数学的魅力——河南省中小学数学教师国培计划培训讲座课件

数学的魅力数学的魅力 河南省中小学数学教师国培计划数学文化通俗讲座河南省中小学数学教师国培计划数学文化通俗讲座数学的魅力 河南省中小学数学教师国培计划数学文化通俗讲座1数学数学的的魅力魅力领悟数学的真谛感受数学的魅力数学的魅力领悟数学的真谛感受数学的魅力p世界各地各级学校，数学是必修科目p世界各地各种招生，数学是必考科目p学校各门课程中，数学份量最多、难度最大 无须证明的现象世界各地各级学校，数学是必修科目 无须证明的现象3p一个人不识字甚至不会说话可以生活，但是若不识数就很难生活。p一个国家的科学进步，可以用它消耗的数学来度量。为什么数学被如此重视？语言，交流的工具；数学，思维的体操！一个人不识字甚至不会说话可以生活，但是若不识数就很难生活。4p数学课是各门课程中挂科率最高的课程。p许多同学甚至老师不理解数学的本质，不了解数学的价值。p许多同学对数学具有恐惧感，惧怕、甚至讨厌数学！无法否认的事实数学课是各门课程中挂科率最高的课程。无法否认的事实5p数学课是一个人的狂欢，一群人的寂寞。p虽然不明白数学老师在黑板上写些什么，不过看起来好像挺厉害的样子！p我感觉我爱上了数学老师，因为在爱的人面前，智商基本为零。p全靠数学给我的打击，才有了现在这么坚强的自己。数学那些事儿数数学学的的魅魅力力调侃专用章调侃专用章数学课是一个人的狂欢，一群人的寂寞。数学那些事儿数学的6数学数学，由于其抽象性和表达方式的形式化由于其抽象性和表达方式的形式化 常常令人生常常令人生畏畏也由于其美妙和对智力的挑战也由于其美妙和对智力的挑战时而让人着迷时而让人着迷数学，7数学，数学，是广泛适用的科学是广泛适用的科学是启迪智慧的科学是启迪智慧的科学是充满魅力的科学是充满魅力的科学 数学，8数学教育的价值，数学教育的价值，不仅是传授知识与方法不仅是传授知识与方法更是启迪智慧、开拓思维更是启迪智慧、开拓思维更是培养人的素质更是培养人的素质数学教育的价值，9p围绕一个话题数学关注什么p体现一种观点辩证统一p采用多种形式故事游戏魔术案例p实现一个目标领悟数学 享受人生 本讲座内容通过对数学本质的剖析展现数学的美理奇妙智趣用。围绕一个话题数学关注什么 本讲座内容通过对数学本质的10共性：多种事物的共性规律：一系列事物的规律联系：不同事物的联系本讲座内容围绕一个核心：围绕一个核心：数学关注什么？数学关注什么？本质：一件事物的本质不变性本质联系规律共性共性：多种事物的共性规律：一系列事物的规律联系：不同事物的联11大道至简大美天成观则互异思则相同情理交融理用相通本讲座内容体现一种观点：体现一种观点：辩证统一辩证统一变乃形式恒为本质辩证统一动中有静理中有用情中有理异中有同乱中有序变中变中有恒有恒大道至简 大美天成观则互异 思则相同情理交融12深圳大学数学与统计学院深圳大学数学与统计学院深圳大学数学与统计学院深圳大学数学与统计学院数 学 关 注 本 质1 1数学关注本质11313万事万物均以一定的形态存在于空间之中；并受诸如长度、面积、体积、质量、浓度、温度、色度等各种量的制约。万事万物万象的变化与发展均以形的变换、量的增减来反映。数学关注数与形万物之本万物之本数学是研究数与形的科学万事万物数学关注数与形万物之本数学是研究14从生活到数学p生活中p数学中23+=53+2=2+3m+n=n+m 抓抓本本质质 抽抽象象化化从生活到数学生活中数学中23+=53+2=2+15万事万物万象之所以存在，必然有其存在的方式和道理，也会以一定的模式与秩序呈现。数学关注模式与秩序万事之理万事之理数学是研究模式与秩序的科学集合集合 +结构结构万事万物万象数学关注模式与秩序万事之理数学是研究集合+结16数学=集合+结构数学中基本的数学中基本的集合：集合：各种数的集合；各类图形；各类函数；各种空间；一般抽象集合；数学中的基本数学中的基本结构：结构：代代数数结结构构(反映“合作”关系的各种运算及其算律);顺顺序序结结构构(反映对比关系的大小、先后，反映隶属关系的蕴涵);拓拓扑扑结结构构(反映亲疏程度与规模大小的距离)。