条件概率与乘法公式课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,西南财经大学天府学院,*,西南财经大学天府学院,1.,4,条件概率乘法公式,一、条件概率,二、乘法公式,1,西南财经大学天府学院,1.4 条件概率乘法公式 一、条件概率1西南财经大学天府学,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息,(,条件,),下求事件的概率,.,一、条件概率,1.,条件概率的概念,如在事件,A,发生的条件下求事件,B,发生的概率，将此概率记作,P,(,B,|,A,).,一般地,P,(,B,|,A,),P,(,B,),2,西南财经大学天府学院,在解决许多概率问题时，往往需要在,P,(,B,)=1/6,，,例,如,，,掷一颗均匀骰子，,A,=,掷出偶数点，,P,(,B,|,A),=,？,掷骰子,已知事件,A,发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是,A,P,(,B,|,A,)=1/3.,A,中共有,3,个元素,它们的出现是等可能的,其中只有,1,个在集,B,中,.,容易看到,P,(,B,|,A,),于是,B,=,掷出2点，,3,西南财经大学天府学院,P(B)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出偶数点,P,(,B,)=3/10,，,又如，,10,件产品中有,7,件正品，,3,件次品，,7,件正品中有,3,件一等品，,4,件二等品,.,现从这,10,件中任取一件，记,A,=,取到正品,B,=,取到一等品,P,(,B,|,A),则,4,西南财经大学天府学院,P(B)=3/10，又如，10件产品中有7件,P,(,B,)=3/10,，,A,=,取到正品,P,(,B,|,A),=3/7,本例中，计算,P,(,B,),时，依据的前提条件是,10,件产品中一等品的比例,.,B,=,取到一等品，,计算,P,(,B,|,A),时，这个前提条件未变，只是加上“,事件,A,已发生,”这个新的条件,.,这好象给了我们一个“,情报,”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题,.,5,西南财经大学天府学院,P(B)=3/10，A=取到正品P(B|A)=3/,若事件,A,已发生,则为使,B,也,发生,试验结果必须是既在,A,中又在,B,中的样本点,即此点必属于,AB,.,由于我们已经知道,A,已发生,故,A,变成了新的样本空间,于是 有,(1).,设,A,、,B,是两个事件，且,P,(,A,)0,则称,(1),2.,条件概率的定义,为在,事件,A,发生,的条件下,事件,B,的条件概率,.,6,西南财经大学天府学院,若事件A已发生,则为使 B也发生,2),从加入条件后改变了的情况去算,3.,条件概率的计算,1),用定义计算,:,P,(,A,)0,掷骰子,例：,A,=,掷出偶数点,B,=,掷出2,点，,P,(,B,|,A,）,=,A,发生后的缩减,样本空间所含样,本点总数,在缩减样本空,间中,B,所含样,本点个数,7,西南财经大学天府学院,2)从加入条件后改变了的情况去算 3.条件概率的计,条件概率也是概率,故具有概率的性质：,非负性,正则性,可列可加性,8,西南财经大学天府学院,条件概率也是概率,故具有概率的性质：非负性 正则,例,1,掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出,6,点,问“掷出点数之和不小于,10”,的概率是多少,?,解法,1,解法,2,解 设,A,=,第一颗掷出,6,点,B,=,掷出点数之和不小于,10,应用 定义,在,B,发生后的缩减样本,空间中计算,9,西南财经大学天府学院,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不,例,2,一批产品,100,件，有,80,件正品，,20,件次品，其中甲生产的为,60,件，有,50,件正品，,10,件次品，余下的,40,件均由乙生产。现从该批产品中任取一件，记,A=“,正品”，,B=“,甲生产的产品”，写出概率,P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B),10,西南财经大学天府学院,例2 一批产品100件，有80件正品，20件次品，其,例,3,设某种动物由出生算起活到,20,年以上的概率为,0.8,，活到,25,年以上的概率为,0.4.,问现年,20,岁的这种动物，它能活到,25,岁以上的概率是多少？,解,设,A,=,能活,20,年以上,，,B,=,能活,25,年以上,依题意，,P,(,A)=,0.8,P,(,B)=,0.4,所求为,P,(,B|A,).,11,西南财经大学天府学院,例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，,例,4,在,10,个产品中有,7,个正品，,3,个次品，按不放回抽样，每次一个，抽取两次，求,两次都取到次品的概率；第二次才取到次品的概率；已知第一次取到次品，计算第二次又取到次品的概率。