多维随机变量及其概率分布

概率论,概率论,概率论,*,*,此处编辑母版单击标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,多维随机变量及其概率分布,1、纪律是管理关系的形式。阿法纳西耶夫,2、改革如果不讲纪律，就难以成功。,3、道德行为训练，不是通过语言影响，而是让儿童练习良好道德行为，克服懒惰、轻率、不守纪律、颓废等不良行为。,4、学校没有纪律便如磨房里没有水。夸美纽斯,5、教导儿童服从真理、服从集体，养成儿童自觉的纪律性，这是儿童道德教育最重要的部分。陈鹤琴,多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布1、纪律是管理关系的形式。阿法纳西耶夫,2、改革如果不讲纪律，就难以成功。,3、道德行为训练，不是通过语言影响，而是让儿童练习良好道德行为，克服懒惰、轻率、不守纪律、颓废等不良行为。,4、学校没有纪律便如磨房里没有水。夸美纽斯,5、教导儿童服从真理、服从集体，养成儿童自觉的纪律性，这是儿童道德教育最重要的部分。陈鹤琴本章要求,多维随机变量的概念,随机变量的独立性,两个随机变量的函数的分布第三章 多维随机变量及其概率分布,本章要求:,1.理解二维离散型随机变量的分布律及其性质;,2.理解二维连续型随机变量的概率密度函数及其性质;,3.理解边缘分布律、边缘概率密度函数的概念，掌握求边缘分布律以及边缘概率密度函数的方法;,4.会判断随机变量的独立性;,5.了解两个随机变量的和的分布的求法;,本章重点:联合分布律,概率密度函数,边缘分布律,边缘概率密度函数,随机变量的独立性.,一般地,设 是一个随机试验,它的样本空间是,设,是定义在 上的随机变量,由它们构成的一个 维向,量,叫做,维随机向量,或,维随机变,量,.,以下重点讨论二维随机变量,.,请注意与一维情形的对照,.,X,的分布函数,一维随机变量,如果对于任意实数,二元 函数,称为二维随机变量 的,分布函数,或者称为随机,变量 和 的,联合分布函数,.,定义,1,设 是二维,随机变量,二维随机变量的分布函数,将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率,.,分布函数的函数值的几何解释,随机点 落在矩形域,内的概率为,或随机变量,X,和,Y,的,联合分布律,.,k,=1,2,离散型,一维随机变量,X,X,的分布律,k,=1,2,定义,2,的值是有限对或可列无限多对,是,离散型随机变量,.,则称,设二维离散型随机变量,可能取的值是,记,如果二维随机变量,全部可能取到的不相同,称之为二维离散型随机变量 的,分布律,3.1.2,二维离散型随机变量,二维离散型随机变量 的,分布律,具有性质,也可用表格来表示随机变量,X,和,Y,的,联合分布律,.,例,把一枚均匀硬币抛掷三次，设,X,为三次抛掷中正面出现的次数，而,Y,为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求,(,X,Y),的分布律,.,解,(,X,Y,),可取值,(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),P,X,=0,Y,=3,P,X,=1,Y,=1,P,X,=2,Y,=1,P,X,=3,Y,=0,=3/8,=3/8,一般地，对,离散型,r.v,(,X,Y,),，,则,(,X,Y),关于,X,的边缘分布律,为,X,和,Y,的联合分布律,为,离散型随机变量的边缘分布律,(,X,Y,),关于,Y,的边缘分布律为,例,把一枚均匀硬币抛掷三次，设,X,为三次抛掷中正面出现的次数，而,Y,为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求,(,X,Y),的分布律,.,解,(,X,Y,),可取值,(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),P,X,=0,Y,=3,P,X,=1,Y,=1,P,X,=2,Y,=1,P,X,=3,Y,=0,=3/8,=3/8,PX=0=,P,X,=1=,P,X,=2=,P,X,=3=,P,Y,=1=,P,Y,=3=,=1/8,P,X,=0,Y,=1+,P,X,=0,Y,=3,=3/8,P,X,=1,Y,=1+,P,X,=1,Y,=3,=3/8,P,X,=2,Y,=1+,P,X,=2,Y,=3,P,X,=3,Y,=1+,P,X,=3,Y,=3,=1/8.,=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.,我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词,.,联合分布与边缘分布的关系,由联合分布可以确定边缘分布,;,但由边缘分布一般不能确定联合分布,.,连续型,一维随机变量,X,X,的概率密度函数,定义,3,对于二维随机变量,的分布函数,则称 是,连续型的二维随,机变量,函数 称为二维,（,X,Y,),的,概率密度,随机变量,3.1.3,二维连续型随机变量的概率密度和边缘,概率密度,存在非负的函数,如果,任意 