度量计算对比数学的具体对象数学=集合+结构数学中基本的集合：数学中的基本结构：度量17面对一个现实问题面对一个现实问题如何通过数学手段解决现实问题？度量度量首先对问题进行首先对问题进行量化，通过拓扑量化，通过拓扑结构进行度量，结构进行度量，数据收集。数据收集。计算计算然后对相关数据进然后对相关数据进行计算，通过代数行计算，通过代数结构进行数据处理。结构进行数据处理。比较比较接下来对计算结果接下来对计算结果进行对比，通过顺进行对比，通过顺序结构进行比较分序结构进行比较分析。析。判断判断最后运用逻辑进行最后运用逻辑进行判断、预测、决策。判断、预测、决策。面对一个现实问题度量首先对问题进行量化，通过拓扑结构进行度量18案例案例1 1 七桥问题七桥问题能否不重复地走遍七座桥？抽象化抽象化模型化模型化ABCD3度一笔画定理：一个图能够一笔画的充分必要条件一个图能够一笔画的充分必要条件是，图中不存在度数为奇数的点，是，图中不存在度数为奇数的点，或者只有两个这样的点。或者只有两个这样的点。案例1 七桥问题能否不重复地走遍七座桥？抽象化模型化ABCD19案例案例2 2 平面上的点平面上的点欧几里得：点笛 卡 尔：坐标（x,y),向量高 斯：复数 x+iy 欧 拉：指数关系没有运算只能加减，数乘可以进行四则运算、乘方开方案例2 平面上的点欧几里得：点没有运算20万事万物总是在不断地运动、不断地变化中。但是，在变化过程中总有某些方面、某些特征在某种程度上保持不变。正是这些不变的部分，才是事物的本质，或者是起根本作用的部分。数学关注本质动中有静动中有静 变中有恒变中有恒不变性千变万化的扑克牌万事万物总是在不断地运动、不断地变化中。但是，在变化过程中总21动中有静案例案例3 3 不动点定理不动点定理很明显：一根橡皮筋，固定一个端点，拉住另一端延长，除被固定的端点外，橡皮筋上点的位置都要移动，但是，其端点（起点）始终不动不动。一个圆盘，围绕中心旋转，除中心点外，内部点的位置都要运动，但是，中心始终未动，而且整个图形未动。动中有静案例3 不动点定理很明显：一个圆盘，围绕中心旋转，除22动中有静不动点定理：若函数 f 是有界闭区间a,b到其内部（可含边界）的连续函数，则在a,b内至少存在一点c，使得 f(c)=c。【该定理可以拓展到平面、三维空间，甚至一般的度量空间】【应用】地图：任何一张准确绘制的地图，把它放在地面上，一定有一个点正好与该点所代表的点一致。动中有静不动点定理：【应用】地图：任何一张准确绘制的地图，把23动中有静【应用】我们的身体头发的漩涡，手指的指纹【应用】天体、气候任何一个时刻，地球上一定有一个点处是无风的。动中有静【应用】我们的身体【应用】天体、气候24变中有恒定理、公式、法则，反映的都是某种不变性。定理、公式、法则，反映的都是某种不变性。u三角形内角和三角形内角和u三角形正余弦定理三角形正余弦定理u三角形三角形面积面积公式公式u圆周率圆周率变中有恒定理、公式、法则，反映的都是某种不变性。圆周率25变中有恒显而易见：显而易见：平面平面上任意多边形，其边界上上任意多边形，其边界上的线段数的线段数 e 与顶点数与顶点数 v 相同，相同，其围出的区域数为其围出的区域数为 f =1。f e+v=1案例案例4 4 欧拉公式欧拉公式变中有恒显而易见：f e+v=1案例4 欧拉公式26变中有恒欧拉公式欧拉公式3这个网络图形中，围出的区这个网络图形中，围出的区域数为域数为f=30，而其顶点数，而其顶点数 v=42，连接顶点线段数，连接顶点线段数 e=35（竖）（竖）+36（横）（横）=71。f e+v=1多一条边，多一个区域；多一条边，多一个区域；多一个顶点，多一条边。多一个顶点，多一条边。f e+v=1变中有恒欧拉公式3这个网络图形中，围出的区域数为f=30，27变中有恒欧拉公式欧拉公式平平面面上上任任意意网网络络图图形形，其其顶顶点点数数 v，连连接接顶顶点点的的线线段段数数 e，与其围出的区域数与其围出的区域数f 满足满足f e+v=1。