平面结构问题的有限单元法课件

段落提纲,具体内容,FEM,南京航空航天大学,能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室,(PC:210016),Tel:(025)4892220 Fax:,(,025)4895966 E-mail:nuaacw,段落提纲,具体内容,段落提纲,具体内容,段落提纲,具体内容,段落提纲,具体内容,段落提纲,具体内容,段落提纲,具体内容,段落提纲,具体内容,段落提纲,具体内容,段落提纲,具体内容,4.1,平面应力问题,第四章 平面结构问题的有限单元法,4.2,平面应变问题,4.3,平面问题的离散化,4.4,平面三结点三角形单元,4.5 ANSYS,平面结构计算示例,4.1 平面应力问题 第四章 平面结构问题的有限单元法4.2,严格地说，任何弹性体都是处于三维受力状态，因而都是空间问题，但是在一定条件下，许多空间问,题都可以简化成平面问题。,平面问题可以分为两类：,平面应力问题,和,平面应变问题,。,图,4-1,平面问题应力状态,第四章 平面结构问题的有限单元法,严格地说，任何弹性体都是处于三维受力状态，因而都,4.1,平面应力问题,图,4-2(a),平面应力问题,如图所示的深梁结构，其厚度方向的尺寸远比其它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板。它只承受作用在其平面内的载荷，且沿厚度方向不变，计算时以中性面为研究对象。其,力学特点,是：,平面应力问题的应力应变转换矩阵即弹性矩阵为：,。,第四章 平面结构问题的有限单元法,4.1 平面应力问题图4-2(a)平面应力问题,图,4-2(b),平面应变问题,4.2,平面应变问题,图示为一圆形涵洞的横截面。其长度方向上的尺寸远比其它两个方向上的尺寸大得多，同样，载荷作用在,xy,坐标面内，且沿,z,轴方向均,匀分布。其力学特点是：,但一般情况下,平面应变问题的弹性矩阵只需将式,(4-1),中的,E,换成,换成,，,即可。,。,第四章 平面结构问题的有限单元法,图4-2(b)平面应变问题4.2 平面应变问题,无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力,与,应变,之间的关系均为：,，,其中,：,为初应变,。,式中,4.3,平面问题的离散化,(a),三结点三角形单元,(b),四结点正方形单元,(c),四结点矩形单元,(d),四结点四边形单元,图,4-3,平面问题单元的主要类型,第四章 平面结构问题的有限单元法,无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力 与,图,4-4(a),表示的是带有椭圆孔的平板，在均匀压力作用下的应力集中问题。图,4-5(b),是利用,结构的对称性,，采用三结点三角形单元而离散后的力学模型，各单元之间以结点相连。,(a),均匀受力板力学模型,(b),力学模型离散化,图,4-4,平面问题有限单元法的计算力学模型,第四章 平面结构问题的有限单元法,图4-4(a)表示的是带有椭圆孔的平板，在均,4.4,平面三结点三角形单元,4.1.1,位移函数,图,4-5,三角形单元,如果把弹性体离散成为有限个单元体，而且单元很小时，就很容易利用其结点的位移，构造出单元的位移插值函数，即位移函数。,位移函数矩阵形式,：,第四章 平面结构问题的有限单元法,4.4 平面三结点三角形单元 4.1.1 位移函数图4,简写为：,由于位移函数适用于单元中的任意一点，所以带入,3,个结点的坐标后，得出,结点处位移函数为,简写为：,第四章 平面结构问题的有限单元法,简写为：,解出,其中，,是三角形单元的面积，,当三角形单元结点,i,、,j,、,m,按逆时针次序排列时,，则有,4.4.2,形函数矩阵,第四章 平面结构问题的有限单元法,解出其中，,其中记号,表示将,i,、,j,、,m,进行轮换后，可得出另外两组带脚标的,a,、,b,、,c,的公式。,单元位移函数为结点位移的插值函数,，即,第四章 平面结构问题的有限单元法,(4-9),其中记号,令,在式,(4-10),中表示的 称为,形函数,，于是位移函数表达式用形函数表示为：,(4-10),(4-11),写成矩阵形式,(4-12),第四章 平面结构问题的有限单元法,令 在,由几何方程知,将式,(4-9),代入式,(4-13),中，并求偏导数，得,(4-13),4.4.3,单元的应力与应变,第四章 平面结构问题的有限单元法,由几何方程知将式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏导数，,简写为：,(4-14),由于,B,是常量，单元内各点应变分量也都是常量，这是由于采用了线性位移函数的缘故，这种单元称为常应变三角形单元。,(4-15),第四章 平面结构问题的有限单元法,简写为：(4-14,由,弹性力学的物理方程,可知，其应力与应变有如下关系：,(4-16),将式,(4-14),代入式,(4-16),，得,(4-17),式中,(4-18),S,称为应力,转换矩阵,，对平面应力问题，其子矩阵为,(4-19),由式,(4-17),看出，应力分量也是一个常量。