数学建模中的层次分析法课件

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学建模中的层次分析法,数学建模中的层次分析法,1,层次分析法简介,层次分析法是萨蒂（saaty)等人于20世纪70年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径。它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。,层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。,层次分析法简介层次分析法是萨蒂（saaty)等人于20世纪,2,层次分析法简介,一、层次分析法基本原理,分解,建立,确定,计算,判断,实际问题,层次结构,多个因素,诸因素的,相对重要性,权向量,综合决策,层次分析法简介 一、层次分析法基本原理分解建立,3,第一层,第二层,第三层,结点（变量）,结点,结点,结点,结点,结点,结点,结点,结点,结点,结点,结点,二、层次分析法基本步骤,1、建立层次结构模型,第一层第二层第三层结点（变量）结点结点结点结点结点结点结点结,4,例 对学生的评价,目标层,准则层,项目层,(指标层),眼,对学生的评价,德,智,体,思想,道德,语文,数学,肺,例 对学生的评价目标层准则层项目层眼对学生的评价德智体思,5,二、层次分析法基本步骤,2,、确定权系数,w,1,，w,2,，,，,w,n,，其满足：,w,i,0,3、建立综合评判函数,设,x,1,x,2,x,n,为对应各因素的决策变量，,其线性组合：,y=w,1,x,2,+w,2,x,2,+w,n,x,n,是综合评判函数。,二、层次分析法基本步骤 2、确定权系数w1，w2，,6,例 对学生的评价,对学生的评价,德,智,体,0.3,0.55,0.15,0.5,0.5,0.2,0.25,0.15,眼,思想,道德,语文,数学,肺,语文,计算机,0.15,0.1,语文成绩对学生评价中的权系数为：0.20.55=0.11,例 对学生的评价对学生的评价德智体0.30.550.15,7,例 某处招聘工作人员，由此建立如下的层次结构模型,对象的评分,知识,能力,表现,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,0.237,0.348,0.415,0.5,0.154,0.346,0.250,0.750,0.492,0.147,0.361,语文知识,外语知识,政治经济时事知识,计算机操作能力,公关能力,容貌与气质,体形高矮与胖瘦,音色,例 某处招聘工作人员，由此建立如下的层次结构模型对象的评分,8,评价指标,对应于目标层的权向量（系数）,评价公式,即,评价指标对应于目标层的权向量（系数）评价公式即,9,对所有,x,i,均采用5分制，今有三人应聘，各指标如下所示：,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,甲,5,5,5,5,4,3,4,5,乙,3,2,4,5,5,5,4,3,丙,3,3,4,2,5,5,5,4,按公式分别求出综合分为4.181，4.3，4.286，由高到低排序为乙、丙、甲。,对所有xi均采用5分制，今有三人应聘，各指标如下所示：x1x,10,对权重系数的量化过程,（1）成对比较,从 x,1,x,2,x,n,中任取x,i,与x,j,比较它们对于y贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给x,i,/x,j,赋值：,x,i,/x,j,1，认为“x,i,与x,j,重要程度相同”,x,i,/x,j,3，认为“x,i,比x,j,重要程度略大”,x,i,/x,j,5，认为“x,i,比x,j,重要程度大”,x,i,/x,j,7，认为“x,i,比x,j,重要程度大很多”,x,i,/x,j,9，认为“x,i,比x,j,重要程度绝对大”,当比值为2，4，6，8时认为介于前后中间状态。,对权重系数的量化过程（1）成对比较,11,（2）建立成对比较矩阵,由x,i,/x,j,建立n阶方阵A,(3)迭代,按下列方法求向量迭代序列：,e,0,=(1/n 1/n,1/n),T,e,k,=Ae,k-1,|e,k,|为Ae,k-1,的n个分量之和,e,k,=e,k,/|e,k,|,k=1,2,数列 e,k,是收敛的，记其极限为e.且记e=(a,1,a,2,a,n,),于是取权重系数w,i,=a,i,（2）建立成对比较矩阵由xi/xj建立n阶方阵A,12,例：评价影视作品,在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：,x,1,表示教育性 x,2,表示艺术性,x,3,表示娱乐性,有一名专家经成对赋值：,x,1,/x,2,=1 x,1,/x,3,=1/5 x,2,/x,3,=1/3,例：评价影视作品在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：,13,于是得到成对比较矩阵,于是得到成对比较矩阵,14,数学建模中的层次分析法课件,15,由于e,4,=e,3,迭代经过4次中止，权系数是,w,1,=0.156,w,2,=0.185,w,3,=0.659,如果用同样的分制来给作品的三个指标评分，由以上公式算出的便是作品综合评分y。,相应的综合评价公式是,Y=0.156x,1,+0.185x,2,+0.659x,3,由于e4=e3,迭代经过4次中止，权系数是如果用同样的分制,16,2 4 6 8,比较尺度,a,ij,Saaty等人提出19尺度,a,ij,取值1,2,9及其互反数1,1/2,1/9,尺度 1 3 5 7 9,相同 稍强 强 明显强 绝对强,a,ij,=,1,1/2,1/9,的重要性与上面相反,心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个,用13,15,117,1,p,9,p,(,p,=2,3,4,5),d,+0.1,d,+0.9(,d,=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优。,便于定性到定量的转化：,成对比较阵和权向量,2 4,17,目标层,O(选择旅游地),P,2,黄山,P,1,桂林,P,3,北戴河,准则层,方案层,C,3,居住,C,1,景色,C,2,费用,C,4,饮食,C,5,旅途,例2.选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,目标层O(选择旅游地)P2P1P3准则层方案层C3C1C2C,18,“选择旅游地”思维过程的归纳,将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。,将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。,层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。