f e+v=1变中有恒欧拉公式平面上任意网络图形，其顶点数 v，连接顶点的28变中有恒欧拉公式欧拉公式空空间间上上任任意意多多面面体体，其其顶顶点点数数 v，连连接接顶顶点点的的线线段段数数 e，与与其围出的区域数其围出的区域数 f 满足满足f e+v=2。f e+v=2欧拉公式变中有恒欧拉公式空间上任意多面体，其顶点数 v，连接顶点的线29观点观点1变是表象，恒是本质。动与静、变与恒是对立统一。一种静态在更大的范围内可能是动态。不不同同的的人人对对同同一一件件事事情情的的观观察察，可可能能会会得得到到不不同同的的结结论论，这这里里未未必必就就有有对对错错之之分分，只只是是立立场场、观观点点、方方法法不同而已。不同而已。观点1变是表象，恒是本质。动与静、变与恒是对立统一。30深圳大学数学与统计学院深圳大学数学与统计学院深圳大学数学与统计学院深圳大学数学与统计学院数 学 关 注 规 律2 2数学关注规律23131许多情况下，对事物的变化，你会觉得混乱无序、杂乱无章，但一旦掌握了其变化依据，你就会看到其之所以存在以及之所以如此存在的道理，就会看到它是那么的顺理成章，井然有序。数学关注规律乱中有序乱中有序刘谦的猜心术许多情况下，对事物的变化，你会觉得混乱无序、杂乱无章，但一旦32乱中有序2015年9月3日抗日战争胜利70周年阅兵庆典前日9月2日中国股市收盘价1507015 年抗日战争胜利70周年阅兵庆典乱中有序2015年9月3日抗日战争胜利70周年阅兵庆典前日933乱中有序天意？还是巧合？天意？还是巧合？u汶川：汶川：5 1 25 1 2u海地：海地：1 1 21 1 2u智利：智利：2 2 72 2 7汶川：汶川：5 1 25 1 2海地：海地：1 1 21 1 2智利：智利：2 2 2 2 0 0u汶川：汶川：5 1 25 1 2u海地：海地：1 1 21 1 2u智利：智利：2 2 2 2 7 7汶川：汶川：5 1 25 1 2海地：海地：1 1 21 1 2智利：智利：2 2 2 2 8 85+1+2 +1+1+2 +2+2+7=23=20+1+2=2012乱中有序天意？还是巧合？汶川：5 1 2汶川：5 34乱中有序天意？还是巧合？天意？还是巧合？u汶川：汶川：2008 2008+5+12 =2025+5+12 =2025 u福岛：福岛：2011 2011+3+11 =2025+3+11 =2025uMH370:MH370:20142014+3+8 =+3+8 =20252025u新疆皮山：新疆皮山：2015+7+3 =20252015+7+3 =2025汶川：汶川：5 5 1 2=3=1 2=3=福岛地震月份福岛地震月份福岛：福岛：3+1+1=5=3+1+1=5=汶川地震月份汶川地震月份乱中有序天意？还是巧合？汶川：20035观点观点2u任何一组数字都在某种意义上具有某种特征（本质）；任何一组数字都在某种意义上具有某种特征（本质）；u任何几组数字都在某种程度上具有某种联系（规律）；任何几组数字都在某种程度上具有某种联系（规律）；u不同的人、从不同的角度去观察，会发现不同的规律。不同的人、从不同的角度去观察，会发现不同的规律。观点2任何一组数字都在某种意义上具有某种特征（本质）；36乱中有序1 1 任何一组数字都有其规律任何一组数字都有其规律今今天天是是2016,2016,08,08,1010，下下一一项项是是什什么么？2022乱中有序1 任何一组数字都有其规律今天是2016,08,37乱中有序2 2 角度角度不同，规律不同不同，规律不同比如.一列数，其前三项为1，3，15，第四项应该是什么？对于数列问题，不论对于数列问题，不论给出多少项，都不能给出多少项，都不能确定规律。确定规律。1,3,15，可能的规律：（1）各项分解：1，13，135，？