,若改为有放回抽样呢？,（,3,）,P,（,B|A,）,=2/9=P,（,AB,）,/P,（,A)=(1/15)/(3/10),解：设,A=,第一次取到次品,，,B=,第二次取到次品,，,（,1,）,P,（,AB,）,=(32)/(109)=1/15,12,西南财经大学天府学院,例4 在10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，每次,例,5,、一盒中装有,5,件产品，其中,3,件一等品，,2,件二等品，,从中取产品两次，每次取一件，作不放回抽样。设事件,A=“,第一次取到一等品”，,B=“,第二次取到一等品”，,求,P,（,B|A,）。,解：,P,（,B|A,）,=2/9=P,（,AB,）,/P,（,A)=(1/15)/(3/10),例,6,设试验,E,为投掷一颗,骰,子，事件,A,表示“奇数点”，,B,表示“点数大于,1”,，计算,P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).,13,西南财经大学天府学院,例5、一盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，,由条件概率的定义：,即 若,P,(,A,)0,则,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,)(2),二、乘法公式,若已知,P,(,A,),P,(,B,|,A,),时,可以反求,P,(,AB,).,将,A,、,B,的位置对调，有,若,P,(,B,)0,则,P,(,BA,)=,P,(,B,),P,(,A,|,B,),(3),(2),和,(3),式都称为乘法公式,利用,它们可计算两个事件同时发生的概率,14,西南财经大学天府学院,由条件概率的定义：即 若P(A)0,则P(AB),注意,P,(,AB,),与,P,(,B,|,A,),的区别！,请看下面的例子,15,西南财经大学天府学院,注意P(AB)与P(B|A)的区别！请看下面的例子15西,例,1,甲、乙两厂共同生产,1000,个零件，其中,300,件是乙厂生产的,.,而在这,300,个零件中，有,189,个是标准件，现从这,1000,个零件中任取一个，问,这个零件是乙厂生产的标准件,的概率是多少？,所求为,P,(,AB,).,甲、乙共生产,1000,个,189,个,是,标准件,300,个,乙厂生产,300,个,乙厂生产,设,A=,零件是乙厂生产,B,=,是标准件,16,西南财经大学天府学院,例1 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300,所求为,P,(,AB,).,设,A,=,零件是乙厂生产,B,=,是标准件,若改为,“发现它是,乙厂生产的,问它,是标准件的概率,是多少,?”,求的是,P,(,B,|,A,).,A,发生,在,P,(,AB,),中作为结果,;,在,P,(,B,|,A,),中作为条件,.,甲、乙共生产,1000,个,189,个,是,标准件,300,个,乙厂生产,300,个,乙厂生产,17,西南财经大学天府学院,所求为P(AB).设A=零件是乙厂生产B=是标准件,条件概率,P,(,B,|,A,),与,P,(,B,),的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的,设,B,是随机试验的一个事件，则,P,(,B,),是在该试验条件下事件,B,发生的可能性大小,.,P,(,B,),与,P,(,B,|,A,),的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同,.,而条件概率,P,(,B,|,A,),是在原条件下又添加“,A,发生”这个条件时,B,发生的可能性大小,即,P,(,B,|,A,),仍是概率,.,18,西南财经大学天府学院,条件概率P(B|A)与P(B)的区别 每一个随机,19,西南财经大学天府学院,19西南财经大学天府学院,例,2,假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落,乙机的概率是,0.2,；若乙机未被击落，进行还击击,落甲机的概率为,0.3,；若甲机亦未被击落，再次进,攻，击落乙机的概率是,0.4,，分别计算这几个回合中甲、乙被击落的概率。,关键：应用乘法公式，概率的加法公式,解：设,A=,乙,机被击落,，,B=,甲,机被击落,，,A,1,=,乙第一次被击落,，,A,2,=,乙机第二次被击落,，由题意得：,A,1,，,A,2,互不相容，且,依题意，有,20,西南财经大学天府学院,例2 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落关键：应用乘法公,由条件概率公式，可得,从而,由概率可加性,21,西南财经大学天府学院,由条件概率公式，可得从而由概率可加性21西南财经大学天府学院,例,3,一场精彩的足球赛将要举行,5,个,球迷好不容易才搞到一张入场券,.,大家都想去,只好用抽签的方法来解决,.,入场,券,5,张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写,.,将它们放在一起,洗匀,让,5,个人依次抽取,.