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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,复变函数,华中科技大学数学与统计学院,*,*,第一章 复数与复变函数,第一节 复数,第,二,节 复平面上的点集,第三节 复变函数,第四节,复球面与无穷,远点,8/9/2024,1,第一节 复数,1.,虚数单位,:,对虚数单位的规定,:,一、复数的概念,虚数单位的特性,:,2.,复数,:,8/9/2024,2,两复数相等,当且仅当,它们的实部和虚部分别相等,.,复数,z,等于,0,当且仅当,它的实部和虚部同时等于,0.,注：实数可以比较大小,但,复数不能比较大小,.,二、复数的代数运算,1.,两复数的代数和,:,2.,两复数的积,:,3.,两复数的商,:,4.,共轭复数,:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,.,8/9/2024,3,6.,共轭复数的性质,:,例,1,解,5.,复数域,:,全体复数在四则运算这个代数结构下构成一个复数域,记作,C.,实数域和复数域都是代数学中所研究的域的概念的实例,.,8/9/2024,4,例,2,证,例,3,解,设,8/9/2024,5,三、复平面,1.,复数的模,显然下列各式成立,8/9/2024,6,2.,复数的辐角,辐角不确定,.,辐角主值的定义,:,8/9/2024,7,3.,利用平行四边形法求复数的和差,4.,复数和差的模的性质,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致,.,8/9/2024,8,5.,复数的三角表示和指数表示,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,8/9/2024,9,例,1,解,6.,复数在几何上的应用举例,下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的方程,(,或不等式,),来表示,;,也可以由给定的复数形式的方程,(,或不等式,),来确定它所表示的平面图形。,8/9/2024,10,例,1,求下列方程所表示的曲线,:,解,化简后得,8/9/2024,11,1.,乘积与商,定理一,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,;,两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和,.,四、复数的乘幂与方根,两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加,.,从几何上看,两复数对应的向量分别为,注,由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集,.,对于左端的任一值,右端必有值与它相对应,.,8/9/2024,12,定理二,两个复数的商的模等于它们的模的商,;,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差,.,2.,幂与根,n,次幂,:,8/9/2024,13,棣莫佛公式,推导过程如下,:,棣莫佛公式,根据棣莫佛公式,8/9/2024,14,当,k,以其他整数值代入时,这些根又重复出现,.,从几何上看,8/9/2024,15,例,1,解,即,8/9/2024,16,1.2.1,复平面点集的几个基本概念,定义,1.1,邻域,:,记作,:,或,N,(,z,0,)=,z,|,z,-,z,0,|,记作,N,0,(,z,0,)=,z,|0|,z,-,z,0,|0:,N,(,z,0,),E=,z,0,z,0,为,E,的外点,0:,N,(,z,0,),E=,8/9/2024,18,定义,1.3,内点、开集、边界点、边界、闭集,:,如果,E,内每一点都是它的内点,那末,E,称为开集,.,如果在,z,0,的任意一个邻域内,都有,属于,E,的点,也有,不属于,E,的点,则称,z,0,为,E,的边界点。,z,0,为,E,的内点,0:,N,(,z,0,),E,点集,E,的全体边界组成的集合称为,E,的边界,.,记为,:,E,若点集,E,的每个聚点都属于,E,则称,E,为闭集；任何集合,E,的闭包 一定是闭集,.,8/9/2024,19,定义,1,.,4,有界集和无界集,:,z,x,y,有界！,o,例,1,圆盘,N,(,z,0,)=,z,|,z,-,z,0,|0,0,z,1,z,2,E,当,|,z,1,-,z,2,|,时,有,|,f,(,z,1,)-,f,(,z,2,)|.,定理,1.7,设,E,是有界闭集，,f,(,z,),C,(,E,),则有：,（,1,）,f,(,z,),在,E,上,有界,：,（,2,）,|,f,(,z,)|,在,E,上有,最大（小）值,，即：,（,3,）,f,(,z,),在,E,上,一致连续,，即,例,2,证,8/9/2024,48,4.,复变函数的极限性质,定理,1(Bolzano-Weiestrass,聚点定理,),每一个有界无穷点集至少有一个聚点。,定理,2(,闭集套定理,),定理,3(,Heine-Borel,有限覆盖定理,),8/9/2024,49,一、复球面,1.,南极、北极的定义,第四节,复球面与无穷,远点,2.,复球面的定义,球面上的点,除去北极,N,外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系,.,我们可以用球面上的点来表示复数,.,x,y,O,N,S,z,P,(,z,),z,8/9/2024,50,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为,复球面,.,规定,:,复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作,.,因而球面上的北极,N,就是复数无穷大 的几何表示,.,以上对应可以用公式表示为：,8/9/2024,51,3.,扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为,扩充复平面,.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,简称复平面,.,复球面能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来,.,对于复数,来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大,.,4.,无穷远点,关于无穷远点,规定其实部、虚部、辐角无意义,模等于,:,它和有限复数的基本运算为：,这些运算无意义,：,8/9/2024,52,二,.,扩充复平面上的几个概念,1,无穷远点的邻域,:,无穷远点的去心邻域,:,注,2,在扩充复平面上单连通区域,:,解,例,1,注,考虑一个无界区域是否为单连通,应看在通常的复平面上还是扩充复平面上。,8/9/2024,53,3,广义极限与广义连续,广义极限,广义连续,例,2,证明,由于,8/9/2024,54,
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