=1357；答案答案105（2）各项分拆：1，1+2，1+2+12，？=1+2+12+22；答案答案 37（3）与 首 项 之 和：3+1=4=22，15+1=16=24，？+1=26=64，或？+1=28=256；答案答案63或或255乱中有序2 角度不同，规律不同比如.一列数，其前三项38乱中有序任意写出几项，都不能唯一确定下一项：比如：比如：（1）0，0，0，0，？，？an =(n-1)(n-2)(n-3)(n-4),a5 =24（2）1，2，3，4，？，？an =(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)+n,a5 =29 乱中有序任意写出几项，都不能唯一确定下一项：39观点观点3大道至简，大美天成，大道至简，大美天成，万事万物都有其秩序性和规律性。万事万物都有其秩序性和规律性。如如果果你你觉觉得得某某些些事事物物混混沌沌无无序序，杂杂乱乱无无章章，繁繁琐琐不不解解，这这往往往往是是你你还还没没有有抓抓住住问问题题的的本本质质，一一旦旦你你抓抓住住了了这这些些“混混沌沌”状状态态的的某某种种规规律律性性、秩秩序序性性，问问题题就就会会迎迎刃而解。刃而解。观点3大道至简，大美天成，40辅例1：高次幂开方每天进步一点点辅例1：高次幂开方每天进步一点点41辅例1：高次幂开方最强大脑？中国雨人周玮，人人都可做！比比如如：中中国国人人的的任任何何一一个个手手机机号号码码，都都可可以以说说出出开开16次次方方的的结结果果（精确到两位小数）（精确到两位小数）辅例1：高次幂开方最强大脑？42乱中有序规则：“躲30”游戏由两人进行。双方约定从1开始，轮流报数，每人每轮至少数一个数，最多数三个数，以最终数到30的人为输。问题：你是愿意先手，还是后手？如果让你先数，你是否能保证取胜呢？选 择案例案例5 5 躲躲3030游戏游戏乱中有序规则：“躲30”游戏由两人进行。双方约定从1开始，轮43乱中有序u道路不甚明朗：起点到终点具有一定距离，先走？还是后走？如何走？不能一眼作出判断。u过程不可控制：对方数一个、两个、还是三个？不可事先预见，也无法控制。困难所在道路不明过程不定乱中有序道路不甚明朗：起点到终点具有一定距离，先走？还是后走44乱中有序u探路：近处是否可控？注意逆向思维。从特殊到一般，从局部到整体，从个别现象寻找一般规律。u找法：变中是否有恒？寻找不变性。解决方案走近看路寻找方法乱中有序探路：近处是否可控？注意逆向思维。从特殊到一般，从局45乱中有序要把30留给对方，自己最后要抓住什么？29292525 2121 1717穷举穷举你发现了什么？柳暗花明：要抓住4的倍数加1！第一个这样的数是1.1就是起点。归纳猜想归纳猜想路在脚下逆向思维探寻源头乱中有序要把30留给对方，自己最后要抓住什么？292521146乱中有序理论探讨乱中有序异中有同单个看、看对方：不可控。合并看，看整体：总可控。每每一一轮轮报报数数的的总总结结果果自自己己总总是是可可以以控控制制为为4 4个个数数对方数1个，自己数3个；对方数2个，自己就数2个；对方3个，自己就数1个。乱中有序理论探讨单个看、看对方：不可控。47逆向思维也称反向思维或求异思维，它是从问题的相反面深入地进行探索的一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，树立新思想，创立新形象。它是数学的一种重要思维方式，其本质是探源。P启示1逆向思维也称反向思维或求异思维，它是从问题的相反面深入地进行48归纳猜想归纳猜想是数学发现的重要源泉，是数学发现的重要源泉，是从个体认识群体，从特殊认识一是从个体认识群体，从特殊认识一般，从现象认识本质的重要法宝，般，从现象认识本质的重要法宝，是创造性思维的源泉之一。是创造性思维的源泉之一。启示2归纳猜想是数学发现的重要源泉，是从个体认识群体，从特殊认识一49深圳大学数学与统计学院深圳大学数学与统计学院深圳大学数学与统计学院深圳大学数学与统计学院数 学 关 注 共 性3 3数学关注共性35050万事万物千差万别，但是，许多看起来不同的事物却有着共同的部分。