微分方程方法建模课件

,Mathematical Modeling,2012,Department of Mathematics HUST,Mathematical Modeling,2008,Department of Mathematics HUST,Mathematical Modeling,2012,Department of Mathematics HUST,第三章 微分方程方法建模,3.1,微分方程建模,3.2,草地水量模型,3.3,传染病模型,3.4,食饵,-,捕食者模型,第三章 微分方程方法建模3.1 微分方程建模,微分方程模型属于动态模型,描述所研究对象特征随时间,(,空间,),的演变过程,分析所研究对象特征的变化规律,预报所研究对象特征的未来性态,研究控制所研究对象特征的手段,根据函数及其变化率,(,导数,),之间的关系确定函数,微分方程建模方法,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律,(,模式,),或用类比法建立微分方程,3.1,微分方程建模,微分方程模型属于动态模型 描述所研究对象特征随时间(空间)的,3.1.1,人的体重,3.1.2,常微分方程建模基本准则,3.1,微分方程建模,3.1.1 人的体重3.1 微分方程建模,3.1.1,人的体重,某人的食量是,10467,（焦,/,天），其中,5038,（焦,/,天）用于基本的新陈代谢,(,即自动消耗,),。在健身训练中，他所消耗的热量大约是,69,（焦,/,公斤,天）乘以他的体重,(,公斤,),。,假设以脂肪形式贮藏的热量,100,的有效，而,1,公斤脂肪含热量,41868,焦。,问题,研究此人的体重随时间变化的规律,3.1.1 人的体重 某人的食量是10467（,问题分析,体重,w,时间,t,函数,w(t),连续可微,找到体重,w(t),满足的,微分方程,即可求出函数,w(t),“,变化率”,“,导数”,微元法,3.1.1,人的体重,问题分析体重w时间t函数w(t),连续可微找到体重w(t),由题意可知,“,每天”体重变化应满足下面描述,输出,进行健身训练时的消耗,进一步分析,体重的变化输入输出,输入,扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收,体重的变化,/,天净吸收量,/,天运动消耗,/,天,导数意义的陈述,净吸收量,/,天,10467(,焦,/,天,),5038(,焦,/,天,),5429(,焦,/,天,),运动消耗,/,天,69,焦,(/,公斤,天,),w(t),(,公斤,),3.1.1,人的体重,由题意可知,“每天”体重变化应满足下面描述 输出进行健身,体重的变化,/,天,(,公斤,/,天,),（公斤,/,天）,将两单位换算成统一形式：,连续函数,w(t),的瞬时关系满足下面关系式,模型建立,3.1.1,人的体重,体重的变化/天(公斤/天)（公斤/天）将两单位换算,由上述分析，体重,w(t),满足下面关系式,两边的物理单位量纲一致，令,模型建立,3.1.1,人的体重,由上述分析，体重w(t)满足下面关系式 两边的物理单位量纲一,分离变量法,0,到,t,积分,3.1.1,人的体重,模型求解,分离变量法 0到t 3.1.1 人的体重模型求解,由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终,趋于一种平稳的值,模型解释,即,3.1.1,人的体重,由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终模型解释即 3.,常微分方程建模应符合下面基本准则：,模式：,找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法：,1,）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，,对某些实际问题直接列出微分方程；,2,）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足,的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下,面的模式,改变率净变化率输入率输出率,翻译：,将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数；,转化：,在实际问题中,有许多表示导数的常用词，如“速,率”,“,增长率”,(,在生物学、人口学问题研究中,),“,衰变率”,(,在,放射性问题中,),及“边际”,(,在经济学中,),等；,3.1.2,常微分方程建模基本准则,常微分方程建模应符合下面基本准则：模式：找出问题遵循的模式,建立瞬时表达式,：,微分方程是一个在任何时刻都必须正,确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式，,建立起在自变量时段 上的函数,x(t),的增长量,表达式,即得到 的表达式,确定条件,：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界,上的信息，它们独立于微分方程而成立，用于确定有关,的常数，为了完整、充分地给出问题陈述，应将这些给,定的条件和微分方程一起给出。,单位：,在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；,常微分方程建模应符合下面基本准则：,3.1.2,常微分方程建模基本准则,建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正表达式即得,3.2,草地水量模型,草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程，但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干，能否建立一个数学模型描述这一干燥过程,.,问题,3.2 草地水量模型草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪,草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约,持续,c,小时,雨在草地中聚积了,h,厘米高的水,;,需要建立模型求出,Q(t),，并能预测下雨后多长时间,t,1,，,使,Q(t,1,)=0,。