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大,.”,乘法公式应用举例,22,西南财经大学天府学院,例3 一场精彩的足球赛将要举行,5个入场5张同样的卡片,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大,?,“大家不必争先恐后，你们一个一个,按次序来，谁抽到入场券的机会都,一样大,.”,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”,23,西南财经大学天府学院,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每,我们用,A,i,表示“第,i,个人抽到入场券”,i,1,2,3,4,5.,显然,，,P,(,A,1,)=1/5,，,P,(),4/5,第,1,个人抽到入场券的概率是,1/5.,也就是说，,则 表示“第,i,个人未抽到入场券”,24,西南财经大学天府学院,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”显然，P(A1)=1,因为若第,2,个人抽到,了入场券，第,1,个人,肯定没抽到,.,也就是要想第,2,个人抽到入场券，必须第,1,个人未抽到，,由于,由乘法公式,P,(,A,2,)=(4/5)(1/4)=1/5,计算得：,25,西南财经大学天府学院,因为若第2个人抽到也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人,这就是有关抽签顺序问题的正确解答,.,同理，第,3,个人要抽到“,入场券,”，必须第,1,、第,2,个人都没有抽到,.,因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现,每个人抽到“,入场券,”的概率都是,1/5.,抽签不必争先恐后,.,也就是说，,26,西南财经大学天府学院,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,27,西南财经大学天府学院,27西南财经大学天府学院,28,西南财经大学天府学院,28西南财经大学天府学院,29,西南财经大学天府学院,29西南财经大学天府学院,30,西南财经大学天府学院,30西南财经大学天府学院,一个罐子中包含,b,个白球和,r,个红球,.,随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进,c,个与所抽出的球具有相同颜色的球,.,这种手续进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率,.,（波里亚罐子模型）,b,个白球,r,个红球,31,西南财经大学天府学院,一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机,于是,W,1,W,2,R,3,R,4,表示事件“,连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球,.,”,b,个白球,r,个红球,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进,c,个与所抽出的球具有相同颜色的球,.,解 设,W,i,=,第,i,次取出是白球,i,=1,2,3,4,R,j,=,第,j,次取出是红球,，,j,=1,2,3,4,32,西南财经大学天府学院,于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白,用乘法公式容易求出,当,c 0,时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率,.,这是一个,传染病模型,.,每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率,.,=,P,(,W,1,)P(,W,2,|,W,1,)P(,R,3,|,W,1,W,2,)P(,R,4,|,W,1,W,2,R,3,),P,(,W,1,W,2,R,3,R,4,),33,西南财经大学天府学院,用乘法公式容易求出 当 c 0 时，由于每,四、小结,这一节，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握,.,另外还介绍了事件独立性的概念,.,不难发现，当事件相互独立时，乘法公式,变得十分简单，因而也就特别重要和有用,.,如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化,.,34,西南财经大学天府学院,四、小结 这一节，我们介绍了条件概率的概念，,