数学家往往更关注这些共性，它为人类用同一手段或模式解决不同问题提供了有效手段。数学关注共性异中有同异中有同多角形外角和多角形外角和美籍华人陈省身教授在北京大学讲学中语惊四座：“人们常说，三角形内角和等于180度。但是，这是不对的!”万事万物千差万别，但是，许多看起来不同的事物却有着共同的部分51应用：应用：平均速度问题平均速度问题前一半时间平均速度为前一半时间平均速度为a1，后一半时间平均速度为，后一半时间平均速度为a2，全程平均速度是，全程平均速度是前一半路程平均速度为前一半路程平均速度为a1，后一半路程平均速度为，后一半路程平均速度为a2，全程平均速度是，全程平均速度是案例案例6 6 从从算术平均到调和平均算术平均到调和平均应用：平均速度问题前一半时间平均速度为a1，后一半时间平均速52顺水逆水问题顺水逆水问题一艘轮船从重庆到武汉顺一艘轮船从重庆到武汉顺水而下，每小时行驶水而下，每小时行驶5050公公里；从武汉到重庆逆水而里；从武汉到重庆逆水而上每小时行驶上每小时行驶4040公里。问公里。问来回全程平均每小时行驶来回全程平均每小时行驶多少公里？多少公里？顺水逆水问题一艘轮船从重庆到武汉顺水而下，每小时行驶50公里53轮胎问题轮胎问题一一辆辆汽汽车车有有大大小小一一样样的的前前后后四四轮轮，对对同同样样质质量量的的轮轮子子，安安装装在在前前面面可可以以行行驶驶4 4万万公公里里，安安装装在在后后面面则则可可以以行行驶驶6 6万万公公里里。为为了了使使四四个个轮轮胎胎最最终终同同时时报报废废，使使用用期期间间可可以以进进行行一一次次前前后后轮轮胎胎调调换换。问问何何时时调换？最终能够行驶多少公里？调换？最终能够行驶多少公里？轮胎问题一辆汽车有大小一样的前后四轮，对同样质量的轮子，安装54思考：销售思考：销售问题问题一批水果，其中一批水果，其中3030公斤苹果，公斤苹果，3030公斤梨。公斤梨。甲销售甲销售：苹果：苹果1010元元2 2公斤，梨公斤，梨1010元元3 3公斤，公斤，总收入总收入250250元；元；乙销售乙销售：苹果和梨一起按照：苹果和梨一起按照1010元元2.52.5公斤公斤混合销售，总收入混合销售，总收入240240元。元。乙比甲少收入乙比甲少收入1010元。钱哪去了？元。钱哪去了？思考：销售问题一批水果，其中30公斤苹果，30公斤梨。甲销售55加加权权平平均均 可可以以操操纵纵的的选选举举 谁谁能能当当班班长长？3个候选人，个候选人，40位同学，民意测评排序结果如下：位同学，民意测评排序结果如下：A B C 12人人A C B 7人人B C A 7人人C B A 14人人每人投一个，绝对多数获胜A 19 C 14 B7 A胜每人投一个，首位不足半数时经二次投票C 21 A19 C胜每人投两个，首位过半数胜B 33 C28 A19 B胜加权平均 可以操纵的选举 谁能当班长？3个候选人，40位56加加权权平平均均 可可以以操操纵纵的的选选举举 谁谁能能当当班班长长？3个候选人，个候选人，40位同学，民意测评排序结果如下：位同学，民意测评排序结果如下：A B C 12人人A C B 7人人B C A 7人人C B A 14人人第一二三名分别打3、2、1分C82 B80 A78 C胜第一二三名分别打3、1、0分A57 C56 B47 A胜第一二三名分别打10、8、5分B 313 C312 A295 B胜加权平均 可以操纵的选举 谁能当班长？3个候选人，40位57世界上不存在绝对的公平不要刻意追求公平，自寻烦恼世界上不存在绝对的公平。一是没有标准；二是没有检测手段。过平面上直线外一点，有无穷多条直线，但是只有一条是平行的，你能找到吗？观点观点4世界上不存在绝对的公平观点458导数概念的提出：导数概念的提出：案例案例7 7 微分积分微分积分速度、切线导数边际、变化率.