常用失效分布综述

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三、对数正态分布,3,可靠性中常用的失效分布,一、指数分布,四、威布尔分布,二、正态分布,五、二项分布,六、泊松分布,一、指数分布,指数分布一般记为,1.,失效概率密度函数,f,（,t,）,式中,指数分布的失效率，为一常数。,指数分布的失效概率密度函数,f,（,t,）的图形,如下图所示。,2.,累积失效概率函数,F,（,t,）,3.,可靠度函数,R,（,t,）,可靠度函数,R,（,t,）的图形如下图所示。,4.,失效率函数,(t,),(t,),=,常数,失效率函数的图形如下图所示。,5.,平均寿命,（,MTTF,或,MTBF,）,因此，当产品寿命服从指数分布时，,其平均寿命,与失效率,互为倒数。,6.,可靠寿命,Tr,给定可靠度,r,时，,7.,中位寿命,T,0.5,将,r=0.5,代入上式可得：,8.,特征寿命,指数分布有一个重要特性，即产品工作了,t,0,时间后，它再工作,t,小时的可靠度与已工作过的时间,t,0,无关（无记忆性），而只与时间,t,的长短有关。,小结,（,1,）产品失效率是与时间无关的常数，且与平均寿命互为倒数；,（,2,）产品特征寿命与产品平均寿命相同；,（,3,）产品工作状态具有“无记忆性”，即,t,0,后产品工作寿命的长短与已工作时间的长短无关。,例,1:,某机械设备寿命服从指数分布，其平均寿命,=10000h,，,求该机工作到,t=10,，,100,，,1000,，,10000h,各给定寿命的失效概率。,解：（,1/h,）,例,2,：设有某种电子元器件，根据以往试验资料知道，在某种应力的条件下，其寿命服从指数分布，并且这种器件在,100h,的工作时间内将约有,5%,失效，求可靠寿命,t(0.9),和可靠度,R(1000),解：由题可知,P(T=100)=F(100)=0.05,即：,1-=0.05,=0.0005,t(0.9)=210.7h,R(1000)=0.6065,例,3,：,假设人的寿命服从指数分布，预期平均寿命,71,岁，请问某人活到,71,岁的可能性有多大？此外,50%,的人的寿命为多大年龄？,（,1,）,（,2,）,（岁,),例题,4,：某设备的寿命服从指数分布，要使它连续工作,1000h,的可靠度不低于,0.8,，其失效率应限制在多大？,二、正态分布,T N(,、,2,),简记为：,1.,失效概率密度函数,f(t,),式中,随机变量的均值；,随机变量的标准差。,2.,累积失效概率函数,F,（,t,）,3.,可靠度函数,R,（,t,）,4.,失效率函数,(t,),（,1,）,f(x),曲线以,x,为对称；,（,2,）,x=,时，,f(x),有最大值：,（,3,）时，；,（,4,）,f(x),曲线在 处有拐点；,（,5,）,，,（,6,）,3,原则：,随机变量的概率值,落在 中几乎是肯定的,（,99.73%,）,正态分布特点：,3,准则,在正态分布中,代表标准差,代表均值,x=,即为图像的对称轴,3,原则即为,:,数值分布在（,+,),中的概率为,0.6826,数值分布在（,2,+2),中的概率为,0.9544,数值分布在（,3,+3),中的概率为,0.9974,可以认为，随机变量的概率值几乎全部集中在（,3,+3),区间内，超出这个范围的可能性仅占不到,0.3%.,求累积失效概率时，积分求值相当麻烦。一般进行,标准化,处理，然后直接用标准正态积分表求解。标准化处理主要是通过变量代换，把一般正态分布转化为标准正态分布其过程如下：令,则可以得到标准化正态分布的累积失效概率密度和累积失效概率函数。,上两式表示均值为,0,，标准差为,1,的标准正态分布，记作,Z,N(0,1),标准正态分布图,例,1:,已知,X,N(3,，,2,2,),，,求（,1,）,P(X,3),；,（,2,）,P(2,X,5),解：,(1),标准化处理，,(2),例,2,：大批铆钉，规定直径,d,10,0.12mm,为合格品，,=0.06mm,，,如估计得其标淮差,求铆钉合格的概率。,mm,mm,标准化处理,=1-2*0.02275=0.9545,解：,(1),(2),例,3:,某轴在精细加工后，其直径的尺寸变动可用正态分布描述，且其均值为,14.90mm,，标准差为,0.05mm,。按图纸规定，轴径尺寸为,14.90,+,0.1mm,的产品为合格品，求合格品率。,例,4,：若统计得到人的身高,X,N(1650,60,2,)mm,，,希望碰头的概率小于,1%,，试设计车门高度。,解：令车门高度为,x,1,标准化处理：由,时，查得,则,x,1,1650+2.32601790mm,由题意求,时的,x,1,正态分布的加法定理,例,5,：设男子的平均身高为,168cm,，标准差为,6cm;,女子的平均身高为,158cm,，标准差为,5cm,。问在偶然相遇的一对男女中，女子高于男子的概率是多少？,三、对数正态分布,1.,失效概率密度函数,f(t),2.,累积失效概率函数,F(t,),1.,失效概率密度函数,f(t),对数正态分布在可靠性研究中主要用于描述材料、零部件的疲劳寿命、疲劳强度裂纹增长、腐蚀深度增大等现象，不仅适用于寿命与时间的分布，也适用于维修与时间的分布。