在一个三角形单元中各点应力相同，一般用形心一点表示。其应变也可同样表示。,第四章 平面结构问题的有限单元法,由弹性力学的物理方程可知，其应力与应变有如下,用虚功原理来建立结点力和结点位移间的关系式，从而得出三角形单元的刚度矩阵。,(,a,),实际力系,(,b,),虚设位移,图,4-6,弹性体虚功原理的应用,4.4.4,三角形单元刚度矩阵,第四章 平面结构问题的有限单元法,用虚功原理来建立结点力和结点位移间的关系式，,结点力列向量和应力列向量分别为,结点虚位移列向量和虚应变列向量为,用,虚功原理,建立三角形单元的虚功方程为,由式,(4-12),式知,，,代入式,(4-20),得,(4-20),第四章 平面结构问题的有限单元法,结点力列向量和应力列向量分别为结点虚位移列向量和虚应变列向量,由于虚位移是任意的，等号两边可左乘,，得,(4-21),三角形单元的刚度矩阵可写成,(4-22),用分块矩阵形式表示,(4-23),第四章 平面结构问题的有限单元法,由于虚位移是任意的，等号两边可左乘，得,结构的平衡条件可用所有结点的平衡条件表示。,假定,i,结点为结构中的任一公共结点，则该结点平衡条件为：,i,结点的结点力列向量,围绕,i,结点所有单元的结点力的向量和,i,结点的载荷列向量。,4.4.5,整体刚度矩阵,第四章 平面结构问题的有限单元法,结构的平衡条件可用所有结点的平衡条件表示。假定i 结点,每个结点由两个平衡方程组成，若结构共有,n,个结点，则有,2n,个平衡方程。整个结构的平衡条件由式,(4-24),求和得到，即：,i,1,，,2,，,n,(4-26),(4-27),其中，,K,为,结构整体刚度矩阵,；为,结构的结点位移列向量,。,(4-28),第四章 平面结构问题的有限单元法,每个结点由两个平衡方程组成，若结构共有n个结点,将式,(4-26),、式,(4-27),代入式,(4-25),中得,(4-29),整体刚度矩阵也可按结点写成分块矩阵的形式,：,(4-30),同杆系结构一样，整体刚度方程经过约束处理后，即可求出结点位移，进而求出所希望的应力场。,第四章 平面结构问题的有限单元法,将式(4-26)、式(4-27)代入式(4-25)中得(4-,4.5 ANSYS,平面结构计算示例,4.5.1,问题描述,如图,4-7,所示长方形板,ABCD,，板厚,0.04m,，孔半径,r,=0.2m,，,E,=210GPa,，泊松比,=0.3,，约束条件：在长方形底边,AD,约束全部自由度,BC,边施加垂直向下均布载荷,g,=10000000N/m,。,图,4-7,长方形板结构,4.5.2,ANSYS,求解操作过程,打开,Ansys,软件，在,Ansys,环境下做如下操作。,第四章 平面结构问题的有限单元法,4.5 ANSYS平面结构计算示例 4.5.1问题描述,图,4-8,单元类型对话框,（,1,）,选择单元类型,运行,PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete,，弹出,Element Types,对话框，如图,4-8,所示。单击,Add,，弹出,Library of Element Types,窗口，如图,4-9,所示，依次选择,Structural Solid,，,Quad 8 node 82,，单击,OK,。,图,4-9,单元类型库对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,图4-8 单元类型对话框 （1）选择单元类型图4-9,在,Element Types,对话框中，如图,4-10,所示，单击,Options,，弹出如图,4-11,所示对话框，设置,K3,选项栏为,Plane strs w/thk,，设置,K5,选项栏为,Nodal stress,，设置,K6,选项栏为,No extra output,。表示单元是应用于平面应力问题，且单元是有厚度的。,图,4-10,单元类型对话框,图,4-11 PLANE82,单元选项设置对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,在Element Types对话框中，如图4-,（,2,）,定义实常数,运行,PreprocessorReal ConstantsAdd/Edit/Delete,，弹出如图,4-12,所示对话框，点击,Add,，弹出如图,4-13,所示对话框，点击,OK,，弹出如图,4-14,所示对话框，在,THK,选项栏中设置板厚度为,0.04m,。设置完毕单击,OK,按钮。,图,4-12,实常数对话框,图,4-13,选择要设置实常数的单元类型,图,4-14 PLANE82,实常数设置,第四章 平面结构问题的有限单元法,（2）定义实常数图4-12 实常数对话框 图4-13,（,3,）,设置材料属性,运行,PreprocessorMaterial PropsMaterial Models,，弹出如图,4-15,所示对话框，依次双击,Structural,，,Linear,，,Elastic,，,Isotropic,，弹出图,4-16,所示对话框，在,EX,选项栏中设置数值,2.1e11,，在,PRXY,选项栏中设置数值,0.3,。