导数概念的提出：案例7 微分积分速度、切线导数边际、变59各种各样的积分：各种各样的积分：一元定积分：牛顿一元定积分：牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式二元曲线积分：格林公式二元曲线积分：格林公式三元曲线积分：斯托克斯公式三元曲线积分：斯托克斯公式三元曲面积分：高斯公式三元曲面积分：高斯公式各种各样的积分：一元定积分：牛顿-莱布尼茨公式二元曲线积分：60深圳大学数学与统计学院深圳大学数学与统计学院深圳大学数学与统计学院深圳大学数学与统计学院数 学 关 注 联 系4 4数学关注联系46161万事万物不是孤立存在的，而是相互依存、相互联系的。万物万象之所以会发生和以某种方式发生，不是偶然的，而是有其特殊的原因，因果呼应。数学关注联系情中有理情中有理 理中有用理中有用映射、映射、对应对应联系联系因果因果逻辑逻辑推理推理万事万物不是孤立存在的，而是相互依存、相互联系的。数学关注联62联系杨杨辉辉三三角角111121133111516 151721 35151156135 217146410 1020(a+b)n二项式展开系数二项式展开系数案例案例8 8 杨杨辉三角与数列辉三角与数列 联系杨辉三角11112113311151615172135163联系111121133111516 151721 35151156135 217146410 1020杨杨辉辉三三角角等等比比级级数数1248163264128联系111121133111516151721351511564联系111121133111516 151721 35151156135 217146410 1020杨杨辉辉三三角角斐斐波波那那契契数数列列112358132134联系111121133111516151721351511565联系杨杨辉辉三三角角111121133111516 151721 35151156135 217146410 1020各斜线数列通项：各斜线数列通项：由此可以依次导出前由此可以依次导出前n个自然数的个自然数的各各次方次方求求和公式。和公式。联系杨辉三角11112113311151615172135166情中有理0 50 100 150 200 250 300 350 4001.00.80.60.40.2与我生日相同有人生日相同有人生日相同案例案例9 9 生日问题生日问题情中有理0 50 100 150 200 25067情中有理在任何在任何367367个人中，一定有两个人，他们生日相同。个人中，一定有两个人，他们生日相同。在在任任何何105105个个人人中中，一一定定有有两两个个人人，他他们们性性别别相相同同，而而且生日在同一个星期内。且生日在同一个星期内。现象1 肯定判断之理鸽笼原理情中有理在任何367个人中，一定有两个人，他们生日相同。现象68情中有理手手机机通通讯讯录录可可以以记记载载好好友友的的生生日日，手手机机会会即即时时提提醒醒。有有一一天天你你发发现现，你你的的同同事事中中竟竟然然有有3 3个个人人在在同同一一天天生生日日，巧巧合、缘分，还是其他？合、缘分，还是其他？现象2 生日巧合概率问题0 50 100 150 200 250 300 350 4001.00.80.60.40.2与我生日相同有人生日相同有人生日相同情中有理手机通讯录可以记载好友的生日，手机会即时提醒。有一天69情中有理一一座座城城市市，上上百百万万人人，一一天天，你你偶偶然然上上街街，却却与与你你多多年年不不见见的的朋朋友友奇奇遇遇。这这是是偶偶然然、巧巧合合、缘缘分分，还还是是必然？必然？现象3 街头奇遇概率问题情中有理一座城市，上百万人，一天，你偶然上街，却与你多年不见70情中有理案例案例10 10 为什么为什么中奖这么难？中奖这么难？情中有理案例10 为什么中奖这么难？71情中有理为什么中奖这么难？为什么中奖这么难？一一种种抽抽奖奖活活动动，中中奖奖率率10%10%。