矩阵的特征值和特征向量课件

线性代数,下页,结束,返回,第4章 矩阵的对角化与二次型的化简,一、矩阵的特征值与特征向量,二、相似矩阵与矩阵的相似对角化,下页,三、二次型与二次型的化简,四、,正交变换化二次型为标准形,五、,惯性定律与正定二次型,第4章 矩阵的对角化与二次型的化简一、矩阵的特征值与特征向,方程,(,l,E,-,A,),X,o,的解都是特征值,l,的特征向量吗？,定义1,设,A,是,n,阶方阵，如果存在数,l,和,n,维,非零,列向量,X,满足,AX,l,X,，,则称,l,为,A,的,特征值,，,称向量,X,为,A,的对应于特征值,l,的,特征向量,.,|,l,E,-,A,|,0,矩阵,l,E,-,A,称为,A,的,特征矩阵,；,l,的,n,次多项式,|,l,E,-,A,|,称为,A,的,特征多项式,；,方程,|,l,E,-,A,|,0,称,为,A,的,特征方程,.,(,l,E,-,A,),X,o,AX,l,X,注意,：,如果,X,是,A,的对应于特征值,l,的特征向量，则,问题,：,特征值,l,的特征向量有多少？,怎样求矩阵的特征值和特征向量？,l,X,-,AX,o,下页,第1节 矩阵的特征值与特征向量,1.1 特征值特征向量的概念与计算,方程(lE-A)Xo的解都是特征值l的特征向量吗？,方程,|,l,E,-,A,|,0,的每个根都是矩阵,A,的,特征值,.,方程,(,l,E,-,A,),X,o,的每个非零解都是,l,对应的,特征向量,.,例1,求矩阵,A,=,的特征值与特征向量,.,5,-,1,3,1,解：,矩阵的特征方程为,|,l,E,-,A,|,-,5,l,+,1,l-,3,-,1,=,(,l,-,4)(,l,+,2),=,0，,矩阵,A,的特征值为,l,1,4，,l,2,-,2,.,对于特征值,l,1,4，解齐,次线性方程组(,4,E,-,A,),X,o,，,得其基础解系为,，,1,1,于是，矩阵,A,对应于,l,1,4的,全部特征向量为,(,c,1,不为,0),.,下页,方程|lE-A|0 的每个根都是矩阵A的特征,例1,求矩阵,A,=,的特征值与特征向量,.,5,-,1,3,1,解：,矩阵的特征方程为,|,l,E,-,A,|,-,5,l,+,1,l-,3,-,1,=,(,l,-,4)(,l,+,2),=,0，,矩阵,A,的特征值为,l,1,4，,l,2,-,2,.,对于特征值,l,2,-,2，解齐,次线性方程组,(,-,2,E,-A,),X,o,，,得其基础解系为 ，,1,-,5,于是，矩阵,A,对应于,l,2,-,2,的全部特征向量为,(,c,2,不为0),.,下页,方程,|,l,E,-,A,|,0,的每个根都是矩阵,A,的,特征值,.,方程,(,l,E,-,A,),X,o,的每个非零解都是,l,对应的,特征向量,.,例1求矩阵A=的特征值与特征向量.5-,解：,矩阵的特征方程为,|,l,E,-,A,|,l,+,1,-,1,4,-,1,0,l-,3,0,l-,2,0,=,(,l,-,2)(,l,-,1),2,=,0，,矩阵,A,的特征值为,l,1,l,2,=,1，,l,3,2,.,对于特征值,l,1,l,2,1，,解线性方程组(,E,-,A,),X,o,，,例2.,求矩阵,A,=,-,1,1,-,4,1,0,3,0,2,0,的特征值与特征向量,.,于是，,A,的对应于,l,1,l,2,1,的全部特征向量为,得其基础解系 ，,1,2,-,1,(,c,1,不为0),.,下页,解：矩阵的特征方程为|lE-A|l+1-1,解：,矩阵的特征方程为,l,+,1,-,1,0,=,(,l,-,2)(,l,-,1),2,=,0，,矩阵,A,的特征值为,l,1,l,2,=,1，,l,3,2,.,对于特征值,l,3,2，解线性方程组(2,E,-,A,),X,o,，,例2.,求矩阵,A,=,-,1,1,-,4,1,0,3,0,2,0,的特征值与特征向量,.,于是，,A,的对应于,l,3,2,的全,部特征向量为,得其基础解系 ，,0,0,1,|,l,E,-,A,|,l,+,1,-,1,4,-,1,0,l-,3,0,l-,2,0,(,c,2,不为0),.,下页,解：矩阵的特征方程为l+1-1 0=(l-,例3.,求矩阵,A,=,1,6,3,-,3,-,6,-,5,3,4,3,的特征值与特征向量,.,|,l,E,-,A,|,l,-,1,-,6,-,3,3,6,l,+5,-,3,l,-,4,-,3,=,(,l,+2,),2,(,l,-4)=,0，,矩阵,A,的特征值为,l,1,l,2,=-,2,l,3,4,.,对于特征值,l,1,l,2,=-,2,解线性方程组(,-,2,E,-,A,),X,o,解：,矩阵的特征方程为,l,+,2,0,l,+,2,3,6,l,+5,-,3,l,-,4,-,3,1,0,1,3,6,l,+5,-,3,l,-,4,-,3,=(,l,+,2),得其基础解系 及 ，,1,1,0,-1,0,1,1,1,0,-1,0,1,c,1,+,c,2,于是，,A,的对应于,l,1,l,2,=,-2,的全部特征向量为,(,c,1,c,2,不全为0),.,下页,例3.求矩阵A=1 6 3-3-6-5 3,对于特征值,l,3,=,4,，解,线性方程组(,4,E,-,A,),X,o,，,得其基础解系 ，,1,1,2,于是，,A,的对应于,l,3,4,的全,部特征向量为,l,-,1,-,6,-,3,3,6,l,+5,-,3,l,-,4,-,3,解：,矩阵的特征方程为,=,(,l,+2,),2,(,l,-4)=,0，,矩阵,A,的特征值为,l,1,l,2,=-,2,l,3,4,.,|,l,E,-,A,|,例3.,求矩阵,A,=,1,6,3,-,3,-,6,-,5,3,4,3,的特征值与特征向量,.,(,c,3,不为0),.,下页,对于特征值l3=4，解得其基础解系,例4,试证,：,n,阶,O,矩阵的特征值为零,.,证：,由,|,l,E,-,O,|,|,l,E,|=,l,n,0，,必有,l,=,0,.,下页,例5,试证：,n,阶矩阵,A,是奇异矩阵（不可逆，秩亏）的充分必要条件是,A,有一个特征值为零.,证：,必要性.如果,A,是奇异矩阵，则,|,A,|,0,.于是,|0,E,-,A,|,|-,A,|,(-1),n,|,A,|,0,，即,0,是,A,的一个特征值.,充分性.设,A,有一个特征值为,0,，对应的特征向量为,X,1,.由,定义，有,AX,1,0,X,1,o,(,X,1,o,),，,所以齐次线性方程组,AX,o,有非零解,X,1,由此可知,|,A,|,0,，即,A,为,奇异矩阵.,问题：,对角矩阵的特征值是什么？,例4试证：n阶O矩阵的特征值为零.下页 例5试证：,性质1,设,X,1,X,2,X,m,都是矩阵,A,的对应于特征值,l,的特征向量,如果它们的线性组合,k,1,X,1,+,k,2,X,2,+,k,m,X,m,o,则,k,1,X,1,+,k,2,X,2,+,k,m,X,m,也是矩阵,A,的对应于特征值,l,的特征向量,性质,2,如果,n,阶方阵,A,的全部特征值,为,l,1,l,2,l,n,(,k,重特征值,算作,k,个特征值,),，,则,l,1,+,l,2,+,+,l,n,=Tr,(,A,);,其中,Tr,(,A,)=,a,11,+,a,22,+,a,33,+,a,nn,称为矩阵,A,的,迹,.,l,1,l,2,l,n,|,A,|,下页,1.2 特征值与特征向量的性质,推论,：,n阶方阵可逆的充分必要条件是A的特征值不等于零,.,性质1 