,T,ln,(,、,2,),对数正态分布是一个偏态分布，,而且是单峰的，见下图。,2.,累积失效概率函数,F(t,),3.,可靠度函数,R(t,),4.,失效率函数,(t,),例,某弹簧的疲劳寿命服从对数正态分布,LN,(13.9554,，,0.1035,2,),问：,将该弹簧在使用,10,6,次载荷循环后更换，在其更换前失效的概率？,若要保证它,99%,的可靠度，应在多少次载荷循环后更换？,解：,(1),循环次数为随机变量,N,，令,X,=,ln,n,，,则,X,N,(13.9554,，,0.1035,2,),标准化处理：,故弹簧在承受,10,6,次循环载荷之前失效的概率为,0.0885,(2),可靠度,R,(,x,)=0.99,，,则失效概率,（,z,）,=,F,(,x,)=1-,R,(,x,)=0.01,设,n,次循环之前更换，则,z,=-2.326,，,ln,n,=13.717,，,n,=9.0610,5,次。,故，为保证可靠度为,0.99,，应在工作,9.06,10,5,循环次数前更换。,四、威布尔正态分布,1.,失效概率密度函数,f(t),2.,累积失效概率函数,F,（,t,）,3.,可靠度函数,R,（,t,）,1.,失效概率密度函数,f(t),T W(,m,),三个参数（,m,、,、,）的意义,当,m1,时，,f(t),曲线随时间增加出现峰值而后下降；,当,m=3,时，,f(t),曲线已接近正态分布。,通常,m=34,即可当做正态分布。,（,1,）形状参数,m,（,2,）位置参数,当,0,时，表示这些元件在起始时间,内不会失效，,f(t),曲线由,=0,时的位置向右平移,|,的距离。,此时，可将,称为最小保证寿命。,（,3,）尺度参数,当,值增大时，,f(t),的高度变小而宽度变大。,故把,称为尺度参数。,2.,累积失效概率函数,F,（,t,）,3.,可靠度函数,R,（,t,）,4.,失效率函数,(t,),例,已知某飞机上的机械零件的疲劳寿命服从威布尔分布，参数,m,2,，,200h,，,3h,，试推算该零件工作到,50h,时不失效的概率。,例题,2,：已知机械部件的疲劳寿命服从威布尔分布，且由历次试验得知形状参数为,2,尺度参数为,200h,位置参数为,0,。,求,:(,1,）当可靠度为,0.95,时的可靠寿命,（,2,）在,200,小时内平均失效率,（,3,）当失效率为,0.1,次,/100h,的更换寿命,五 二项分布,应用场合：产品抽检，抽得次品数的概率。,进行,n,次独立试验（各次试验的结果互不影响），在一次试验中有两种可能结果，事件发生的概率为,p,，不发生的概率为,q=1-p,，,则在,n,次试验中恰有,x,（,0,，,1,，,2,，,）,发生的概率为：,称,X,服从二项分布，记作,X,B(n,p),累积发生,k,次的概率为：,二项分布的,均值,：,方差,:,：,独立参数：,n,、,p,特点,：（,1,）参加试验的次数（,n,）,已知；,（,2,）参加试验的样品只有两个状态，即,p+q=1;,（,3,）,参加试验的样品的两种状态发生的概率分别为,p,与,q,，,且,p,、,q,均为常数；,（,4,）事件相互独立；,（,5,）只取整数的离散型分布，可用概率分布表和条形图表示。,例,:,某型号产品在运行时间超过规定值时为合格产品。根据以往的经验，该产品在规定的生产、运行条件下的次品率为,0.2,，问从该产品中随机抽出,20,台，有,10,个次品的概率是多少,？,解,:,：,例,:,将次品率为,1%,的大批产品装箱，每箱装,90,件，今抽检,1,箱，进行全数检验，求查出次品数不超过,5,的概率。,解,:,：,显然，,若发现超过,5,件，则次品率可能大于,1%,。,例,:,已知产品发生故障的概率为,p=0.1,。,现问从该产品中抽取,n=4,的样品的失效期望值和标准差是多少？,解,:,：,(,件）,(,件）,六 泊松分布（,二项分布的特例,）,若,n,很大，,p,很小，且,np,=,0,时，则有：,（,x=0,1,2,）,累积分布函数：,则称,X,服从泊松分布，记作,X,p(,),。,独立参数：,一般，,当 时，可用泊松分布代替二项分布,。,用泊松分布计算。,解,:,：,例,:,将次品率为,1%,的大批产品装箱，每箱装,90,件，今抽检,1,箱，进行全数检验，求查出次品数不超过,5,的概率。,1.,某机械零件疲劳寿命服从对数正态分布，其对数均值,与对数标准差分别为,=15,，,=0.3,，,试求当循环次数,N=2,10,6,次时，其失效概率,?,2.,某机械零件疲劳强度服从威布尔分布，其形状参数,m=2,，,位置参数,=150MPa,，,尺度参数,=50MPa,，,求分布的均值及方差，若应力水平达到,170MPa,时，其失效概率是多少,?,6,、某机械厂生产一批电机轴，该轴上轴颈直径尺寸精度制造原因产生变动，根据以往的经验可以判断其变动服从正态分布。通过抽样检测得知其均值为,20.49cm,，标准差为,0.02cm,。若按该轴的技术要求，轴颈直径尺寸在,20.47-20.53cm,尺寸范围内为合格品，试求该批轴的合格品率？,7,、已知某电器零件的失效寿命服从正态分布，其平均寿命为,600h,，寿命标准差为,100h,，试求其工作,400h,的可靠度和失效概率。若要求其可靠度为,0.9,，求相应的可靠寿命。,