有,使对于,称为随机变量,X,和,Y,的,联合概,率密度,.,或,二维连续型随机变量 的,概率密度,具有性质,（,X,Y,）的概率密度的性质,:,在,f,(,x,y,),的连续点,例,设,(,X,Y,),的概率密度是,(1),求分布函数,(2),求概率,.,积分区域,区域,解,(1),当 时,故,当 时,(2),例,设随机变量,(,X,Y,),的概率密度是,(1),确定常数,(2),求概率,.,解,(1),故,(2).,对,连续型,r.v,(,X,Y,),，,X,和,Y,的联合概率密度为,则,(,X,Y,),关于,X,的边缘概率密度,为,事实上,连续型随机变量的边缘概率密度,(,X,Y,),关于,Y,的边缘概率密度,为,例,设,(,X,Y,),的概率密度是,求,(1),c,的值；（,2,）两个边缘密度。,=5,c,/24,c,=24/5.,解,(1),故,例,设,(,X,Y,),的概率密度是,解,求,(1),c,的值;(2),两个边缘密度,.,(2),当 时,当 时,暂时固定,注意取值范围,综上,当 时,例,设,(,X,Y,),的概率密度是,解,(2),求,(1),c,的值;(2),两个边缘密度,.,暂时固定,综上,注意取值范围,在求连续型,r.v,的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分,.,当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限,.,下面我们介绍两个常见的二维分布,.,设,G,是平面上的有界区域，其面积为,A,.,若二维随机变量（,X,Y,）具有概率密度,则称,（,X,Y,）在,G,上服从均匀分布,.,向平面上有界区域,G,上任投一质点，若质点落在,G,内任一小区域,B,的概率与小区域的面积成正比，而与,B,的形状及位置无关,.,则质点的坐标,(,X,Y,),在,G,上服从均匀分布,.,例,注意:先看P70 10、11,若二维随机变量（,X,Y,）具有概率密度,则称（,X,Y,）服从参数为,的,二维正态分布,.,其中,均为常数,且,记作（,X,Y,）,N,().,例,试求,二维正态随机变量的边缘概率密度,.,解,因为,所以,特注：本例只记结果,则有,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且不依赖于参数,.,同理,可见,由边缘分布一般不能确定联合分布,.,也就是说,对于给定的 不同的 对应,不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的,.,此例表明,例,设,(,X,Y,),的概率密度是,求,(,X,Y,),关于,X,和,Y,的边缘概率密度,.,解,暂时固定,当 时,当 时,故,暂时固定,暂时固定,暂时固定,当 时,当 时,故,两事件,A,B,独立的定义是：若,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),则称事件,A,B,独立,.,设,X,Y,是两个,r.v,，若对任意的,x,y,有,则称,X,和,Y,相互,独立,.,3.2.1,两个随机变量的独立的性,3.2,随机变量独立性,用分布函数表示,即,设,X,Y,是两个,r.v,，若对任意的,x,y,有,则称,X,和,Y,相互,独立,.,它表明，两个,r.v,相互,独立时，它们的联合分布函,数等于两个边缘分布函数的乘积,.,其中,是,X,和,Y,的联合密度，,几乎处处成立，则称,X,和,Y,相互,独立,.,对任意的,x,y,有,若,(,X,Y,),是连续型,r.v,，则上述独立性的定义等价于：,这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为,0,的集合外，处处成立,.,分别是,X,的边缘密度和,Y,的边缘密度,.,若,(,X,Y,),是离散型,r.v,，则上述独立性的定义等价于：,则称,X,和,Y,相互,独立,.,对,(,X,Y,),的所有可能取值,(,x,i,y,j,),有,3.2.2,二维离散型随机变量的独立的性,例,设,(,X,Y,),的概率密度为,问,X,和,Y,是否独立？,解,x,0,y,0,即,可见对一切,x,y,均有：,故,X,Y,独立,.,若,(,X,Y,),的概率密度为,情况又怎样？,解,0,x,1,0,y,1,由于存在面积不为,0,的区域，,故,X,和,Y,不独立,.,例,甲乙两人约定中午,12,时,30,分在某地会面,.,如果甲来到的时间在,12:15,到,12:45,之间是均匀分布,.,乙独立地到达,而且到达时间在,12:00,到,13:00,之间是均匀分布,.,试求先到的人等待另一人到达的时间不超过,5,分钟的概率,.,又甲先到的概率是多少？