设X1,X2,Xm都是矩阵A的对应,证明:,由性质,2,可知，若,A,是可逆矩阵，即|,A,|,0,，则,A,的,任一个特征值都不为零,若,X,是,A,的属于特征值,l,的特征向量，则,A,l,，,两端同乘,A,-1,并整理得,A,-1,X,=,l,-1,即,l,-,是,A,-,的特征值，,X,也是,A,-,的对应于,l,-,的特征向量.,性质,3,设,l,是可逆方阵,A,的一个特征值，,X,是它对应的特征,向量，则,l,0,，,l,-1,是,A,-1,的一个特征值，且,X,也是,A,-1,的对应,于,l,-1,的特征向量,下页,证明:由性质2可知，若A是可逆矩阵，即|A|0，则A,性质,4,设,l,是方阵,A,的一个特征值，,X,为对应的特征向量，,m,是,一个正整数，则,l,m,是,A,m,的一个特征值，,X,为对应的特征向量,下页,证明:,由于,A,l,，两端都左乘,A,得,A,2,l,A,把,A,l,代入上式得,A,2,l,(,l,)=,l,2,，,依次类推可得,A,m,l,m,，,即,l,m,是,A,m,一个特征值，,为对应的特征向量,性质4 设l是方阵A的一个特征值，X为对应的特征向,即,若,f,(,x,),是一个多项式，则,f,(,l,),是,f,(,A,),的特征值,下页,推论,设,l,是方阵,A,的一个特征值，则,是矩阵,的一个特征值(,m,为正整数)，,X,为对应的特征向量.,特别，若,则必有，,性质,4,设,l,是方阵,A,的一个特征值，,X,为对应的特征向量，,m,是,一个正整数，则,l,m,是,A,m,的一个特征值，,X,为对应的特征向量,即,若f(x)是一个多项式，则f(l)是f,性质5,n,阶矩阵,A,互不相同的特征值,l,1,，,l,2,，,，,l,m,，对应的特征向量,X,1,，,X,2,，,，,X,m,线性无关,下页,性质6,设,A,为,n,阶矩阵,，,则,A,与,A,T,有相同的特征值,即,A,与,A,T,有相同的特征多项式,，,=,|(,l,E,-,A,)|，,=,|(,l,E,-,A,),T,|,|,l,E,-,A,T,|,由,(,l,E,-,A,),T,=,l,E,-,A,T,有,证明：,所以它们的特征值相同,性质5 n阶矩阵A互不相同的特征值l1，l2，,证明:,因为,A,2,=,A,，,所以,A,2,-A=o,设,A,的特征值为,l,，则由性质,4之推论可得,l,2,-,l,=0，,解得,，,l,1,0，,l,2,1.证毕.,例7.,设,3,阶矩阵,A,的三个特征值分别为,l,1,=1,l,2,=,0,l,3,=,-,1,求矩,阵,B,=,A,2,+,3,A+,2,E,的特征值,.,下页,例6.,设,n,阶矩阵,A,满足,A,2,=,A,，,证明,A,有特征值为,0,或,1.,解：,令,B,=,f,(,A,)=,A,2,+,3,A+,2,E,，,则由性质4之推论可知,f,(,l,),是,f,(,A,),的特征值,，,从而得矩阵,B,的三个特征值分别为：,证明:因为A2=A，所以A2-A=o,设A的特征,已知三阶方阵,A,的三个特征值为，-，则,|,A,|（），,A,-,的特征值为（），,A,T,的特征值为（），,A,2,+2,A+E,的特征值为（）,设,A,k,=0，,k,是正整数，则,A,必有,一,特征值为（）,若,A,2,A,，则,A,的特征值为（）,设,A,是3阶方阵，已知方阵,E,-,A,，,E,+,A,，3,E,-,A,都不可逆，则,A,的特征值为（）,已知三阶矩阵,A,的特征值为，-，,则,A,-5,E,（）,-6,-1/2,1/3,-,4,1,16,0,0,1,1,-1,3,-72,下页,练习题,已知三阶方阵A的三个特征值为，-，则 设A,性质5,n,阶矩阵,A,互不相同的特征值,l,1,，,l,2,，,，,l,m,，对应的特征向量,X,1,，,X,2,，,，,X,m,线性无关,性质7,矩阵A的,m,个不同的特征值所对应的,m,组线性无关的特征向量组并在一起仍然是线性无关的。