希尔伯特空间中的规范正交系--课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,ppt课件,3,希尔伯特空间中的规范正交系,一,规范正交系,主要内容,二,傅里叶系数,三 完全规范正交系,四,Hilbert,空间的同构,1,ppt课件,一,规范正交系,元素的正交性在内积空间和,Hilbert,空间,中扮演着十分重要的角色,.,在 维欧氏空间,选定 个相互正交的向量,则形成,维空间中的一组正交基,也就是说在空间中,建立了一组坐标系,空间中的任何一个元素都,可以由这组坐标的线性组合表示出来,.,2,ppt课件,其中,并且向量的长度,在一般的内积空间中也可以类似地引入,正交基、投影和坐标系等十分重要的概念,建立起一套完整的空间坐标理论,.,3,ppt课件,定义,1,设 是内积空间 的一个不含,零,子集,若 中向量两两正交,则称 为,中的正交系,又若 中向量的范数都为,1,则,称 为 中的规范正交系,.,例,1,为 维欧氏空间,则向量集,为 中规范正交系,其中,4,ppt课件,例,2,在空间 中,定义内积为,则三角函数系,为 中规范正交系,.,所以内积空间中,规范正交系是正交函数系概念的推广,.,5,ppt课件,正交系的基本性质,.,(1),对正交系 中任意有限个向量,有,事实上,由于 中向量两两正交,所以,6,ppt课件,(2),正交系 是 中线性无关子集,.,事实上,设,而且,其中 为 个数,则对任何,有,由于,因此,所以,线性无关,.,从而说明 是 中线性无关子集,.,7,ppt课件,定义,2,设 是赋范线性空间,是 中的一列向量,是一列数,作级数,称 为级数,(3),的 项部分和,若存在,使,则称级数,(3),收敛,并称 为级数的和,记为,8,ppt课件,若 为 中规范正交系,是,中有限或可数个向量,且,则对每个,自然数,由内积连续性,可得,所以,9,ppt课件,定义,3,设 为内积空间 中的规范正交系,称数集,为向量 关于规范正交系 的傅里叶系数集,而称 为 关于 傅里叶系数,.,例,3,设 为例,2,中三角函,数系,记,二,傅里叶系数,10,ppt课件,对任何 关于 的傅里叶系数,集即为,11,ppt课件,所以内积空间 中向量 关于,规范正交系,的傅里叶系数实际上是数学分析中傅里,叶系数概念的推广,.,12,ppt课件,傅里叶系数的性质,引理,1,设 是内积空间,是 中规范正,交系,任取 中有限个向量,则有,其中 为任意 个数,.,13,ppt课件,证明 因对任意 个数,有,14,ppt课件,令,代入上式即得,(1).,另一方面,由上式及结论,(1),又有,由此知,(2),成立,.,15,ppt课件,定理,1(Bessel,不等式,),设 是内积空间,中的有限或可数规范正交系,则对,有,证明 如果 中只有有限个向量,则由引,理,1,的,(1),立即可得,.,当 可数时,只要在引理,1,的,(1),中令,则可得,(4),式,.,如果,Bessel,不等式中等号成立,则称此等式,为,Parseval,等式,.,16,ppt课件,引理,2,设 为,Hilbert,空间 中可数规,范正交系,则,(1),级数 收敛的充要条件为级数,收敛,;,(2),若,则,故,(3),对任何,级数 收敛,.,17,ppt课件,证明,(1),设,由于 为规范正交系,所以对任何正整数,和,且,有,所以 是 中柯西点列的充要条件为,是柯西点列,由 和数域的完备性知,(1),成立,.,18,ppt课件,(2),前已证明,.,(3),由,Bessel,不等式知,级数,收敛,由,(1),及,(2),知级数 收敛,.,推论,1,设 是 中可数规范正交系,则,对任何,证明 因对,级数,收敛,所以,.,19,ppt课件,下面讨论一般规范正交系的,Bessel,不等式,.,设 是 中规范正交系,其中,为一指标集,则对任一,中使,的指标 至多只有可数个,.,不等式,易知对任何正整数,使,的指标 