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,2,4,.,4,弧长和扇形面积,/,2,4,.,4,弧长和扇形面积,/,2,4.4,弧长和扇形的面积,第一课时,第二课时,人教版,数学,九,年级 上册,24.4 弧长和扇形的面积第一课时第二课时人教版 数学 九,1,第一课时,返回,弧长和,扇形面积计算公式,第一课时返回弧长和扇形面积计算公式,2,问题,1,如图，在运动会的,4,100,米比赛中，甲和乙分别在第,1,跑道和第,2,跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？,问题,2,怎样来计算弯道的“展直长度”？,因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的,.,导入新知,问题1 如图，在运动会的4100米比赛中，甲和乙分别在第1,2.,知道公式中字母的含义，并能正确运用这些公式进行相关计算,.,1.,能推导,弧长和扇形面积,的计算,公式,.,素养目标,2.知道公式中字母的含义，并能正确运用这些公式进行相关计算,4,弧长计算公式及相关的计算,问题,1,半径为,R,的圆,周长是多少？,O,R,问题,2,360,的圆心角所对的弧长是多少？,1,的圆心角所对的弧长是多少？,n,的圆心角所对的弧长是多少？,探究新知,知识点,1,弧长计算公式及相关的计算问题1 半径为R的圆,周长是多少？O,5,问题,3,下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几,?,弧长是多少？,O,R,180,O,R,90,O,R,45,O,R,n,探究新知,弧长,=2,R,=,弧长,=2,R,=,弧长,=2,R,=,弧长,=2,R,=,问题3 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?弧长,6,用弧长公式进行计算时，要注意公式中,n,的意义,n,表示,1,圆心角的倍数，它是不带单位的,.,注意,算一算,已知弧所对的圆心角为,60,，半径是,4,，则弧长为,_,.,弧长公式,探究新知,用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义,7,例,1,制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度,l.,(,单位：,mm,，精确到,1mm),解：,由弧长公式，可得弧,AB,的长,因此所要求的展直长度,l,=2700+1570=2970,（,mm,）,.,答：,管道的展直长度为,2970mm,700mm,700mm,R,=900mm,(,100,A,C,B,D,O,弧长公式的应用,700mm,素养考点,1,探究新知,例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，,8,解：,设半径,OA,绕轴心,O,逆时针方向旋转的度数为,n,。,解得,n,90,因此，滑轮旋转的角度约为,90.,1.,一,滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径,r,=10cm,，当重物上升,15.7cm,时，滑轮的一条半径,OA,绕轴心,O,逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取,3.14,）？,巩固练习,O,A,解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n。解得 n,9,圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作,扇形,.,如图，黄色部分是一个扇形，记作,扇形,OAB,.,半径,半径,O,B,A,圆心角,弧,O,B,A,扇形,扇形面积计算公式及相关的计算,探究新知,知识点,2,圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成,10,下列图形是扇形吗？,判一判,探究新知,下列图形是扇形吗？判一判探究新知,11,问题,1,半径为,r,的圆,面积是多少？,O,r,问题,3,下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢,?,问题,2,360,的圆心角所对扇形的面积是多少？,1,的圆心角所对扇形的面积是多少,？,n,的圆心角所对扇形的面积是多少？,探究新知,问题1 半径为r的圆,面积是多少？Or问题3 下页图中各扇,12,圆心角占,周角的比例,扇形面积,占,圆,面积,的比例,扇形的,面积,O,r,180,O,r,90,O,r,45,O,r,n,探究新知,圆心角占周角的比例扇形面积占圆面积的比例扇形的Or180,13,扇形面积公式,半径为,r,的圆中，圆心角为,n,的扇形的面积,公式中,n,的意义,n,表示,1,圆心角的倍数，它是,不带单位,的；公式要,理解记忆,（,即按照上面推导过程记忆）,.,注意,探究新知,扇形面积公式半径为r的圆中，圆心角为n的扇形的面积,14,大小不变时，对应的扇形面积与,有关，,越长，面积越大,.,圆心角,半径,半径,圆的,不变时，扇形面积与,有关，,越大，面积越大,.,圆心角,半径,圆心角,总结：,扇形的面积与,圆心角、半径,有关,.,O,A,B,D,C,E,F,O,A,B,C,D,问题,扇形的面积与哪些因素有关？