,性质8,设,0,是,n,阶方阵,A,的一个,t,重特征值，则,0,对应的特征向量集合中线性无关的向量个数不超过,t.,补充性质,下页,性质5 n阶矩阵A互不相同的特征值l1，l2，,下页,下页,-,5,4,+,1,4,-,3,-,1,其基础解系为,1,1,(1)对于矩阵,A,=,及特征值,l,1,4，解齐次线性方,5,-,1,3,1,程组(,l,E,-,A,),X,O,4,E,-,A,因为特征矩阵,-,5,5,1,-,1,0,0,1,-,1,，,所以齐次线性方程组(4,E,-,A,),X,O,的一般解为,x,1,=,x,2,，,返回,-54+14-3-1其基础解系为 1(,-,5,-,2,+,1,-,2,-,3,-,1,其基础解系为,1,-,5,(2)对于矩阵,A,=,及特征值,l,2,-,2，解齐次线性方,5,-,1,3,1,程组(,l,E,-,A,),X,O,-,2,E,-,A,因为特征矩阵,-,5,-,1,-,5,-,1,0,0,5,1,，,所以齐次线性方程组(,-,2,E,-,A,),X,O,的一般解为5,x,1,=-,x,2,，,返回,-5-2+1-2-3-1其基础解系为 ,-,1,1,-,4,1,0,3,0,2,0,(3)对于矩阵,A,=,及特征值,l,1，解齐次线性方,程组(,l,E,-,A,),X,O,因为特征矩阵,E,-,A,所以齐次线性方程组(,E,-,A,),X,O,的一般解为,1,+,1,-,1,4,-,1,0,1,-,3,0,1,-,2,0,2,-,1,4,-,1,0,-,2,0,-,1,0,1,0,0,0,0,1,1,0,2,，,基础解系为,1,2,-,1,x,1,=-,x,3,x,2,=-,2,x,3,返回,-1 1-4 1 0 3 0 2 0(3),-,1,1,-,4,1,0,3,0,2,0,(4)对于矩阵,A,=,及特征值,l,2，解齐次线性方,程组(,l,E,-,A,),X,O,因为特征矩阵,2,E,-,A,所以齐次线性方程组(2,E,-,A,),X,O,的一般解为,2,+,1,-,1,4,-,1,0,2,-,3,0,2,-,2,0,3,-,1,4,-,1,0,-,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,，,基础解系为,0,0,1,x,1,=0,x,2,=0,返回,为什么,?,-1 1-4 1 0 3 0 2 0(4),(5)对于矩阵,A,=,及特征值,l,1,-2,解齐次线性方,1,6,3,-3,-,6,-,5,3,4,3,程组(,l,E,-,A,),X,O,因为特征矩阵,-,2,E,-,A,1,0,0,-1,0,0,1,0,0,，,-2,-,1,-6,-3,3,6,-2,+5,-3,-2-4,-3,-,3,-6,-3,3,6,3,-3,-6,-3,所以齐次线性方程组(-2,E,-,A,),X,O,的一般解为,x,1,=,x,2,-,x,3,，,基础解系为 ，,1,1,0,-1,0,1,返回,(5)对于矩阵 A=,因为特征矩阵,4,E,-,A,1,0,0,0,0,1,-1/2,0,-,1/2,，,4-,1,-6,-3,3,6,4+5,-3,4-,4,-3,3,-6,-3,3,6,9,-3,0,-3,所以齐次线性方程组(,-,2,E,-,A,),X,O,的一般解为,x,1,=(1/2),x,3,x,2,=(1/2),x,3,基础解系为,1,1,2,(6)对于矩阵,A,=,及特征值,l,2,4,解齐次线性方,1,6,3,-3,-,6,-,5,3,4,3,程组(,l,E,-,A,),X,O,返回,因为特征矩阵4E-A10 00 01-1,