级数的收敛性课件

返回,后页,前页,1,级数的收敛性,级数是数学分析三大组成部分之一，是逼近理论的基础，是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具.级数理论的主要内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.,1 级数的收敛性 级数是数学分析三大组成部分,一、问题的提出,1.计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,对于有限个实数,u,1,u,2,u,n,相加后还是一个实数，,这是在中学就知道的结果,那么“无限个实数相加”,会有什么结果呢？请看下面的几个例子.,一、问题的提出1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面,2庄子天下篇“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,的例中,将每天截下那一部分的长度“加”起来是:,由于前,n,项相加的和是,，可以推测这“无限,个数相加”的结果应该是,1,.,2庄子天下篇“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的例中,将,3.又如下面由“无限个数相加”的表达式,中，如果将其写作,结果肯定是,0,，而写作,则结果是,1,.两个结果的不同向我们提出了两个基本,问题,:,“无限个数相加”是否存在“和”,;,如果存在,“和”等于什么?,由此可见,“无限个数相加”不能,简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新,的理论.,3.又如下面由“无限个数相加”的表达式 中，如果将其写作 结,定义,1,给定一个数列,u,n,将其各项依次用“+”号,连接起来的表达式,称为,数项级数,或无穷级数(也常简称级数),其中,u,n,称为数项级数,(1),的通项或一般项.数项级数,(1),也,常记为,.在不致误解时可简记为,数项级数,(1),的前,n,项之和记为,称为数项级数,(1),的第,n,个部分和,也简称,部分和,.,定义1 给定一个数列un,将其各项依次用“+”号,定义2,若数项级数(1)的部分和数列,收敛于,S,(即,),则称,数项级数(1)收敛,S,称为,数,项级数,(1),的和,记作,若 是发散数列,则称,数项级数,(1),发散,.,定义2 若数项级数(1)的部分和数列收敛于 S(即),例,1,讨论等比级数(也称几何级数),的收敛性,(,a,0).,解,q,1,时,级数,(3),的第,n,个部分和为,因此,此时级,数(3),收敛,其和为,例1 讨论等比级数(也称几何级数)的收敛性(a0).解 q,综合起来得到:,级,数,(3),发散.,综合起来得到:级 数(3)发散.,例,2,讨论数项级数,的收敛性.,解,级数,(4),的第,n,个部分和为,由于,因此级数,(4),收敛,且其和为,1.,例2 讨论数项级数的收敛性.解 级数(4)的第n个部分和为,注,由于级数,(1),的收敛或发散,(,简称敛散性,),是由它,的部分和数列,来确定,因而也可把级数(1),作为,数列,的另一种表现形式.反之,任给一个数列,如果把它看作某一数项级数的部分和数列,则,这个数项级数就是,这时数列,与级数(5),具有相同的敛散性,且当,收敛时,其极限值就是级数,(5),的和.,注 由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它 的部分,基于级数与数列的这种关系,读者不难根据数列极,限的性质得出下面有关级数的定理.,定理12.1,(,级数收敛的柯西准则,),级数,(1),收敛的充要,条件是:,任给正数,使得当,以及对任意的正整数,p,都有,基于级数与数列的这种关系,读者不难根据数列极 限的性质得出下,根据定理,12.1,以及数列发散的充要条件，可以立刻,写出级数(1),发散的充要条件是,:,对,任何正整数,N,总存在正整数,m,0,(,N,),和,p,0,，有,根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻 写出级数(,由定理,12.1,立即可得如下推论.,推论,(,级数收敛的必要条件,),若级数,(1),收敛,则,注,推论是级数收敛的一个必要条件:一般项不趋于,零,级数一定发散,但一般项趋于零,则级数未必,收敛，因此用来判断级数发散很有效.,如级数,因为一般项,u,n,=(),n,-1,不趋于零，所以发散.,由定理12.1立即可得如下推论.推论(级数收敛的必要条件),例,3,讨论调和级数,的敛散性.,解,这里一般项,不能利用推论判断级数,的敛散性.,若令,p=m,则有,故取,对任何正整数,N,只要,m N,和,p,=,m,就有,(7),式成立，因此调和级数发散.,例3 讨论调和级数的敛散性.解 这里一般项,不能利用推论,例4,判断级数,的敛散性.,解,因为,所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.,例4 判断级数 的敛散性.解 因为 所以由级数收敛的必,例,5,运用级数收敛的柯西准则证明级数,收敛.,证,由于,例5 运用级数收敛的柯西准则证明级数 收敛.证 由于,因此,当,mN,及任意正,整数,p,由上式可得,收敛.,注,级数,的收敛性已由例5,的证明过程所,显示.,因此,当mN及任意正 整数 p,由上式可得 收敛.注,定理12.2,则对任意常,数,c,d,，,亦收敛，且,根据级数收敛的柯西准则,级数,的收敛与否与,级数前面有限项的取值无关.从而可得到以下定理.,定理,12.3,去掉、增加或改变级数的有限项并不改变,级数的敛散性.,定理12.2 则对任意常 数c,d，亦收敛，且根据级数收敛,注,去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级,数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的.,由定理,12.3,知,其和为,S,则级数,第,n,个余项(简称余项),它表示以部分和,S,n,代替,S,时所产生的误差.,注 去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级数的敛散性，但在,定理,12.4,在收敛级数的项中任意加括号,既不改变,级数的收敛性,也不改变它的和.,证,设,括号后的级数,收敛,且其和也是,定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变 级数,注,从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号,于是,若,为收敛级数,的部分和数列,则级数,时也收敛.,例如,收敛,但级数,却是发散的.,注 从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号 于是,若,*例6,证明级数,收敛，并求其和.,证,令,，若能求出,就能得到所,要的结论.由于,*例6 证明级数收敛，并求其和.证 令，若能求出,就能,所以,于是,这样就证明了级数,收敛,并且其和为1.,所以 于是 这样就证明了级数收敛,并且其和为1.,复习思考题,的关系.,敛.,是否一定发散？,复习思考题 的关系.敛.是否一定发散？,