,探究新知,大小不变时，对应的扇形面积与,15,问题：,扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？,想一想,:,扇形,的面积公式与什么公式类似？,A,B,O,O,探究新知,问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？想一想:扇形的面,16,例,2,如图，圆心角为,60,的扇形的半径为,10cm.,求这个扇形的面积和周长,.,（精确到,0.01cm,2,和,0.01cm,）,O,R,60,解,：,n,=60,，,r,=10cm,，,扇形的面积为,扇形的周长为,扇形面积公式的应用,探究新知,素养考点,2,例2 如图，圆心角为60的扇形的半径为10cm.求这个扇形,17,2.,已知半径为,2cm,的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积,S,扇,=,3.,已知扇形的圆心角为,120,，半径为,2,，则这个扇形的面积,S,扇,=,.,巩固练习,2.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇,18,例,3,如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是,0.6cm,，其中水面高,0.3cm,，求截面上有水部分的面积,.,（精确到,0.01cm,）,(1),O,.,B,A,C,讨论：,(1),截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？,阴影部分,.,求阴影部分的面积,探究新知,素养考点,3,例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,19,O.,B,A,C,D,(2),O.,B,A,C,D,(3),(2),水面高,0.3 m,是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？,线段,DC,.,过点,O,作,OD,垂直于,AB,并交圆,O,于,C,.,(3),要求图中阴影部分面积，应该怎么办？,阴影部分面积,=,扇形,OAB,的面积,-,OAB,的面积,探究新知,O.BACD(2)O.BACD(3)(2)水面高0.3 m是,20,解,：,如图，连接,OA,，,OB,，过点,O,作弦,AB,的垂线，垂足为,D,，交,AB,于点,C,连接,AC,.,OC,0.6,DC,0.3,OD,OC,-,DC,0.3,，,OD,DC,.,又,AD,DC,，,AD,是线段,OC,的垂直平分线，,AC,AO,OC,.,从而,AOD,60,AOB,=120.,O,.,B,A,C,D,(3),探究新知,有水部分的面积：,S,S,扇形,OAB,-,S,OAB,解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交,21,O,O,弓形的面积,=,扇形的面积,三角形的面积,S,弓形,=,S,扇形,-,S,三角形,S,弓形,=,S,扇形,+,S,三角形,弓形的面积公式,探究新知,OO弓形的面积=扇形的面积三角形的面积S弓形=S扇形-S三,22,2,4.,如图，扇形,OAB,的圆心角为,60,，半径为,6 cm,，,C,，,D,是弧,AB,的三等分点，则图中阴影部分的面积和是,_,解析：,阴影部分的面积就是扇形,OAC,的面积，由题意得：,AOC,=60,3=20,.,S,扇形,OAC,=2.,巩固练习,2,2 4.如图，扇形 OAB 的圆心角为 60，半径为,23,1,.,如,图，,AB,是,O,的直径，点,D,为,O,上一点，且,ABD,=30，,BO,=4，则,的长为（）,A,B,C,2,D,巩固练习,D,连接中考,1.如图，AB是O的直径，点D为O上一点，且ABD=3,24,2,.,如,图，,在平行四边形,ABCD,中，,B,=60，,C,的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）,A B2 C3 D6,巩固练习,C,连接中考,2.如图，在平行四边形ABCD中，B=60，C的半径为,25,2.,如图，,Rt,ABC,中，,C,=90,A,=30,BC,=2,O,、,H,分别为,AB,、,AC,的中点，将,ABC,顺时针旋转,120,到,A,1,BC,1,的位置，则整个旋转过程中线段,OH,所扫过的面积为,（,）,B,C.D.,1.,已知弧所对的圆心角为,90,半径是,4,则弧长,.,C,A,B,C,O,H,C,1,A,1,H,1,O,1,课堂检测,基础巩固题,2.如图，RtABC中，C=90,A=30,BC,26,3.,如图，,A,、,B,、,C,、,D,两两不相交，且半径都是,2cm,，则图中阴影部分的面积是,.,A,B,C,D,课堂检测,基础巩固题,3.如图，A、B、C、D两两不相交，且半径都是,27,1.,如图，,Rt,ABC,的边,BC,位于直线,l,上,，,AC,，,ACB,90,，,A,30.,若,Rt,ABC,由现在的位置向右无滑动地翻转，当点,A,第,3,次落在直线,l,上时，点,A,所经过的路线的长为,_(,结果用含,的式子表示,),A,1,A,2,C,1,课堂检测,能力提升题,l,1.