以以下下两两种种情情况况，那那种种可能性更大？可能性更大？A.A.抽一次就中奖。抽一次就中奖。B.B.连续抽连续抽2020次都不中奖。次都不中奖。10%12.16%情中有理为什么中奖这么难？10%12.16%72情中有理案例案例11 11 为什么为什么洗衣机洗衣要设置洗和清？洗衣机洗衣要设置洗和清？情中有理案例11 为什么洗衣机洗衣要设置洗和清？73情中有理为什么洗衣机洗衣要设置洗和清？为什么洗衣机洗衣要设置洗和清？给定的水量和洗涤剂，如何使衣服洗得更给定的水量和洗涤剂，如何使衣服洗得更干净？（假如洗涤后残留水分干净？（假如洗涤后残留水分1 1升）升）20升水升水一次一次20升升残留污垢残留污垢 1/20两次两次15+5升升 残留污垢残留污垢(1/15)(1/6)=1/90两次两次10+10升升 残留污垢残留污垢(1/10)(1/11)=1/110情中有理为什么洗衣机洗衣要设置洗和清？20升水一次20升残74理中有用案例案例12 12 调查调查的艺术的艺术让秘密可以讲出来让秘密可以讲出来理中有用案例12 调查的艺术让秘密可以讲出来75理中有用调查的艺术调查的艺术做做调调查查时时经经常常会会遇遇到到个个人人隐隐私私的的问问题题，被被调调查查者者往往往往会会因因为为担担心心隐隐私私泄泄露露而而选选择择撒撒谎谎。有有没没有有什什么么绝绝对对没没有有漏漏洞洞的的保保密密措措施施，让让每每一一个个人人都都能能放放心心地地诚诚实实回回答答呢？呢？理中有用调查的艺术做调查时经常会遇到个人隐私的问题，被调查者76理中有用假假定定要要在在 100 100 位位同同学学中中做做调调查查。事事先当着所有同学的面制作先当着所有同学的面制作 两种问卷：两种问卷：A A卷：卷：你作弊了吗你作弊了吗？B B卷：卷：你没作弊吗你没作弊吗？然然后后，让让每每一一位位同同学学随随机机抽抽取取一一张张问问卷卷。这这位位同同学学将将会会根根据据纸纸条条上上的的问问题题回回答答“是是”或或者者“不不是是”，之之后后立立即即把把小小纸纸条条销销毁毁掉掉，不不让让其其他他任任何何人人知知道道纸纸条条上上的的内内容容。这这样样一一来来，每每个个同同学学都都可可以以放放心心地地回回答答“是是”或或者者“不不是是”了了，因因为为其其他他人人根根本不知道他答的是哪个问题。本不知道他答的是哪个问题。如如果果A卷卷有有40张张，B卷卷有有60张张，而而收收回回的的答答卷卷有有 45 人人回回答答“是是”，55 个人回答个人回答“不是不是”。假假如如作作弊弊同同学学比比例例为为p，根根据据全概率公式，下面的等式成立：全概率公式，下面的等式成立：45/100=p (40/100)+(1-p)(60/100)我我们们可可以以依依据据上上面面的的式式子子，解出解出 p 的值来的值来。理中有用假定要在 100 位同学中做调查。事先当着所有同学的77理中有用案例案例13 13 100%100%与她相会与她相会假如几天前甲乙二人相约今晚在某时刻、某地点约会，双方约定：先到场者若不遇对方，则可以等待10分钟，10分钟后仍不相遇则可以离开。可惜二人忘记了具体的约会时间，只记得在6:007:00之间。请问他们能够相约的几率有多大？理中有用案例13 100%与她相会假如几天前甲乙二人相约今78理中有用如果二人随机到达，当然不能保证会面；比如，如果二人随机到达，当然不能保证会面；比如，u如如果果甲甲在在6:006:00到到达达，而而乙乙可可能能在在6:007:006:007:00之之间间的的任任何何时时刻刻到到达达，其其中中能能够够实实现现会会面面的的时时间间只只有在有在6:006:106:006:10之间，相会概率为之间，相会概率为1/6.1/6.u如如果果甲甲在在6:106:10到到达达，而而乙乙能能够够实实现现会会面面的的时时间间只只有在有在6:006:206:006:20之间，相会概率为之间，相会概率为1/3.1/3.