,问题陈述,3.2,草地水量模型,由此可将研究对象视为草地积单位面积的,水量,Q,它是时间,t,的函数,.,雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减,少，最终自然变干，恢复比赛。,草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约需要建立模型求出Q(t),2,渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑,空气中的湿度与温度；,3,降雨速度为常数。,模型假设,1,开始时草地是干的,下雨时只考虑渗透排水,雨停,后水是通过渗透,蒸发排除的,其它因素不考虑。,3.2,草地水量模型,2渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑3降雨速度为常,问题分析,若草地是干的，即,Q,(0),=,0,。,草地积了,h,厘米高的水量,流出量,(,渗透、蒸发过程,),由此本模型应遵循下面的,模式,：,草地积水量的改变量流入量流出量 （,1,）,r,米,/,秒降雨速度,持续,c,小时,下雨时,开始时,停雨后,水的流入量（降雨过程）,流出量（渗透过程）,草地水量的改变,草地水量的改变,3.2,草地水量模型,问题分析若草地是干的，即Q(0)=0。草地积了h厘米高的水,草地积水量的改变量,流入量流出量,模型建立,A,（平方米）,:,草地的面积,a,单位时间内单位水量的渗透量,单位时间内单位水量的蒸发量,b,时间内,(1),式各量的描述,:,(2),3.2,草地水量模型,草地积水量的改变量 流入量流出量 模型建立A（平方,数值计算：,不妨假设降雨半小时,即,c,=,1800,秒,此时草地积水深,h,=,0.018,米,降雨速度在半小时,为方便直接给出,a,=0.001/,秒,b,=0.0005/,秒,将所取数值代入,(2),式整理方程，得,若给出有关草地进水足够信息，就可由,(2),式求出,Q,(,t,),；,模型求解,参数,a,b,可以通过参数辨识方法得到。,注,3.2,草地水量模型,数值计算：不妨假设降雨半小时,即c=1800秒,此时草地,模型求解,3.2,草地水量模型,模型求解3.2 草地水量模型,模型求解,（,3,）,式能预测雨停后草地中水是如何随时间变化减少的,3.2,草地水量模型,模型求解（3）式能预测雨停后草地中水是如何随时间变化减少的3,但在实际比赛中一般要求水量降至最高水量值的,10,就认为草地足够干，也就是说只要达到,Q,(,t,1)=10%,Q,(1800),即可。即在雨停后,t,1,-1800,时即可恢复比赛。令,t,1,满足,(3),式，得,雨停后还要等,1534,秒,(,约,25,分,),才能恢复比赛,.,若水,量降到最大值,5%,需要大约,33,分钟可以恢复比赛,。,模型求解,本问题是确定比赛何时才能恢复，即,t,1,为,何值时使得,Q,(,t,1)=0,。而由,(3),式可知,当,t,趋于无穷大时,Q,(,t,),趋于,零,，所以这样的,t,1,是不存在的。,3.2,草地水量模型,但在实际比赛中一般要求水量降至最高水量值的10 雨停,3.3,传染病模型,模型,1,(,简单模型,),模型,2,(SI,模型,),模型,3,（,SIS,模型）,模型,4,（,SIR,模型）,3.3 传染病模型模型1 (简单模型),问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,3.3,传染病模型,问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传,已感染人数,(,病人,),i,(,t,),每个病人每天有效接触,(,足以使人致病,),人数为,模型,1(,简单模型,),假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,必须区分已感染者,(,病人,),和未感染者,(,健康人,),建模,?,已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足,模型,2,(,SI,模型,),区分已感染者,(,病人,),和未感染者,(,健康人,),假设,1,）总人数,N,不变，病人和健康 人的 比例分别为,2,）每个病人每天有效接触人数为,且,使接触的健康人致病,建模,日,接触率,SI,模型,模型2(SI模型)区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假,模型,2,1/2,t,m,i,i,0,1,0,t,t,m,传染病高潮到来时刻,(,日接触率,),t,m,Logistic,模型,病人可以治愈！,?,t=t,m,di,/,dt,最大,模型21/2tmii010ttm传染病高潮到来时刻(日,模型,3,（,SIS,模型）,传染病无免疫性,病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS,模型,3,）病人每天治愈的比例为,日,治愈率,建模,日接触率,1/,感染期,一个感染期内,每个病人的有效接触人数，称为,接触数,。,模型3（SIS模型）传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健,模型,3,i,0,i,0,接触数,=1,阈值,感染期内,有效接触感染的健康者人数不超过病人数,1-1/,i,0,模型,2(SI,模型,),如何看作模型,3(SIS,模型,),的特例,i,di/dt,0,1,1,0,t,i,1,1-1/,i,0,t,1,di,/,dt,1/,i,(,t,),先升后降至0,P,2,:,s,0,1/,i,(,t,),单调降至0,1/,阈值,P,3,P,4,P,2,S,0,si101D模型4SIR模型相轨线 及其分,模型,4,SIR,模型,预防传染病蔓延的手段,(,日接触率,),卫生水平,(,日,治愈率,),医疗水平,传染病不蔓延的条件,s,0,1/,的估计,降低,s,0,提高,r,0,提高阈值,1/,降低,(=,/,),群体免疫,模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率),模型,4,SIR,模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,x,s,0,i,0,P,1,i,0,0,s,0,1,小,s,0,1,提高阈值,1/,降低,被传染人数比例,x,s,0,-,1/,=,模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例xs0i,模型验证,20,世纪初在印度孟买发生的,次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。