如图，RtABC的边BC位于直线l上，AC,28,2.,如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是,0.6cm,，其中水面高,0.9cm,，求截面上有水部分的面积,.,O,A,B,D,C,E,解：,课堂检测,能力提升题,2.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，,29,如图，一个边长为,10cm,的等边三角形模板,ABC,在水平桌面上绕顶点,C,按顺时针方向旋转到,A,B,C,的位置，求顶点,A,从开始到结束所经过的路程为多少,.,A,B,A,B,C,解,:,由图可知，由于,ACB,=60,，则等边三角形木板绕点,C,按顺时针方向旋转了,120,，即,ACA,=120,，这说明顶点,A,经过的路程长等于弧,AA,的长,.,等边三角形,ABC,的边长为,10cm,，,弧,AA,所在圆的半径为,10cm.,l,弧,AA,答：,顶点,A,从开始到结束时所经过的路程为,课堂检测,拓广探索题,如图，一个边长为10cm的等边三角形模板AB,30,弧长,计算,公式,：,扇形,定义,公式,阴影部分面积,求法：,整体思想,弓形,公式,S,弓形,=,S,扇形,-,S,三角形,S,弓形,=,S,扇形,+,S,三角形,割补法,课堂小结,弧长计算公式：扇形定义公式阴影部分面积弓形公式S弓形=S扇形,31,第二课时,返回,圆锥的侧面积及全面积,第二课时返回圆锥的侧面积及全面积,32,下面图片是什么形状的？你会求它们的面积吗？,下面图片是什么形状的？你会求它们的面积吗？,2.,会求,圆锥的侧面积,，并能解决一些简单的实际问题,.,1.,体会,圆锥侧面积,的探索过程,.,2.会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题.1.体,圆锥及相关概念,知识点,1,圆锥及相关概念知识点 1,顶点,母线,底面半径,侧面,高,圆锥的形成,顶点母线底面半径侧面高圆锥的形成,圆锥的高,母线,S,A,O,B,r,我们把连接圆锥的顶点,S,和底面圆上任一点的连线,SA,，,SB,等叫做,圆锥的母线,圆锥的母线,圆锥有,无数条,母线，它们都,相等,圆锥的高,从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高,圆锥的高 母线SAOBr我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一,要点归纳,h,由勾股定理得：,如果用,r,表示圆锥底面的半径,h,表示圆锥的高线长,l,表示圆锥的母线长,那么,r,、,h,、,l,之间数量关系是：,r,2,+,h,2,=,l,2,O,r,要点归纳h由勾股定理得：如果用r表示圆锥底面的半,填一填,:,根据下列条件求值（其中,r,、,h,、,l,分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）,（,1,）,l,=2,，,r,=1,则,h,=_.,(2),h,=3,r,=4,则,l,=_.,(3),l,=10,h,=8,则,r,=_.,5,6,h,O,r,填一填:56hOr,l,o,r,思考：,圆锥的侧面展开图是什么图形？,扇形,圆锥的侧面展开图是,扇形,.,圆锥的侧面展开图,知识点,2,lor 思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？扇形圆锥的侧面展开,问题：,1.,沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？,2.,圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？,问题：,l,o,侧面,展开图,概念对比,r,l,r,扇形,其侧面展开图扇形的半径,=,母线的长,侧面展开图扇形的弧长,=,底面周长,lo侧面概念对比rlr扇形其侧面展开图扇形的半径=母线的长,圆锥的侧面积计算公式的推导,l,o,侧面,展开图,l,r,圆锥的全面积计算公式,(,r,表示圆锥底面的半径,l,表示圆锥的母线长,),又,（,l,为弧长，,R,为扇形的半径）,圆锥的侧面积计算公式的推导lo侧面lr圆锥的全面积计算公式,例,1,一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为,120,、弧长为,20,的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长,.,解,：,设该圆锥的底面的半径为,r,，母线长为,a,.,可得,r,=10.,可得,a,=30.,又,圆锥有关概念的计算,素养考点,1,例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120、弧长为2,1,.,如图所示的扇形中，半径,R,=10，圆心角,=144,，用这个扇形围成一个圆锥的侧面.,(1)则这个圆锥的底面半径,r,=,(2)这个圆锥的高,h,=,.,A,C,B,R,=10,O,r,4,1.