至多只有有限个,所以集,事实上,由,Bessel,至多为可数集,.,20,ppt课件,由此可以形式地作级数,其中和式理解成对所有使 的指标,相加,因此,Bessel,不等式可以写成,21,ppt课件,三 完全规范正交系,定义,4,设 是内积空间 中的规范正交系,如果,则称 是 中的完全规范正交系,.,交系,则 完全的充要条件为,.,定理,2,设 是,Hilbert,空间 中的,规范正,完全规范正交系类似于 维欧式空间中的,标准正交基,.,22,ppt课件,定理,3,是,Hilbert,空间中完全规范正交,系,的充要条件为对所有,成立,Parseval,等式,.,证明 充分性 设,Parseval,等式对所有,成立,假设 不完全,由定理,2,存在,.,所以对任何,有,由于对该,有,Parseval,等式,所以,即,这与 矛盾,.,23,ppt课件,必要性 设 是 中完全规范正交系,对,任何,设其非零,傅里叶系数为,由引理,2,级数 收敛,设其和为,则对任何正整数,有,24,ppt课件,又对 中一切使 的向量,有,因此,.,由 的完全性,得到,即,所以,由此得到,即,Parseval,等式成立,.,25,ppt课件,由定理,3,的证明可以看出,当 是,Hilbert,空间,中完全规范正交系时,则 中每个向量,都可以展开成级数,(9),式称为向量 关于完全规范正交系 的,傅里叶展开式,.,它类似于,维欧式空间中的任一,向量 关于标准正交基的线性组合表示,.,26,ppt课件,推论,2,是,Hilbert,空间 中规范,正交系，若,Parseval,等式在 的某个稠密子,集,上成立,则 完全,.,证明 设,则 是 中闭,线性子空间,因在 上,Parseval,等式成立,由,定,理,3,易知对 中每个向量,都有,所以,从而,由于 是闭线性子空间,27,ppt课件,故有,但因,所以,即 是,中完全规范正交系,.,证毕,.,利用推论,2,可证明三角函数系是,中完全规范正交系,从而,有,其中等号右端级数是指在 中平方平,均收敛,分别为例,3,中 关于三角函数,系的,傅里叶系数,.,28,ppt课件,引理,3,设 是内积空间 中有限,或可数个线性无关向量,则必有 中规范正交系,使对任何正整数,有,证明 令,则,且,令,因为 线性无关,所以,且,.,29,ppt课件,令,则,.,且,.,显然,.,如果已作了,其中,并且两两正交,满足,现令,由 线性无关,知,30,ppt课件,令,则,.,且,.,其中,.,又显然满足,如此一直作下去,即可得所要的规范正交系,.,在引理,3,的证明中,构造规范正交系的过程,称为正交化过程,.,并且可知,是向量 在空间 上的投影,.,31,ppt课件,定理,4,非零,Hilbert,空间必有完全规范,正交系,.,证明 设 为可分的,Hilbert,空间,则存,在有限,或可数个向量,使,不妨设 为 中的线性无关子集,否则可取,中的线性无,关子集,.,由引理,3,存在有限,或,可数的规范正交系,使对任何自然数,有,32,ppt课件,所以,由 张成的线性空间包含,因此,即 是 中完全规范正交系,.,证毕,.,性质 若 和 都是,Hilbert,空间 的,完全规范正交系,则 和 具有相同的基数,.,上述性质中的基数称为 的,Hilbert,维数,.,若,则规定 的,Hilbert,维数为,0;,当,是有限维空间时,维数与线性,维数相同,.,33,ppt课件,定义,5,设 和 是内积空间,若存在,到 上的映射,使对任何 及数,满足,则称 和 同构,并称 为 到 上同构映射,.,四,Hilbert,空间的同构,34,ppt课件,对于可分,Hilbert,空间，由定理,5,并利用,Gram-Schmidt,方法,立即可以得到下面的推论,.,推论,3,任何可分,Hilbert,空间必和某个,或 同构,.,定理,5,两个,Hilbert,空间 与 同构的充,要条件是 与 具有相同的,Hilbert,维数,.,35,ppt课件,