区间估计（阅读）课件

第五节 区间估计,四、大样本置信区间,五、两个正态总体下的置信区间,一、置信区间的定义,二、置信区间的求法,三、单个正态总体参数的置信区间,第五节 区间估计四、大样本置信区间一、置信区间,一、区间估计的定义,满足,定义1,:设,是 一个待估参数，其参数空间为,。对给定的,(0,1)若由样本,x,1,x,2,x,n,确定的两个统计量,则称区间,是,的置信水平(置信度)为,的(,双侧,),置信区间,.,分别称为,(,双侧,),置信下限,和,置信上限,.,注1:,对参数,作区间估计，就是要设法找出两个,只依赖于样本的界限(构造统计量),一旦有了样本，就把,估计在区间 内.,一、区间估计的定义满足 定义1:设是 一个待估参数，其,注2:,要求,以很大的可能被包含在区间,内，即概率 要尽可能大.也就是要求估计尽量可靠.,估计的精度要尽可能的高.即要求区间长度,尽可能短.,可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度,的条件下尽可能提高精度.,注3:,置信水平 的频率解释:在大数次的区间估计的观测值中,至少有100(,)%次包含,.,(参见P316页，例6.5.1),注2:要求以很大的可能被包含在区间内，即概率,上述定义在实际中常用的都是等式:,定义2,:,沿用定义1的记号,若,对给定的,(0,1),对任意的,有,则称 是,的1-,的,同等置信区间,.,有时在实际中常用的还有单侧置信区间:,定义3,:,设 是统计量,若,对给定的,(0,1)对任意的,有,则称 是,的置信水平为1-,的,(,单侧,)置信下限,.若等号对一切,成立,则称 为,的1-,的,(单侧),同等置信下限,.,定义4,:,设 是统计量,若,对给定的,(0,1),对任意的,有,则称 是,的置信水平为1-,的,(,单侧,),置信上限,.若等号对一切,成立,则称 为,的1-,的,(单侧),同等置信上限,.,上述定义在实际中常用的都是等式:定义2:沿用定义1的记号,在求同等置信区间时最常用的方法是枢轴量法.步骤如下:,二、置信区间的求法 枢轴量法,1、,设法构造一个样本和,的函数,G=G,(,x,1,.x,n,),使得,G,的分布为已知（即不依赖于未知参数）.称,G,为,枢轴量,.,2、,适当地选择两个常数,c、d,使对给定的,(0 1),有,3、,将 进行不等式变形化为 ,则有,最后的 就是,的1-,的,同等置信区间,.,在求同等置信区间时最常用的方法是枢轴量法.步骤如下:二、置,N,(0,1),选 的点估计为 ,求参数 的置信度为 的置信区间.,例如:,设,x,1,x,n,是取自,的样本，,1、明确问题,是求哪个参数的,置信区间?置信水平是多少？,2、寻找未知,参数的一个良,好估计,.,解：,3、寻找一个待估参数和,样本的函数，要求其,分布为已知.,三、单个正态总体的置信区间,4、对于给定的置信水平,根据,G,的分布，确定一个区间,使得,G,取值于该区间的概率为置信水平.,对给定的置信水平1-,，,查正态分布表得,使,5、变形可得,未知参数的置,信区间.,N(0,1)选 的点估计为 ,求参数 的,变形为,也可简记为,于是所求,的置信度为1-,的,置信区间为,变形为也可简记为于是所求的置信度为1-的置信区间为,这个,区间,比前面一个要长一些.,得到均值,的置信水平为1-,=0.95的,置信区间为,比如，由,P,(-1.96,G,1.96)=0.95,由,P,(-1.75,G,2.33)=0.95,给定样本，给定置信水平，,置信区间不是唯一的.,对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.,上,例中,，,取置信水平为1-,=0.95,N,(0,1),由标准正态分布表,满足,P,(,c,G,50),则,p,的置信度为 1,的置信区间,若,2,未知,则,EX,的置信区间可取为,例2 设总体X 服从正态分布 N(1),为得,为取自总体,N,(,1,1,2,)的样本,为取自总体,N,(,2,2,2,),的样本,置信度为 1,以下分别讨论,两均值差,和,两方差比,的置信区间.,分别表示两样本的均值与方差.,五、两个正态总体的置信区间,例4,某传媒公司欲调查电视台某综艺节目的收视率,p,为使得,p,的置信度为1-,的置信区间的长度不超过d,0,应调查多少用户?(P323),例3,自一大批产品中抽取100个样品,其中有60个一级品,求这批产品的一级品率,p,的置信度为0.95的置信区间.,为取自总体 N(1 12)的样本,为取自总体,的置信区间为,(1),已知时,的置信区间,(一),(2)未知,但,的置信区间为,(3)未知,但 已知,的置信区间为,的置信区间为(1)已知时,的置,当,m,n,并不是很大时,可采用如下的近似方法:,令,s,0,2,=s,x,2,/,m,+,s,y,2,/,n,取枢轴量,此时,T,既非N(0,1)也非t分布,但研究表明它与自由度为,l,的t分布很接近,其中,(5)一般情况下的近似置信区间,若,l,不是整数,可近似取整,于是近似为,T t,(,l,),的置信区间为,因此,(4)未知,n,m,50,的置信区间为,当m,n并不是很大时,可采用如下的近似方法:令s02=s,例5,为比较两个小麦品种的产量,选择18块条件相似的试验田,采用相同的耕种方法,结果甲种的8块试验田的单位面积产量和乙种的10块试验田的单位面积产量分别为,甲种 628 583 510 554 612 523 530 615,假设两品种单位面积产量都服从正态分布,试求这两个品种平均单位面积产量差的置信区间.(取,=0.05)(P326),乙种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426,例5 为比较两个小麦品种的产量,选择18块条件相似的试,(二),方差比,的置信区间(,1,2,未知,)为,例6,某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱.现分别 从两条流水线上抽取了容量分别为13与17的两个相互独立的样本,与,已知,假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布,其均值分别为,1,与,2,若不知它们的方差是否相同,求它们的,方差比的置信度为0.95的置信区间.,(1)若它们的方差相同,求均值差,的置信度为0.95 的置信区间;,(二)方差比的置信区间(1,2 未知)为例,解：,0.05，查表得,所求置信区间为,(1)因为两总体未知方差相同，,(2),查表得,故所求的置信区间为,所以 的置信区间为,方差比 的置信区间为,解：0.05，查表得所求置信区间为(1)因为两总体未,六、单侧置信区间,上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.,例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.,这时,可将置信上限取为+，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫,单侧置信区间,.,定义3:,设 是统计量,若,对给定的,(0,1)对任意的,有,则称 是,的置信水平为1-,的,(单侧)置信下限,.若等号对一切,成立,则称 为,的1-,的,(单侧)同等置信下限.,定义4:,设 是统计量,若,对给定的,(0,1),对任意的,有,则称 是,的置信水平为1-,的,(单侧)置信上限,.若等号对一切,成立,则称 为,的1-,的,(单侧)同等置信上限,.,六、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，,设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均值,的置信水平为,0.95,的单侧置信下限.,例7,从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命,X,（单位：小时）如下：,1050，1100，1120，1250，1280,方差 未知,解：,的点估计取为样本均值 ,对给定的置信水平,确定分位点,使,即,由样本值得,1065小时.,即,的置信水平为1-,的,单侧置信下限,为,的置信水平为,0.95,的单侧置信下限是,查表得,设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均值的置信水平为0.,