公共卫生部门记录了每天移出者（死亡）的人数，即有了,dr/dt,的实际数据，,KerMack,等人用这组数据把模型所预测的结果与实际传染病的资料进行比较。,根据前面的,SIR,模型：和,有,：,于是：,模型验证20世纪初在印度孟买发生的次瘟疫中几乎所有病人都死,当 时，取（,*,）式右端的,Taylor,展开的前三项，在,r,0,=0,初始值下求解，得到：,其中：,带回（*）式，即有：,然后确定,s,0,等参数，画出,r,（,t,）的图形，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。,当 时，取（*）式右端的Taylor,3.4,被捕食者,-,捕食者模型,种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵,-,捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。,模型的历史背景,一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降,(,食用鱼和鲨鱼同时捕捞,),，但是其中,鲨鱼的比例却增加，为什么？,3.4 被捕食者-捕食者模型 种群甲靠丰富的天然资源生存，种,食饵（甲）数量,x,(,t,),捕食者（乙）数量,y,(,t,),甲独立生存的增长率,r,乙使甲的增长率减小，减小量与,y,成正比,乙独立生存的死亡率,d,甲使乙的死亡率减小，减小量与,x,成正比,方程,(1),(2),无解析解,食饵,-,捕食者模型,(Volterra),a,捕食者掠取食饵能力,b,食饵供养捕食者能力,食饵（甲）数量 x(t),捕食者（乙）数量 y(t)甲独,t,x,(,t,),y,(,t,),0,20.0000,4.0000,0.1000,21.2406,3.9651,0.2000,22.5649,3.9405,0.3000,23.9763,3.9269,5.1000,9.6162,16.7235,5.2000,9.0173,16.2064,9.5000,18.4750,4.0447,9.6000,19.6136,3.9968,9.7000,20.8311,3.9587,用数学软件,MATLAB,求,微分方程数值解,xy,平面上的相轨线,tx(t)y(t)020.00004.00000.10002,计算结果（数值，图形）,x,(,t,),y,(,t,),是周期函数，相图(,x,y,),是封闭曲线,观察，猜测,x,(,t,),y,(,t,),的周期约为9.6,x,max,65.5,x,min,6,y,max,20.5,y,min,3.9,用数值积分可算出,x,(,t,),y,(,t,),一周期的平均值：,x,(,t,),的平均值约为25,y,(,t,),的平均值约为10。,食饵,-,捕食者模型,(Volterra),计算结果（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相图(,消去,dt,分析第一象限的,相轨线行为,c,由初始条件确定,取指数,消去dt分析第一象限的相轨线行为c 由初始条件确定取指数,x,0,f,m,f,(,x,),x,0,g,(,y,),g,m,y,0,y,0,在相平面上讨论相轨线的图形,相轨线,时无相轨线,以下设,x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上讨论相轨线,y,2,y,1,x,Q,3,Q,4,q,y,1,y,2,x,1,x,2,p,y,y,0,x,x,0,P,0,x,1,x,2,Q,1,Q,2,Q,1,(,x,1,y,0,),Q,2,(,x,2,y,0,),Q,3,(,x,y,1,),Q,4,(,x,y,2,),相轨线,退化为,P,点,存在,x,1,x,0,x,2,使,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,)=,p,存在,y,1,y,0,y,2,使,g,(,y,1,)=,g,(,y,2,)=,q,相轨线是封闭曲线族,x,Q,3,Q,4,f,(,x,),x,x,0,f,m,0,g,(,y,),g,m,y,0,y,0,相轨线,y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0 xx0P0 x1x,相轨线,是封闭曲线,x,(,t,),y,(,t,),是周期函数,(,周期记,T,),求,x,(,t,),y,(,t,),在一周期的平均值,轨线中心,用相轨线分析 点附近情形,相轨线是封闭曲线x(t),y(t)是周期函数(周期记 T),T,2,T,3,T,4,T,1,P,T,1,T,2,T,3,T,4,x,(,t,),的“相位”领先,y,(,t,),模型解释,初值,相轨线的方向,T2T3T4T1PT1 T2 T3,模型解释,r,食饵增长率,d,捕食者死亡率,b,食饵供养捕食者能力,捕食者 数量,食饵数量,P,r/a,d/b,a,捕食者掠取食饵能力,捕食者数量与,r,成正比,与,a,成反比,食饵,数量与,d,成正比,与,b,成反比,模型解释r 食饵增长率d 捕食者死亡率b 食饵供养捕食,模型解释,一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中,鲨鱼的比例却在增加，为什么？,r,r-,1,d,d+,1,捕捞,战时捕捞,r,r-,2,d,d+,2,2,1,x,y,食饵,(,鱼,),减少，,捕食者,(,鲨鱼,),增加,自然环境,还表明：对,害虫,(,食饵,),益虫,(,捕食者,),系统，使用灭两种,虫的,杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少。,模型解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比,食饵,-,捕食者模型,(Volterra),的缺点与改进,Volterra,模型,改写,多数,食饵,捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点,加,Logistic,项,可以证明，在给定条件下，此模型一定有,稳定平衡点。,具体可参考第七章中关于方程稳定性的相关内容。,食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进Volter,