如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角=144，,O,h,r,l,例,2,如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为,80cm,母线为,50cm.,在一块大铁皮上裁剪时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积,.,解：,该烟囱的侧面展开图是扇形，如图所示,.,设该扇形的面积为,S.,圆锥有关面积的计算,素养考点,2,Ohrl 例2 如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80,解法一,解法二,S,=,2rl=2,4050=2000,解法三,S=rl,=,4050=2000,解法一解法二 S=2rl=2405,2.,已知一个圆锥的底面半径为,12cm,，母线长为,20cm,，则这个圆锥的侧面积为,，全面积为,.,2.已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，,例,3,蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建,20,个底面积为,35m,2,，高为,3.5m,，外围高为,1.5m,的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到,1m,2,）？,利用圆锥的面积解决实际问题,素养考点,3,例3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建,解：,如图是一个蒙古包示意图,根据题意，下部圆柱的底面积为,35m,2,，高为,1.5m,；上部圆锥的高为,3.5,1.5=2,（,m,）,圆柱的底面积半径为,圆锥的母线长为,圆柱的侧面积为,23.341.531.46,（平方米），,侧面展开扇形的弧长为,圆锥的侧面积为,20,（,31.46+40.81,）,1446,（平方米）,答：,至少需要,1446,平方米的毛毡,.,解：如图是一个蒙古包示意图根据题意，下部圆柱的底面积为35,3.,圆锥,形烟囱帽,(,如图,),的母线长为,80cm,，高为,38.7cm,求这个烟囱帽的面积（取,3.14,，结果保留,2,个有效数字）,解：,l,=80,，,h,=38.7,r,=,S,侧,=,rl,3.147080,1.810,4,（,cm,2,）,答：,烟囱帽的面积约为,1.810,4,cm,2,.,l,h,r,3.圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm，高为38.7c,A,连接中考,A连接中考,1.,圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥,侧面展开图扇形的圆心角是,_,2.,一个扇形，半径为30cm，圆心角为120度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_,180,10cm,3.,已知圆锥的底面的半径为,3cm,，高为,4cm,，,则,它的侧面积,是,，,全面积是,15cm,2,24cm,2,基础巩固题,1.圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面,如图，已知圆锥的母线长,AB,=8cm,，轴截面的顶角为,60,，求圆锥全面积,.,解,：,AB,=,AC,，,BAC,=60,，,ABC,是等边三角形,.,AB,=,BC,=,AC,=8cm.,S,侧,=,rl,=48=32(cm,2,),S,底,=,r,2,=44=16(cm,2,),S,全,=,S,侧,+,S,底,=48(cm,2,).,能力提升题,如图，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60，求,（,1,）在半径为,10,的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？,（,2,）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径？,（,3,）能否从最大的余料中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由,A,B,C,O,拓广探索题,（1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁,解：,（,1,）连接,BC,，则,BC,=20,，,BAC,=90,，,AB,=,AC,，,（,3,）延长,AO,交,O,于点,F,，交扇形于点,E,，,EF,=,最大半径为,所以,不能,A,B,C,O,S,扇形,=,AB,=,AC,=,（,2,）圆锥侧面展开图的弧长为：,E,F,解：（1）连接BC，则BC=20，BAC=90，AB=,课堂小结,r,2,+,h,2,=,l,2,S,圆锥侧,rl,.,S,圆锥全,S,圆锥侧,+,S,圆锥底,rl+,r,2,圆锥的高,母线,r,S,A,O,B,h,l,o,侧面,展开图,r,底面,其侧面展开图扇形的半径,=,母线的长,l,侧面展开图扇形的弧长,=,底面周长,重要图形,重要结论,课堂小结r2+h2=l2S圆锥侧rl.S 圆锥全 S圆,课后作业,1.,从教材课后习题中选取；,2.,从练习册中选取。,课后作业1.从教材课后习题中选取；,课堂感想,1,、这节课你有什么收获？,2,、这节课还有什么疑惑？,说出来和大家一起交流吧！,课堂感想,谢谢观赏！,谢谢观赏！,再见！,再见！,
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