,“选择旅游地”思维过程的归纳 将决策问题分为3个层次：目标层,19,层次分析法的基本步骤,成对比较阵和权向量,元素之间两两对比，对比采用相对尺度,设要比较各准则C,1,C,2,C,n,对目标O的重要性,A,成对比较阵,A,是正互反阵,要由,A,确定C,1,C,n,对O的权向量,选择旅游地,层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量 元素之间两两对比，对,20,成对比较的不一致情况,一致比较,不一致,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,成对比较阵和权向量,成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致,21,成对比较完全一致的情况,满足,的正互反阵,A,称,一致阵,，如,A,的秩为1，,A,的唯一非零特征根为,n,A,的任一列向量是对应于,n,的特征向量,A,的归一化特征向量可作为权向量,对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵,A,，建议用对应于最大特征根,的特征向量作为权向量,w,，即,一致阵性质,成对比较阵和权向量,成对比较完全一致的情况满足的正互反阵A称一致阵，如 A的秩为,22,一致性检验,对,A,确定不一致的允许范围,已知：,n,阶一致阵的唯一非零特征根为,n,可证：,n,阶正互反阵最大特征根,n,且,=,n,时为一致阵,定义一致性指标:,CI,越大，不一致越严重,RI,0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51,n,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,10,为衡量,CI,的大小，引入,随机一致性指标,RI,随机模拟得到,a,ij,形成,A,，计算,CI,即得,RI,。,定义一致性比率,CR=CI,/,RI,当,CR,0.1时，通过一致性检验,Saaty的结果如下,一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n 阶一致阵的唯一非,23,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,准则层对目标的,成对比较阵,最大特征根,=5.073,权向量(特征向量),w,=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110),T,一致性指标,随机一致性指标,RI=,1.12(,查表),一致性比率,CR,=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性检验,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标,24,组合权向量,记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为,同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量,方案层对C,1,(景色)的成对比较阵,方案层对C,2,(费用)的成对比较阵,C,n,B,n,最大特征根,1,2,n,权向量,w,1,(3),w,2,(3),w,n,(3),组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第,25,（2）考虑第3层对第2层,由1,9尺度得,（2）考虑第3层对第2层,26,权向量矩阵,权向量矩阵,27,（3）组合权向量,（3）组合权向量,28,（4）组合一致性检验,（4）组合一致性检验,29,第3层对第2层的计算结果,k,1,0.595,0.277,0.129,3.005,0.003,0.001,0,0.005,0,3.002,0.682,0.236,0.082,2,3,0.142,0.429,0.429,3,3.009,0.175,0.193,0.633,4,3,0.668,0.166,0.166,5,组合权向量,RI,=,0.58(,n,=3),CI,k,均可通过一致性检验,w,(,2,),0.2630.4750.0550.0900.110,方案P,1,对目标的组合权重为0.595,0.263+=0.300,方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456),T,第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.1293,30,三.层次分析法的广泛应用,应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。,处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。,建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。,构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。,三.层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政,31,国家综合实力,国民,收入,军事,力量,科技,水平,社会,稳定,对外,贸易,美、俄、中、日、德等大国,工作选择,贡献,收入,发展,声誉,关系,位置,供选择的岗位,例,1,国家实力分析,例,2,工作选择,通过组合一致性检验,国家综合实力国民军事科技社会对外美、俄、中、日、德等大国工作,32,过河的效益,A,经济效益,B,1,社会效益,B,2,环境效益,B,3,节省时间C,1,收入C,2,岸间商业C,3,当地商业C,4,建筑就业C,5,安全可靠C,6,交往沟通C,7,自豪感C,8,舒适C,9,进出方便C,10,美化C,11,桥梁,D,1,隧道,D,2,渡船,D,3,（1）过河效益层次结构,例,3,横渡江河、海峡方案的抉择,过河的效益经济效益社会效益环境效益节省时间C1收入C2岸间商,33,过河的代价,A,经济代价,B,1,环境代价,B,3,社会代价,B,2,投入资金C,1,操作维护C,2,冲击渡船业C,3,冲击生活方式C,4,交通拥挤C,5,居民搬迁C,6,汽车排放物C,7,对水的污染C,8,对生态的破坏C,9,桥梁,D,1,隧道,D,2,渡船,D,2,（2）过河代价层次结构,例,3,横渡江河、海峡方案的抉择,过河的代价经济代价环境代价社会代价投入资金C1操作维护C2冲,34,待评价的科技成果,直接,经济,效益,C,11,间接,经济,效益,C,12,社会,效益,C,13,学识,水平,C,21,学术,创新,C,22,技术,水平,C,23,技术,创新,C,24,效益C,1,水平C,2,规模C,3,科技成果评价,例,4,科技成果的综合评价,待评价的科技成果直接间接社会学识学术技术技术效益C1水平C2,35,