设置完毕单击,OK,按,钮。,图,4-15,选择材料属性对话框,图,4-16,设置材料属性对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,（3）设置材料属性图4-15 选择材料属性对话框,（,4,）,建立模型,运行,PreprocessorModelingCreateAreaRectangleBy 2 Corners,，弹出如图,4-17,所示对话框，设置参数，,WP X,选项栏中填写,0,，,WP Y,选项栏中填写,0,，,Width,选项栏中填写,1.5,，,Height,选项栏中填写,1,，单击,OK,。继续运行,PreprocessorModelingCreateAreaCircleSolid,Circle,，得到如图,4-18,所示对话框，在,WP X,选项栏中填写,0.75,，,WP Y,选项栏中填写,0.5,，在,Radius,选项栏中填写,0.2,，设置完毕点击,OK,按钮。,图,4-17,建立矩形对话框,图,4-18,创建实 心圆对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,（4）建立模型图4-17 建立矩形对话框图4-18,进行布尔运算：,PreprocessorModelingOperateBooleans,SubtractAreas,，先选矩形面单击,OK,，再单击圆面，单击,OK,。得,到如图,4-19,所示图形。,图,4-19,长方形板模型,（,5,）,划分网格,运行,MeshingSize CntrlsManual SizeAreasAll Areas,，弹出如图,4-20,所示对话框，在,SIZE,选项栏中填写,0.05,，点击,OK,按钮。,图,4-20,设置网格尺寸对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,进行布尔运算：PreprocessorMo,运行,MeshMesh Tool,，弹出如图,4-21,所示对话框，在,Shape,选项栏后面，选择,Tri,和,Free,，单击,Mesh.,划分网格，网格划分如图,4-22,所示。,图,4-21,网格划分对话框,图,4-22,划分网格后的有限元模型,第四章 平面结构问题的有限单元法,运行MeshMesh Tool，弹出如图4,图,4-23,施加全约束,（,6,）,施加约束,选择菜单,SolutionDefine LoadsApplyStructure,DisplacementOn Lines,，选择长方形底边，弹出图,4-23,所示对话框，选择,All DOF,，单,击,OK,。,（,7,）,施加载荷,选择菜单,SolutionDefine LoadsApplyStructure PressureOn Lines,，弹出如图,4-24,所示对话框。拾取长方形上边，单击,OK,按钮。弹出如图,4-25,所示对话框。在,VALUE,选项栏中填写,10000000,。设置完毕点击,OK,完成设置。,第四章 平面结构问题的有限单元法,图4-23 施加全约束 （6）施加约束 （7）,图,4-24,拾取要施加载荷的边,图,4-25,施加载荷对话框,（,8,）,求解,运行,SolutionSolveCurrent LS,，弹出如图,4-26,所示对话框。单击,OK,按钮，开始计算，计算结束会弹出计算完毕对话框，单击,Close,关闭对话框，计算完毕。,图,4-26,求解当前步载荷对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,图4-24 拾取要施加载荷的边 图4-25 施加载荷对话,（,9,）,后处理,运行,General PostprocPlot ResultsContour Plot,Nodal Solu,，弹出如图,4-27,所示对话框，运行,DOF,SolutionDisplacement vector sum,和,Stressvon Mises,stress,，分别显示长方形面板的位移云图和应力云图。,结果显示如图,4-28,和图,4-29,所示。,图,4-27,云图显示对话框,第四章 平面结构问题的有限单元法,（9）后处理图4-27 云图显示对话框 第四章,图,4-28,位移变形云图,图,4-29,等效应力云图,4.5.3,结论,从图,4-28,长方形面板的位移云图可知，最大位移发生在圆孔的上部，最大位移为,0.75010,-4,m,。,从图,4-29,长方形面板的应力云图可知，最大应力发生在圆孔的两侧，最大应力为,32.9MPa,。,第四章 平面结构问题的有限单元法,图4-28 位移变形云图 图4-29 等效应力云图 4.5,