理中有用如果二人随机到达，当然不能保证会面；比如，79理中有用但但如如果果二二人人都都是是理理性性思思维维派派，双双方方也也都都知知道道对对方方是是理理性的，则结果大不一样。甲乙都会想：性的，则结果大不一样。甲乙都会想：为为了了减减少少等等待待时时间间，提提高高相相会会几几率率，不不应应在在6:106:10之之前前和和6:506:50之之后后到到达达，因因此此应应该该选选择择在在6:106:106:506:50之间；之间；同同样样道道理理，不不应应在在6:206:20之之前前和和6:406:40之之后后到到达达，因因此应该选择在此应该选择在6:206:406:206:40之间。之间。理中有用但如果二人都是理性思维派，双方也都知道对方是理性的，80理中有用同同样样道道理理，不不应应在在6:306:30之之前前和和6:306:30之之后后到到达达，因因此此应该选择在应该选择在6:30.6:30.于于是是双双方方不不约约而而同同的的选选择择6:306:30到到达达，成成功功会会面面，无无需需等等待。待。理中有用同样道理，不应在6:30之前和6:30之后到达，因此81理中有用随机非随意，乱中藏玄机；偶然蕴必然，无序隐有序；时运当可控，理性破迷局。在日常生活中，大量事件是随机的、偶然的，或者混乱无序的，但理性思维可以帮助我们实现偶然中的必然、混乱中的秩序。观点观点5理中有用随机非随意，乱中藏玄机；观点582理中有用案例案例14 14 让她无法说让她无法说nono的约会的约会理中有用让她无法说NO的约会!案例14 让她无法说no的83理中有用一一次次，美美国国滑滑稽稽大大师师马马丁丁.格格登登纳纳根根据据哈哈佛佛大大学学著著名名数数学学教教授授贝贝克克先先生生告告诉诉他他的的办办法法，成成功功地地邀邀请请了了一一位位年年轻轻姑姑娘娘一一起吃晚饭。起吃晚饭。让她无法说NO的约会理中有用一次，美国滑稽大师马丁.格登纳根据哈佛大学著名数学教84理中有用格格：我我有有三三个个问问题题，请请你你 对对 每每 个个 问问 题题 只只 用用“YesYes”或或“NoNo”回回答答，不必多做解释。不必多做解释。姑：姑：嗯。嗯。理中有用格：我有三个问题，请你对每个问题只用“Yes”或“N85理中有用格格：第第一一个个问问题题是是：你你愿愿意意如如实实地地回回答答我我的的下下面面两两个个问问题题吗吗？姑：姑：“Yes!”Yes!”格格：很很好好，我我的的第第二二个个问问题题是是，如如果果我我的的第第三三个个问问题题是是你你愿愿意意和和我我一一道道吃吃晚晚饭饭吗吗，那那么么，你你对对这这后后两两个个问问题题的的答案是不是一致的呢？答案是不是一致的呢？理中有用格：第一个问题是：你愿意如实地回答我的下面两个问题吗86深圳大学综合选修课程数学欣赏姑娘不知如何回答是好。因为不管她怎样回答第二个问题，她对第三个问题的回答都是肯定的。那次，他们很愉快地在一起吃了顿很好的晚饭。深圳大学综合选修课程数学欣赏姑娘不知如何回答是好。因理中有用 问题问题2 2的符号的符号=问题问题2 2的符号的符号 问题问题3 3的符号的符号问题问题3 3的符号为正的符号为正理中有用 问题2的符号88数学之魂，追根求源，昂首顶天立地；数学之魂，追根求源，昂首顶天立地；数学之功，探因析理，阔步所向披靡；数学之功，探因析理，阔步所向披靡；数学之旅，超越时空，数形争放异彩；数学之旅，超越时空，数形争放异彩；数学之美，简洁和谐，方圆竞展奥秘；数学之美，简洁和谐，方圆竞展奥秘；数学之辩，阴阳虚实，反映万物本质；数学之辩，阴阳虚实，反映万物本质；数学之理，普适可靠，揭示万事规律；数学之理，普适可靠，揭示万事规律；数学之妙，出神入化，时时化繁为简；数学之妙，出神入化，时时化繁为简；数学之奇，鬼斧神工，事事化难为易；数学之奇，鬼斧神工，事事化难为易；数学之趣，引人入胜，促进情智共生；数学之趣，引人入胜，促进情智共生；数学之问，简明深刻，焕发数学生机。数学之问，简明深刻，焕发数学生机。数学之魂，追根求源，昂首顶天立地；89