,解 设,X,为甲到达时刻,Y,为乙到达时刻,以,12,时为起点,以分为单位,依题意,X,U,(15,45),Y,U,(0,60),所求为,P,(|,X,-,Y,|5),甲先到,的概率,由独立性,先到的人等待另一人到达的时间不,超过,5,分钟的概率,P,(,X,Y,),解一,P,(|,X,-,Y,|5),=,P,(-5,X,-,Y,5),P,(,X,Y,),解二,P,(,X,Y,),P,(|,X,-,Y,|5),类似的问题如：,甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的,.,若甲船需停泊,1,小时，乙船需停泊,2,小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率,.,盒内有 个白球,个黑球,有放回地摸球,例,3,两次,.,设,第,1,次摸到白球,第,1,次摸到黑球,第,2,次摸到白球,第,2,次摸到黑球,试求,(1),的联合分布律及边缘分布律,;,(2),判断 的相互独立性,;,(3),若改为无放回摸球,解上述两个问题,.,(1),的联合分布律及边缘分布律,解,如下表所示,:,(2),由上表可知,故 的相互独立,.,(3),的联合分布律及边缘分布律如下,表所示,:,故 不是相互独立,.,由上表知,:,可见,练习,1.,设随机变量,(,X,Y,),的概率密度是,问,X,和,Y,是否相互独立,?,2.,证明 对于二维正态随机变量,(,X,Y,),X,和,Y,相互独立的充要条件是参数,.,在第二章中，我们讨论了一维随机变,量函数的分布，现在我们进一步讨论,:,当随机变量,X,Y,的联合分布已知时，如何求出它,们的函数,Z,=,g,(,X,Y,),的分布,?,3.3,两个随机变量的函数的分布,例,若,X,、,Y,独立，,P,(,X,=,k,)=,a,k,k,=0,1,2,P,(,Y,=,k,)=,b,k,k,=0,1,2,求,Z,=,X,+,Y,的概率函数.,解,=,a,0,b,r,+,a,1,b,r,-1,+,a,r,b,0,由独立性,r,=0,1,2,的分布,3.3.1离散型随机变量的函数分布,看P80例3-24,例,设,(,X,、,Y),的分布律为,求,Z,=,X,+,Y,的,分布律,.,Y,X,0,1,1,2,0,1/4,1/6,1/8,1/4,1/12,1/8,Z,P,0 1 2 3,1/4 5/12 1/4 1/12,解,依题意,例,若,X,和,Y,相互独立,它们分别服从参数为,的泊松分布,证明,Z,=,X,+,Y,服从参数为,于是,i,=0,1,2,j,=0,1,2,的泊松分布,.,r,=0,1,即,Z,服从参数为 的泊松分布,.,看P81例3-26,例,设,X,和,Y,的联合密度为,f,(,x,y,),求,Z,=,X,+,Y,的概率密度,.,这里积分区域,D,=(,x,y,):,x+y,z,解,Z,=,X,+,Y,的分布函数是,:,它,是直线,x+y,=,z,及其左下方的半平面,.,3.3.2 两个独立连续型随机变量之和的概率分布,化成累次积分,得,固定,z,和,y,对方括号内的积分作变量代换,令,x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率,密度与分布函数的关系,即得,Z,=,X,+,Y,的概率密度为,:,由,X,和,Y,的对称性,f,Z,(,z,),又可写成,以上两式即是,两个随机变量和的概率密度的一般公式,.,特别地,，当,X,和,Y,独立，设,(,X,Y,),关于,X,Y,的边缘密度分别为,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),则上述两式化为,:,下面我们用,卷积公式来求,Z,=,X,+,Y,的概率密度,.,卷积公式,为确定积分限,先找出使被积函数不为,0,的区域,例,若,X,和,Y,独立,具有共同的概率密度,求,Z,=,X,+,Y,的概率密度,.,解 由卷积公式,也即,暂时固定,故,当 或 时,当,时,当,时,于是,例,若,X,和,Y,是两个相互,独立,的随机变量,具有相同的分布,N,(0,1),求,Z=X+Y,的概率密度,.,解 由卷积公式,令,得,可见,Z=X+Y,服从正态分布,N,(0,2).,用类似的方法可以证明,:,若,X,和,Y,独立,结论又如何呢,?,此结论,可以推广到,n,个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若,X,和,Y,独立,具有相同的分布,N,(0,1),则,Z=X+Y,服从正态分布,N,(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地,可以证明:,练习,设 相互独立,求,的分布,则,结果,相互独立,且,即,特注平方,请欣赏,精品课件资料分享,SL,出品,6,、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。,斯宾诺莎,7,、自知之明是最难得的知识。,西班牙,8,、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。,塞内加,9,、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。,赫尔普斯,10,、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。,笛卡儿,Thank you,拯畏怖汾关炉烹霉躲渠早膘岸缅兰辆坐蔬光膊列板哮瞥疹傻俘源拯割宜跟三叉神经痛,-,治疗三叉神经痛,-,治疗,