垂直,定,理,逆,定,理,线射垂直,线斜垂直,定 理,逆定理,三垂线定理的逆理：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果,24,例4 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。,已知：,BAC,在平面,内，点,P,，,PE,AB,，,PF,AC,，,PO,，,垂足分别是,E,、,F,、,O,，,PE=PF,求证：,BAO,=,CAO,分析：要证 ,BAO,=,CAO,只须证,OE,=,OF,OE,AB,OF,AC,P,C,B,A,O,F,E,?,?,?,证明：,PO,OE,、,OF,是PE、PF在,内的射影,PE,=,PF,OE,=,OF,由OE是PE的射影且,PE,AB,OE,AB,同理可得,OF,AC,结论成立,例4 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，已知：,25,思考题：在四面体,ABCD,中，已知,AB,CD,，,AC,BD,求证：,AD,BC,DOBC，于是ADBC.,证明：作AO平面BCD于点O，,连接BO，CO，DO，则BO，,CO，DO分别为AB，AC，,AD在平面BCD上的射影。,O,A,D,C,B,ABCD，BOCD，,同理COBD，,于是O是BCD的垂心，,思考题：在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBDDO,26,1.在正方体,AC,1,中，,E,、,G,分别是,AA,1,和,CC,1,的中点，,F,在,AB,上，且,C,1,E,EF,，,则,EF,与,GD,所成的角的大小为（）,(A)30(B)45(C)60(D)90,D,F,A,D,C,B,A,1,D,1,B,1,C,1,G,E,M,EB,1,是,EC,1,在平面,AB,1,内的射影,EB,1,EF,DG,AM,EB,1,EF,DG,课后练习与作业,1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和DF A D C,27,2.已知,PA,、,PB,、,PC,两两垂直，,求证：,P,在平面,ABC,内的射影是,ABC,的垂心。,C,B,P,A,H,3.经过一个角的顶点引这个角,所在平面的斜线，如果斜线和,这个角两边的夹角相等，那么,斜线在平面上的射影是这个角,的平分线所在的直线。,4.在,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,求证：,AC,1,平面,BC,1,D,D,1,D,C,B,A,C,1,B,1,A,1,2.已知 PA、PB、PC两两垂直，CBPAH3.经过一个角,28,